约翰尼应该感谢萨拉
上学期，约翰尼在学校表现得非常出色。这主要有两个原因。第一个原因是，父母给他买了一辆昂贵的自行车，但如果他的平均成绩达不到85%，他就得自己付钱。第二个原因或许更重要：与他交往了两年的女朋友萨拉利用他对自行车的兴趣，把他培养成了一名三角学高手。
约翰尼的妈妈很喜欢萨拉，告诉儿子应该做点什么，向这位聪明的女朋友表达谢意。妈妈一再追问他打算怎么做，希望他能为这个帮助了自己这么多的女孩做一件特别的事。约翰尼却觉得，女朋友经常陪着他，顺便帮他学三角学，并不是什么大不了的事。妈妈坚持认为他应该有所表示，比如请萨拉约会，或者一起去一个浪漫的地方旅行。她甚至提出可以把自己的汽车借给他。
最后，约翰尼和萨拉商量去一个浪漫的地方旅行。萨拉说，她的外祖母娜娜只允许她当天往返，不准在外过夜，尽管娜娜知道他们已经交往两年了。
晚餐约会去哪里？
接下来，约翰尼和萨拉得决定去哪里。最好是开车走一段不太远的路。他们可以一起吃晚餐，享受相处的时光，可是该去哪里呢？他们开始寻找餐馆。各式各样的餐馆供应着不同的食物，实在难以选择。突然，萨拉做了个滑稽的表情。
萨拉：真奇怪！居然有一家餐馆叫“约翰尼和萨拉的小店”（Johnny and Sara’s Place）。这不就是用我们的名字命名的吗？已经够浪漫了。虽然没有顾客评价，但它一定不错。餐馆位于麦克林顿路（McLinton Road）尽头的一条死胡同里，从这里开车过去应该不远。你想什么时候去？
约翰尼：听起来真浪漫——一家以我们俩的名字命名的餐馆。
约翰尼先问妈妈什么时候可以借车，然后问萨拉第二天是否方便。萨拉答应了。他们约好第二天下午五点，约翰尼去萨拉家接她。
第二天，约翰尼开车来到萨拉家，见过她的外祖母娜娜后，两人便出发了。萨拉手里拿着一部新智能手机。这是爸爸为奖励她上学期的优异成绩送给她的礼物。萨拉的平均成绩达到了98%。
萨拉：我带着手机，因为里面有GPS。我们可以用它记录整个行程，就像你用GPS记录自行车的运动一样。我知道你妈妈的车也有GPS，但用我的手机可以保存我们的坐标，再把数据传到笔记本电脑里。
不久，他们转入麦克林顿路，继续向前行驶。萨拉几次点击手机屏幕，记录GPS坐标。
约翰尼和萨拉的小店
路的尽头有一家小餐馆，招牌上写着“约翰尼和萨拉的小店”。约翰尼停好车，两人走了进去。餐馆很小，只有四张桌子，最多能坐16个人。
他们坐下后，一位女士拿着菜单走过来，说：“欢迎来到约翰尼和萨拉的小店。我叫萨拉，很高兴为你们点餐。”
聊天时，女服务员说：“我高中毕业后，就和男朋友约翰尼开了这家餐馆。我负责招待客人，约翰尼负责做饭。这里从来不会太忙，我们很喜欢这种悠闲的生活节奏。”
菜单上主要是汉堡、三明治和每日例汤。他们点了汤和两个汉堡。食物十分美味，两人边吃边聊。女服务员又过来介绍甜点。
服务员：约翰尼做的苹果卷酥特别好吃。
萨拉：谢谢，那我们就点这个吧。我们还想喝点茶。顺便说一下，我也叫萨拉，这是我的男朋友约翰尼。我们想找个地方来一次短暂而浪漫的约会，结果发现了这里。约翰尼和萨拉来到“约翰尼和萨拉的小店”，还有什么比这更浪漫呢？
服务员：哇，真美妙！
苹果卷酥免费赠送
女服务员端来了甜点和茶，还把她的丈夫——餐馆的厨师——带了过来。她介绍说：“约翰尼，这两位是约翰尼和萨拉。他们正是因为这里叫‘约翰尼和萨拉的小店’才来的。”厨师热情地欢迎他们，还请他们以后常来，因为这也是“他们的店”。
约翰尼和萨拉度过了一次愉快的约会。约翰尼开车送萨拉回家。两人互吻道晚安，萨拉说第二天还会来找他。
汽车行驶的GPS数据
按照约定，萨拉第二天来到约翰尼家。这次她带来了笔记本电脑。她曾在每一个设有交通信号灯的主要路口记录GPS数据。图表显示了他们向西和向北分别行驶了多少千米（图C1.1）。
约翰尼：萨拉，这看起来和我们研究自行车时做的事情差不多。你又想教我三角学了吗？
萨拉：不是。你不觉得麦克林顿路很有意思吗？一开始，向西行驶的距离比向北的多；到了最后，主要是向北走，向西走的距离却很少。
约翰尼：你为什么不把这些点用一条连续的线连起来，表示这条路呢？
萨拉：这条路并不是笔直平滑的，很多地方都有弯道。这张小地图上看不出来。
萨拉从网上找到了这条路的地图，把其中一些小区域放大给约翰尼看。
萨拉：你看，路上有很多弯道，看起来并不平滑。
约翰尼：可人们不会仅仅因为这些小弯道就摔倒或者撞上什么东西呀。
萨拉：从实际角度来说，你说得对。连续函数不能有断点，但可以有弯曲。不过，在尖锐的拐角处，函数可能没有导数。
约翰尼：如果有人把这些弯道修得平滑一些，你就能用连续函数表示它了吗？
萨拉：我想目前可以把这个函数看作连续的，不过我们应该仔细学习一下这个概念。
行驶轨迹符合什么函数？
约翰尼：如果用x表示向西行驶的距离，用y表示向北行驶的距离，那么它们之间是什么关系呢？
萨拉：我自己也为这个问题苦恼过。后来妈妈帮了我。她找到了最适合描述这组x、y数据关系的函数。你看这张图（图C1.2）。
约翰尼：你把那些点去掉了。是不是因为现在我们把它看作由方程 y = x2/10 描述的连续函数？
约翰尼的妈妈走进来，问他们约会怎么样。听说他们去的是一家又小又便宜的餐馆，她似乎不太满意。她忘了很久以前，自己也曾梦想和约翰尼的爸爸拥有一家属于他们的小店。也许正因如此，她没看出这次约会的浪漫之处。
萨拉当时有不少空闲时间。她报名参加了帮助难民儿童提高语言和社交能力的志愿工作，但大约两周后才开始。在这之前，还有什么比多去看看男朋友更好的事呢？于是她又来了，这次同样带着笔记本电脑。
萨拉：约翰尼，还记得我昨天给你看的图吗？它符合函数 y = x2/10。我又对我们记录的GPS数据做了一件事。
约翰尼：什么事？
导数——函数的斜率
萨拉：先告诉我，如果曲线是 y = x2，而我们的车沿x方向移动了极小的一段距离，那么y方向的变化量与x方向的变化量之比是多少？
约翰尼：我们移动了多远？
萨拉：就假设是一只蚂蚁的身长吧。我们用字母 a 代表这段长度。原来在x处，现在到了x+a，对吧？函数仍然是 y = x2。
约翰尼：那么y的新值就是 (x+a)2，而不是 x2。所以y的变化量是 (x+a)2 减去 x2。再除以 a，就得到斜率。
萨拉：我可以把 (x+a)2 展开成 x2 + 2ax + a2 吗？
约翰尼：当然。这样，y的变化量就是 x2 + 2ax + a2 − x2。正负两个 x2 抵消后，剩下 2ax + a2。再除以x方向的位移 a，斜率就是 2x+a，对吗？不过，如果x是10千米，蚂蚁的身长与10千米相比微不足道，我们难道不能忽略它，直接说斜率是2x吗？
萨拉：不行。在数学中，除非一个长度为零，否则不能随意忽略它。即使我们换成比蚂蚁还小的一粒沙子，也不能直接忽略。这里又涉及连续性的概念。如果函数连续，我们可以考虑让x的增量趋近于零，然后得到斜率2x。蚂蚁或沙子的实际长度不可能是零；事实上，任何可以测量的长度都不是零。用数学课本的符号，我们可以把y的变化量写成δy，把x的变化量写成δx。
于是 δy/δx = ((x+δx)2 − x2)/δx
化简后得到 δy/δx = 2x + δx
当δx趋近于零时，δy/δx的极限就是 dy/dx = 2x。
这就是微积分中定义函数斜率的方法。我们把它称为y对x的导数，写作dy/dx。微积分研究的一个重要内容，就是一个变量相对于另一个变量的变化率，也就是斜率。
约翰尼：可是我们说麦克林顿路符合的是 y = x2/10，而不是 y = x2。
萨拉：我们可以把 y = x2 乘以一个常数，看看结果如何。我可以写成 δy/δx = (((x+δx)2 − x2)/δx) × c，于是斜率为 (2x+δx) × c，而 dy/dx = 2x × c。
这里 c = 1/10，所以斜率就是2x/10。我根据不同的x值画出了dy/dx。函数在任意给定x值处的瞬时斜率都是2x/10，也就是x/5。
约翰尼：我越来越糊涂了。这张图是一条直线呀。
萨拉：没错。这是一条直线，表示随着向西行驶的距离增加，向北距离相对于向西距离的斜率也在增大。这正是我之前说的：“你看，麦克林顿路一开始向西走得比向北多，但最后主要向北走，向西走得很少。”描述麦克林顿路的函数是 y = x2/10，它的一阶导数是x/5。原曲线在任何一点的斜率就是x/5，与你计算dy/dx得到的结果相同。
二阶导数
约翰尼：这么说，我们已经求出了 y = x2/10 的导数。好吧，我想我们还可以求 y = x/5 的导数。
萨拉：记住，y = x/5 的图像是一条直线。直线的斜率不会随着x变化，它是常数。在这里，斜率就是1/5。
约翰尼：函数斜率的斜率叫什么？
萨拉：叫作二阶导数，记为 d2y/dx2。
约翰尼：这就是说，d2y/dx2 = 1/5，它是一条没有斜率的水平线，也可以说斜率为零。那是不是意味着，对于麦克林顿路的曲线 y = x2/10，斜率的斜率再求一次斜率，也就是三阶导数 d3y/dx3，结果就是零？哇，真有意思！
约翰尼停了一会儿，似乎在消化刚学到的知识，但很快又接连提出了更多问题。
约翰尼：如果一个函数是几个表达式的和，怎样求导数呢？比如我们在代数里学过的二次函数 y = ax2 + bx + c。
萨拉：很简单。我们可以分别求出每一项的导数，再把它们加起来。ax2 的导数是2ax，bx的导数是b，常数c的导数是零。所以整个函数的导数就是 dy/dx = 2ax + b + 0。
约翰尼：那么 y = x3 的导数是什么？
萨拉翻了翻书，说：对于幂函数 y = xn，它的导数是 nxn−1。这里还有个有趣的例子：书上说 d(ex)/dx = ex。
约翰尼：这里的e就是欧拉数吗？
萨拉：我们可以利用e的无穷级数表达式来证明，不过现在先不讨论这个。
萨拉觉得约翰尼虽然很佩服这些知识，却似乎对各种导数的意义有些迷惑。她想了几分钟，才继续开口。
导数究竟表示什么？
萨拉：记得我们坐车时，会从里程表上看到汽车行驶的距离。我们还会说汽车的速度，也就是每小时行驶的距离，或者说行驶距离对时间的一阶导数。二阶导数是加速度，表示速度变化的快慢。有些汽车公司还会宣传汽车的加速度增加得有多快，那就涉及三阶导数了。
约翰尼：现在我明白了！不然你刚才真把我讲糊涂了。
萨拉：我在网上看到过一个关于导数的笑话。
“美国总统理查德·尼克松在竞选连任时宣布，通货膨胀增长率正在下降。有人评论说，这是‘美国在任总统第一次利用三阶导数来为自己的连任竞选造势’。”
约翰尼：真好笑！那家伙可是个骗子。说到三阶导数，我今天还在报纸上读到：“温哥华地区房屋销售速度下降的趋势，似乎明显加快了……”
挑战题
约翰尼的汽车原本停着。当他启动汽车并踩下油门后，经过时间t，汽车行驶的距离s由公式 s = 0.5at2 给出，其中加速度a为3米/秒2。汽车在时间t后的速度由距离对时间的一阶导数 ds/dt 给出。汽车启动10秒后，速度是多少？
解答：s = 0.5at2，因此 ds/dt = 0.5 × a × 2t = at。
当 a = 3米/秒2、t = 10秒时，ds/dt = 30米/秒，也就是108千米/小时。