普丽娅提议数学俱乐部举办时装秀
学校的数学俱乐部每月聚会一次，鼓励学生展示任何自己感兴趣的数学相关内容。这一次，一位名叫普丽娅（Priya）的学生举手说，她想讨论数学俱乐部是否能够参加时装秀，以及应该如何参加。
大多数学生都嘲笑把时尚和数学联系起来的想法。大家普遍觉得，时尚只是那些不关心数学的肤浅之人感兴趣的东西。不过，数学老师请同学们保持开放的态度，至少先听听她怎么说。普丽娅告诉大家，时装行业大量运用数学。她举了一个例子：在新兴面料的开发中使用3D打印机。尽管如此，同学们还是质疑她为什么对此感兴趣，以及她究竟懂不懂数学，甚至懂不懂时尚。普丽娅告诉大家，她在珍娜（Jenna）的T恤店兼职，顾客会带来各种图案，印在男女款T恤上。因此，时尚并不只是少数人的事，而是与每个人有关。接着，她让大家看看自己穿的T恤上有没有标志，并解释为什么选择这些标志。果然，大多数学生的T恤上都有自己喜欢的标志，但他们仍然不明白这与数学有什么关系。
萨拉支持普丽娅的提议
普丽娅一直没能说服大家，直到萨拉（Sara）举手说：“我支持普丽娅的想法。我们至少应该讨论一下。如果大家愿意，普丽娅和我可以准备一些内容，在下次聚会上展示。”
几乎所有人都知道萨拉是个数学天才。约翰尼（Johnny）立刻支持自己的女朋友萨拉。主持会议的柯尔斯滕（Kirsten）和乔纳森（Jonathan）征求大家的意见。数学老师鲍尔先生（Mr. Power）告诉学生们，应该跳出固有思维，乐于接受各种想法。其他人没有再说太多，但在表决时，大多数学生都同意在下次会议上听一场有关数学时装秀的报告。
后来，普丽娅在学校食堂遇见萨拉。两人打过招呼，便聊了起来。
普丽娅：萨拉，谢谢你在数学俱乐部的会议上支持我。
萨拉：普丽娅，我当然要支持那位地理项目拿到100分的朋友啦！而且我觉得这会很有趣。不过，你为什么对这件事这么感兴趣？
普丽娅解释自己为什么想办时装秀
普丽娅：我们的顾客总是在寻找新颖、原创的图案，好印在T恤上。因此，店里拥有大量原创图案非常重要。市场上的图库图片因为版权使用费而价格昂贵，手续也太繁琐。而且，这些图片谁都能买到，已经算不上独一无二了。我想，这次时装秀也许能帮助我们找到一批新的设计。妈妈甚至同意赞助这场秀，免费提供学生们走秀时穿的T恤。
萨拉：喜不喜欢T恤上的图案是很个人的事。所以，我也不知道你会不会喜欢我的想法。
普丽娅：快告诉我吧！别再卖关子了。
极坐标中的三角函数图像
萨拉：我给你看几张图片。它们都是在极坐标系中绘制的数学函数图像。还记得吗？我们以前在讨论你的地理作业时谈过极坐标。在极坐标中，一个点的位置写作 (r, θ)，其中 r 是该点到原点的距离，也叫模；θ 是表示方向的角度，也叫辐角。（你可以阅读《普丽娅的地理项目》了解极坐标。）
在看这些图片之前，你需要明白两件事。第一，角度既可以用度数表示，也可以用弧度表示。一整圈是360°，也就是2π弧度。第二，如果一个物体不停地旋转，角度不会在转完一圈后停止增加，而是会继续增大。下面这些图展示了半径随角度增加而变化的情况。
普丽娅：这些都是螺旋线（图9.1）。我想它们也可以用不同颜色画出来吧？
萨拉：当然。这些叫作阿基米德螺线，可以用任何颜色和线条粗细绘制。至于背景使用什么面料、什么颜色，你肯定比我更懂。这些都是 r = θ 的图像，其中 θ 以弧度计。第一幅图的 θ 从0变化到6π；第二幅从0到12π；第三幅从0到32π。你可以看到，随着 θ 的范围扩大，螺旋的圈数也增加。最后一幅图的 θ 从12π到24π。它中间是空的，因为省略了0到12π的那一段螺旋。改变 θ 的起始值，就可以改变中间空白区域的大小；改变角度范围，则可以改变螺旋的圈数。
普丽娅：哇，真好看！
萨拉：你可以在合理范围内，选择不同的起始角度和终止角度来绘图。每一种选择都会产生不同的图案。
普丽娅：还有别的吗？
萨拉：有，再看这一组。
普丽娅：这些也是螺旋，不过线条本身还有不同的花纹。
萨拉：你学过三角学吗？
普丽娅：还没有。我本来不打算学，不过如果对生意有帮助，我就去学。
萨拉：在直角三角形中，sin θ = 高／斜边，cos θ = 底边／斜边，tan θ = 高／底边。我会给你看用到这些三角函数的图片。等你上了三角学课，再进一步学习这些函数。现在我们先看图案。在这组图里，r = θ 形成螺旋线，而加入 cos(eθ)、cos(e4θ)、cos(e8θ)、cos(e16θ)（图9.2）之后，线条上就出现了不同的花纹。这些图中 θ 的范围都是0到12π弧度。
普丽娅：还有什么？
萨拉：你一定会喜欢这些花朵（图9.3）。第一朵花对应 r = cos(2θ)，后面几朵分别对应 r = cos(3θ)、r = cos(5θ) 和 r = cos(8θ)。所有图像中 θ 都从0变化到2π。你还可以给 n 选择不同的值，绘制各种 r = cos(nθ) 的图像；n 甚至不一定非得是整数。再看看另一组不同的设计。这些是 θ 从0到2π时，形如 r = cos(nθ) 的图像。第一幅是 cos(eθ)，后面依次是 cos(eθ) + 2、cos(eθ) + 3 和 cos(eθ) + 4。
普丽娅：这些看起来都像不同样式的东方折扇（图9.4）。太棒了！
萨拉：还想看更多吗？
普丽娅：别停，我太喜欢了！
萨拉：接下来是 r = 1 + cos(eθ)、r = 2 + cos(eθ)、r = 4 + cos(eθ) 和 r = 5 + cos(eθ) 的图像（图9.5）。这些图的 θ 都从6π变化到12π。我故意去掉了0到6π的部分，让图案呈现不同的样子。
普丽娅：真有意思！现在我们有了大小和粗细各不相同的圆环。
萨拉：我也玩得很开心。我们可以坐在这里研究一整天，可我马上要上课了。我再给你看昨晚做的最后两组图。这应该足以让你了解我的想法。下一张图片用到了三角函数中的正切函数 tan（图9.6）。
普丽娅：太精彩了！能做出各种各样的图案。有些像带有苜蓿叶形立交匝道的高速公路，有些则像带着光芒的花朵。我敢说，换成彩色一定非常漂亮。
萨拉：这是最后一组，看完我就得去上课了。
普丽娅：原来函数图像能形成这么多形状——甚至有心形、蝴蝶和叶子（图9.7）！我太喜欢了。我们下次在数学俱乐部展示这些吧。我自己想要一件T恤，上面同时印一只蝴蝶和一朵花。
鲍尔先生不得不为会议找一间更大的教室
会议召开之前，学校里已经有很多人在议论这场时装秀。许多不是数学俱乐部成员的学生也问能不能来参加会议。柯尔斯滕和乔纳森向鲍尔先生请示。鲍尔先生认为，允许更多学生参加，只会提高大家对数学的兴趣。他同意全校学生都可以参加下一次会议，并答应安排一间更大的教室。
开会时，柯尔斯滕和乔纳森问普丽娅愿不愿意主持会议，她答应了。毕竟，这个活动是她最先提出来的。
普丽娅：大家好，欢迎参加！我看到今天来的人差不多是平时的两倍。我猜是因为今天的主题是时尚和数学。所有设计都是萨拉制作的，她等会儿会给大家展示。不过，我先宣布一件事：珍娜的T恤店将赞助这场时装秀。店里会免费提供所有T恤，参加走秀的学生还可以把自己展示的T恤留下。等萨拉讲完，我们再讨论具体安排。胡安（Juan），我看到你还没等报告开始就举手了。
胡安：我父母经营一家叫 La Placer 的墨西哥餐厅，我知道你们很多人都去过。我跟爸爸说了数学时装秀的事，他非常喜欢这个主意。他说，时装秀结束后，所有参加者，包括鲍尔先生，都可以到 La Placer 免费吃一顿晚餐。
普丽娅：我很喜欢 La Placer 的食物。所以，如果免费T恤还不够吸引人，现在参加活动还能免费吃晚餐！接下来请萨拉展示她的想法。
萨拉邀请鲍尔先生在她的展示之前，先向同学们简单介绍极坐标。鲍尔先生没想到自己要讲这一部分，因此没有准备。萨拉便给他一张飞镖靶的图片，帮助他解释极坐标的概念。讲解结束后，鲍尔先生请萨拉继续展示。
萨拉：接下来几张幻灯片里的图案，都是在极坐标中绘制的不同三角函数图像。我设计它们时玩得很开心。我们可以把图案印在T恤正面，把对应的三角函数说明印在背面。
萨拉向大家展示了之前给普丽娅看过的图片，然后请普丽娅继续主持。
普丽娅：我希望现在大家都相信，数学确实可以用来设计时装图案。接下来我们自由讨论吧。
啦啦队员也想参加时装秀
阿什莉（Ashley）：我是学校橄榄球队的啦啦队员，但不是数学俱乐部成员。我和几位啦啦队朋友都很想参加时装秀当模特，可以吗？
鲍尔先生：当然欢迎你和其他啦啦队员参加，只要穿的是以数学为主题设计的T恤就行。另外，我想问问普丽娅和胡安，你们的赞助资源是否足够。
普丽娅和胡安都表示没问题。不过普丽娅还有一个顾虑，请萨拉帮忙回答。
萨拉：普丽娅想让我解释一个问题：我目前展示的图案数量有限。如果很多学生参加，我们可能需要更多独特的设计。有几种办法。第一，普丽娅可以把一些图案组合起来，例如一件T恤可以只有蝴蝶、只有花朵，或者两者都有。第二，我可以再设计一些图案。不过，想当模特又喜欢自己设计的同学，也可以像我一样制作自己的图案。如果有一点三角学基础，效果会更好。我自己设计时非常开心。我使用过这个网站上的一个程序：http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=8d8e2c27bcaa121d6ee0de4b98774bb4。
如果你们愿意，可以自己设计并带来图案，不过我们得确保没有重复的设计。
鲍尔先生：太好了。普丽娅，你还有什么要补充的吗？
普丽娅：如果你想参加走秀，请在接下来的七天内给我发短信或电子邮件。如果你打算自己设计图案，请和萨拉商量。时装秀的日期和时间很快会由鲍尔先生公布。我希望能在学校礼堂举行，但还没有确定，地点也会另行通知。
时装秀取得了巨大成功
大约六周后，时装秀在学校礼堂举行。礼堂座无虚席，许多学生因为没有座位，只能站在后面。校长和鲍尔先生都为这场别开生面的活动感到自豪。共有五十位学生模特参加，其中既有一些原本对数学失去兴趣的啦啦队员，也有以自己设计图案为荣、同时亲自走秀的“书呆子”。每位学生的名字被宣布后，便像专业模特一样走上台展示。热爱自行车的约翰尼穿着一件T恤，上面有两条阿基米德螺线，中间用一条线连接，看起来像一辆造型独特的定制自行车。每位模特都赢得了掌声。随后，普丽娅走上舞台，感谢萨拉创作所有这些图案并提出这个主题的设计构想。全场爆发出经久不息的雷鸣般掌声，响得几乎让人耳朵发麻。
一周后，普丽娅再次遇见萨拉
两人都认为时装秀非常成功。普丽娅希望把这种设计理念运用到珍娜的T恤店里。
萨拉：你可以编写一个程序，以不同方式组合这些函数。
普丽娅：你能为珍娜的T恤店编写这个程序吗？我们会付钱给你。
萨拉：这会花不少时间，我得专心学习。你为什么不问问乔（Joe）？我见过你和他聊天。他懂三角学，也会编程。
普丽娅：你是说那个“书呆子乔”？
萨拉：你为什么叫他“书呆子乔”？真不知道你们背后怎么称呼我。
普丽娅：你的名声可不一样。我们叫你“小情鸟”。你那么关心男朋友，又总是乐于助人。看看你为我和数学俱乐部做了多少事！
普丽娅和萨拉互相道别。
两年后
两年过去了。普丽娅还在上学，萨拉则已经毕业，进入大学。有一年夏天，萨拉回家度假，接到普丽娅的电话，说想过来看看她。萨拉欣然答应。
萨拉：嗨，普丽娅！我们两年没见了。你过得怎么样？
普丽娅：我以前来找过你，但你在大学。你外婆告诉我，你暑假会回来，所以我现在来啦。我给你带了些花。
萨拉：谢谢你的花！你最近都在忙什么？
普丽娅：看看我的名片。
萨拉：“珍娜和普丽娅的T恤店”？恭喜你成为生意合伙人！
普丽娅：上次谈话后三个月，我们在桥附近开了一家店。我们还请“书呆子乔”编写程序。店里的生意越来越忙，我不仅要努力工作，还得确保乔编写的每一项功能都符合我的要求。我们付给他两千美元。妈妈有一段时间付不起我的工资，于是让我成为平等的合伙人。所以，现在店名就叫“珍娜和普丽娅的T恤店”。
萨拉：现在生意怎么样？
普丽娅：非常好。就像你说的：“我们只能希望，从长远来看一切都会顺利。”过去六个月的利润，相当于以前老店两年的利润。我们现在有五台笔记本电脑供顾客使用，让他们自己设计图案。乔设置了十种不同的函数，就像你以前给我看的那些。顾客可以为每个函数输入1到10之间的数值，获得独特的图案。如果不想使用某个函数，就输入0。他们还可以从五种线条颜色和五种面料颜色中选择。
萨拉：听起来真了不起！看来可供选择的设计超过十亿种呢。约翰尼和我一定要去看看。
普丽娅：顾客都很满意。我们为这项功能额外收费，而且不用支付图片版权使用费，这也提高了利润。别的店都没有这种功能。我们甚至已经为它申请了实用专利。
萨拉：太好了！我真为你高兴。
普丽娅：来，这是我一点小小的心意。
萨拉：这是一张一千美元的支票！我不能收。我其实没帮你做多少事。
普丽娅：我就喜欢你这么谦虚。你收下我才高兴，因为我真的想感谢你帮了我这么大的忙。
普丽娅的电话响了。店里有事需要她回去处理。
普丽娅：再见，我得走了！对了，有空和约翰尼一起来店里看看，我想让你们看看我们的整套系统。
萨拉：再见，普丽娅！谢谢你来看我，也谢谢你的鲜花和支票。