回忆上次的乡间驾车之旅
放学后，约翰尼和萨拉像往常一样坐在一起聊天。他们回忆着各种往事，萨拉忽然提起了这件事。
萨拉：约翰尼，你还记得我们上次开车去乡下，在一个苹果园停下来的事吗？
约翰尼：记得。果园主人虽然不富裕，人却很好。还记得吗？我们帮他算出了应该种多少棵苹果树，才能获得最大的产量，从而增加收入。也许我们应该再去看看他。
萨拉：才过了一个月。苹果树苗通常要长两到四年才开始结果，所以现在应该还没有什么变化。
约翰尼：反正我想出去兜风，只要能借到妈妈的车就行。
约翰尼的妈妈同意把车借给他。天气很好，天空就像微软 Windows 的桌面图片一样，明亮晴朗，点缀着朵朵白云。
苹果农建起了一间棚屋
他们开车来到果园。令他们惊讶的是，果农不再只是坐在椅子上卖苹果，而是建起了一间棚屋。棚里当然摆着一筐筐苹果，但他身后的架子上还放着一些罐装饮料。果农立刻认出了他们，热情地打招呼。他感谢两人上次提出的建议，还送给萨拉和约翰尼每人一个苹果，让他们边聊边吃。
约翰尼：这间棚屋是怎么回事？你准备开商店了吗？
果农：我按照你们上次的建议，又种了一些苹果树苗，不过还要等三年才能收获苹果。所以我决定搭一个售货棚。路上开车经过的顾客更容易看到这里。既然有了货架，我还打算卖苹果汁。身后的架子上已经有几罐了，不过还需要多摆一些。
约翰尼：这些不全是你自己农场生产的吧？有些看起来像我们超市里买的品牌。
果农：是的，两种我都会卖。你们来得正好，因为我又需要帮忙了。我的一个侄子来过，写下了一些我看不懂的东西。这就是他留下的纸条。我应该怎样给这两种罐装苹果汁定价呢？
两种苹果汁应该卖多少钱？
“我们自己生产的苹果汁每罐成本是15美分，全国性品牌的苹果汁每罐进价是30美分。假设我们自己的苹果汁每罐售价为 x 美分，全国性品牌每罐售价为 y 美分。那么每天我们能卖出 (70 − 5x + 4y) 罐自产苹果汁，以及 (80 + 6x − 7y) 罐全国性品牌苹果汁。我完全不明白这是什么意思。”
约翰尼：萨拉，我们能帮他吗？
萨拉：这是一道简单的微积分题。
约翰尼：是啊，你最近觉得什么都是微积分题，是不是？
果农：如果你们能帮我解决，我就送你们两罐我自己生产的苹果汁。
萨拉：我首先想知道，你侄子写的这些关系式是否可靠。
果农：我侄子很聪明，他一定是对的。你们就假设他是对的，告诉我两种苹果汁分别应该卖多少钱吧。
萨拉：我和约翰尼去车里算一算，五分钟后告诉你。
两人回到车里，约翰尼先做简单的代数计算。假设自产苹果汁的售价为每罐 x 美分。自产苹果汁的利润，就是销售罐数乘以每罐售价减去15美分的成本。
P(x) = (70 – 5x + 4y)(x-15)
同样，全国性品牌苹果汁的利润为：
P(y) = (80 + 6x – 7y)(y-30).
因此，所有罐装苹果汁的总利润为：
P(x,y) = (70 −5x+4y)(x−15)+(80+6x−7y)(y−30)
约翰尼：好吧，萨拉，接下来怎么办？
利用偏导数进行最优化
萨拉：还记得上次做最优化问题时，我们把一阶导数设为零，然后解方程吗？这里有两个相互关联的变量。自产苹果汁的销量不仅取决于它自己的价格，还取决于全国性品牌的价格。同样，全国性品牌的销量也取决于两种苹果汁的价格。我们仍然可以求导，但这次要用偏导数。
约翰尼：偏导数到底是什么？我们的课程会学到吗？
萨拉：会的，不过我已经提前翻过课本了。对其中一个变量求偏导数时，把另一个变量看作常数。这样我们就能得到两个偏导数，使用符号 ∂ 表示。
P(x,y)=(70 −5x+4y)(x−15)+(80+6x−7y)(y−30)，展开得：
P(x,y) = – 35 x -5 x2 +10xy +230y-7 y2-3450.
把 y 看作常数：
∂P(x,y)/ ∂x = -35-10x+10y；同样，
∂P(x,y)/ ∂y = 230 +10 x -14 y.
在极大值点，两个一阶偏导数都为零。因此：
-35-10x+10y = 0，且 230 +10 x -14 y = 0.
约翰尼：我明白了！把这两个方程的左边相加，就得到：
195 – 4 y = 0，因此 y = 48.75。再解出 x = 45.25
萨拉：先别太兴奋。这个解可能对应极小值，也可能对应极大值。我们还需要计算二阶偏导数，检查它们是否为负。
约翰尼：∂P(x,y)/ ∂x = -35-10x+10y。因此 ∂2P(x,y)/ ∂x2 = -10，因为这里把 y 看作常数。
另外，由 ∂P(x,y)/ ∂y = 230 +10 x -14 y，可得 ∂2P(x,y)/ ∂y2 = -14。
约翰尼：这两个值都是负数。但我们还必须检查混合二阶偏导数。这里 ∂2P/∂x∂y = 10。二阶导数判别式为 (-10)(-14) – 102 = 40，大于零。由于 ∂2P/∂x2 为负，因此可以确认这个解对应利润的极大值。
约翰尼：那我们可以告诉他怎么做了吗？
萨拉：可以，不过把价格取整，免得混淆。
两种苹果汁的最终定价
约翰尼对果农说：我们算出来了。我们不知道你侄子的模型是否正确，但如果正确，你应该把自产苹果汁定为每罐45美分，全国性品牌定为每罐49美分。
萨拉：这样一来，你每天可以卖出41罐自产苹果汁，每罐赚30美分；全国性品牌只能卖出7罐，每罐赚19美分。也就是说，平均每天总利润为13.63美元。我想这不算多，希望你不会失望。
果农：谢谢你，小姐，我很满意。我还会继续卖苹果，靠苹果赚钱；这些利润是额外增加的，所以很好。这两罐苹果汁送给你们。
约翰尼：这些数字也说明，你不必花太多钱进货，囤积过多的全国性品牌苹果汁。这样说有道理吗？
果农：谢谢你，先生。你帮了我大忙。你们上次建议我多种苹果树，两三年后也会开始增加利润。明年人们知道这里卖苹果汁后，也许会有更多顾客。非常感谢！
约翰尼：也许你还应该给售货棚装一块更醒目的招牌。再见！
萨拉和约翰尼继续开车兜风，然后回家。萨拉不太喜欢苹果汁，就把自己的那罐送给了约翰尼。回家后，约翰尼和妈妈聊天，向她讲述了整个故事，最后说：“每次和萨拉一起出去兜风，我都能学到新东西。也许你应该更经常把车借给我。”妈妈说他以后可以多问几次，但每一次是否借车，她都会自己决定。
挑战题
巴拉克说，从他站的位置出发，可以向北走 x 的距离，也可以向西走 y 的距离。山的高度 H 由函数 H(x,y) = 4x2 + y2 − 8xy + 4x + 6y + 10 给出。
在给定点 (x,y)，坡度是多少？
解答
坡度由函数的一阶导数表示。
对于 H(x,y) = 4x2 + y2 − 8xy + 4x + 6y + 10，
∂H(x,y)/ ∂x = 8x – 8y + 4。这是向北方向的坡度。
∂H(x,y)/ ∂y = 2y -8x +6。这是向西方向的坡度。