Ashley et Brittany – les pom-pom girls
Ashley et Brittany étaient des amis proches – enfin, aussi proches que deux adolescents fanfarons peuvent l’être. Les deux étaient extrêmement populaires à l’école. C’étaient des pom-pom girls. Bien sûr, leurs corps athlétiques, leurs coupes de cheveux coûteuses et leurs vêtements à la mode ont ajouté à leur popularité. Ils semblaient se respecter. On devinerait qu’ils devaient le faire car chacun d’eux connaissait tant de secrets de l’autre.
Ashley avait une faiblesse majeure – une dent sucrée. Elle consommerait autant de bonbons qu’elle pourrait mettre la main dessus. Un jour, Ashley et Brittany étaient juste assises et se parlaient.
Ashley : J’ai pris 5 livres le mois dernier. Je mange sainement, je fais de la pratique de pom-pom girl et je m’entraîne avec toi au gymnase. Je ne veux plus prendre de poids et devenir une baleine. Je pense que certains des garçons se désintéressent déjà de moi. Josh a même commencé à me faire caca.
Brittany : Pensez-vous vraiment que vous mangez sainement ?
Ashley : Tu parles des bonbons ? J’ai la dent sucrée depuis que je suis toute petite. Je ne peux pas m’en empêcher.
Qui pourrait être plus populaire que nous ?
Ashley a commencé à ruminer et à jurer sans relâche contre la seule chose qui était douce en elle, c’est sa dent sucrée. Brittany a montré à Ashley un groupe d’étudiants. Ils étaient tous entassés et parlaient à cette seule fille. Qui pourrait être plus populaire que nous, se demandaient-ils jalousement. Ils ont décidé de le découvrir. Ils ont appelé l’un des garçons du groupe et lui ont posé des questions sur cette fille. Il leur a dit que le nom de la fille était Sara. Il a ajouté que Sara était très intelligente et gentille avec tout le monde. Brittany et Ashley ne pouvaient pas croire que cette fille pouvait être si populaire. Elle n’était même pas une pom-pom girl et elle n’était habillée que comme une fille ordinaire – pas de coupe de cheveux chère, pas de talons hauts, rien. Ils ont décidé de vérifier pourquoi la fille était si populaire. Était-elle vraiment si intelligente ? Ils allèrent vers le groupe de ces étudiants pour parler à Sara. Bien sûr, le petit ami de Sara, Johnny, était là aussi.
Ashley : Êtes-vous Sara ? J’ai beaucoup entendu parler de vous.
Ashley : Je suis Ashley. C’est mon amie Brittany. Nous parlions juste de vous et de votre popularité.
Sara : Merci. Je ne savais pas que j’étais populaire.
Brittany : Populaire et chic aussi.
Ashley parle à Sara de sa dent sucrée
Sara : S’il vous plaît, arrêtez de m’embarrasser.
Ashley : J’ai un problème et j’ai pensé qu’étant une fille intelligente, tu pourrais peut-être m’aider.
Sara : Quel genre de problème ? J’essaierai d’aider si je peux, mais sans promesses.
Ashley : J’ai pris 5 livres le mois dernier. Je mange sainement, je fais de la pom-pom girl et je vais aussi régulièrement à la gym avec Brittany. Je ne veux pas continuer à prendre du poids. Le problème c’est que j’ai la dent sucrée depuis que je suis petite. Je ne peux pas m’en empêcher.
Brittany : Vous ne pouvez pas abandonner d’un coup. Et si vous le faisiez lentement ?
Le plan de Sara pour Ashley
Sara : Brittany a raison. J’ai un plan pour toi. Faites-vous la promesse que chaque jour, vous ne mangerez que la moitié des bonbons que vous avez sur vous et que vous n’achèterez plus de bonbons.
Ashley : Hein, c’est intelligent. De cette façon, j’arrêterais lentement. Pensez-vous que cela va fonctionner?
Brittany : Ça vaut le coup d’essayer. Si cela fonctionne, vous redeviendrez la fille rêvée de tous les garçons. Si ça ne marche pas, nous dirons à tout le monde que Sara n’est pas si intelligente.
C’était une motivation suffisante pour Ashley – devenir la fille de ses rêves. Elle pouvait même ignorer que cela prouverait que Sara était très intelligente. Elle rentra chez elle, prit la balance de la cuisine et pesa tous ses bonbons. C’était 256 grammes. Ce jour-là, elle a mangé 128 g de bonbons, soit la moitié des 256 qu’elle avait avec elle. En fait, c’était presque la même quantité de bonbons qu’elle avait l’habitude de manger tous les jours, de toute façon. Maintenant, il restait 128 g de bonbons. Le lendemain, elle en a mangé la moitié et il en restait 64 g. Elle a continué à manger la moitié des bonbons restants chaque jour jusqu’à ce qu’il ne reste plus qu’un gramme.
Ashley était heureuse, se vantant à Brittany de la façon dont elle avait utilisé sa détermination, et qu’il ne restait plus qu’un gramme de bonbon. Elle pensait à des garçons comme Josh revenant admirer sa beauté.
La Saint Valentin
Il y avait une chose sur laquelle Ashley n’avait pas compté – la Saint-Valentin. Elle avait encore beaucoup d’amis. Certains de ses amis étaient impatients de rester du bon côté d’Ashley et savaient à quel point elle aimait les bonbons. Aucun d’entre eux n’était assez prévenant pour connaître le problème de la dent sucrée d’Ashley et son plan actuel. Ils lui ont apporté du chocolat et d’autres bonbons. Tous les bonbons étaient emballés dans des papiers avec des autocollants en forme de cœur. Comment pourrait-elle les refuser ? Tous ces amis l’aimaient.
Brittany : Ashley, tu es très populaire.
Ashley : Qu’est-ce que je vais faire pour les bonbons et ma dent sucrée ?
Brittany : Donne le bonbon à ton petit frère.
Ashley : Pas question, comment puis-je donner les bonbons à ce voyou ? Les garçons mignons me l’ont donné avec amour. Je peux presque goûter leurs baisers dans les bonbons.
Brittany : Vous devez avoir un kilo de bonbon. Vous n’allez pas vous en tenir à votre ancienne règle de manger la moitié des bonbons restants chaque jour. Es-tu?
Ashley est retournée voir Sara et lui a dit : J’ai suivi votre plan de ne manger que la moitié des bonbons restants chaque jour. Ça fonctionnait, et j’avais presque fini, mais la Saint-Valentin est arrivée et j’ai reçu beaucoup de bonbons des garçons qui m’aiment. Maintenant, je suis coincé.
Sara regarda la quantité de Candy qu’Ashley avait, sourit et dit : Je n’aurais jamais pensé qu’être si populaire pouvait être une malédiction. Bien sûr, j’ai la solution mais j’ai un cours en ce moment. Quand pouvons-nous nous rencontrer?
Ashley : Es-tu libre à 2h ? On peut peut-être se rencontrer à la cafétéria.
Sara : Oui. Rendez-vous à 2 mais ne mangez pas de bonbons d’ici là.
Sara était-elle assez intelligente pour résoudre ce problème ?
Ashley et Brittany ne croyaient pas que Sara était assez intelligente pour faire quoi que ce soit pour résoudre ce problème. Néanmoins, ils ont décidé de la rencontrer. Peut-être qu’ils pourraient la montrer si elle n’avait pas de bonne solution. Ils se sont rencontrés à la cafétéria. Sara avait son ordinateur portable avec elle.
Sara : Permettez-moi de commencer par vous montrer un graphique de ce que vous faisiez avant la Saint-Valentin. Ce type de courbe s’appelle une décroissance exponentielle. Cette décomposition a une demi-vie de 1 jour parce que vous aviez décidé de ne manger que la moitié des bonbons restants chaque jour.
Brittany : J’ai compris. Ne me parlez pas de charabia mathématique. Comment cela aide-t-il la situation actuelle alors qu’Ashley a presque 1 kg de bonbons ?
Sara : Simple, on garde le même plan mais on va changer la demi-vie de 1 jour à 1 semaine.
Brittany : Tu racontes
moi qu’elle mangera la moitié de tous les bonbons en une semaine, puis la moitié des restes la semaine prochaine ? C’est intelligent. Le plan pourrait fonctionner.
Ashley avait pesé tous les bonbons, y compris le 1 g qu’il lui restait auparavant. Le poids total était de 1024 g.
Ashley : Merci pour le nouveau programme. Je garde le même plan mais change juste le temps de 1 jour à 1 semaine.
Brittany : Comment déciderez-vous de la quantité de bonbons à manger aujourd’hui ? Pouvez-vous manger toute la semaine de bonbons un jour, puis attendre la semaine suivante ?
Ashley : Ce serait à la fois stupide et difficile à faire. Sara, qu’en penses-tu ?
Sara : Une semaine compte 7 jours. Sara : Voici la quantité de bonbons que vous devriez manger du jour 1 au jour 7 : 97 g, 87 g, 79 g, 72 g, 65 g, 59 g et 53 g. Cela fait un total de 512 g sur les 1024 g dont vous disposez. Il vous restera donc 512 g. Je vais vous faire un tableau pour tous les jours différents après la première semaine.
Ashley : Je pourrais faire ça. Merci Sara. Maintenant, je sais pourquoi tout le monde t’aime.
Brittany : Une fois, tu devrais venir nous voir faire nos acclamations. C’est une invitation de nous deux.
Sara : Merci et j’accepte l’invitation avec joie. Johnny et moi allons nous réunir pour vous regarder les gars.
Pendant tout ce temps, Johnny regarda tranquillement ce que Sara avait fait. Après l’école, Sara et Johnny en ont parlé.
Johnny : Je vois que vous avez trouvé une autre application des fonctions exponentielles.
Sara : Une seule chose est différente, la dernière fois que nous avons parlé de fonctions exponentielles comme am quand “a” était supérieur à un. Nana avait l’habitude de recevoir le double du montant d’argent à chaque fois, nous avons donc utilisé la fonction f(t) = Cinitial x am avec Cinitial étant le montant qu’elle a reçu à sa naissance qui était d’un dollar, a = 2 car le montant a été doublé chaque année et m étant le nombre d’années. J’ai dit à Ashley qu’elle pouvait manger la moitié des bonbons restants chaque jour. Donc, ici a =1/2.
Johnny : Je sais que la quantité de bonbons qu’elle peut manger chaque jour deviendra
Cinitiale x am = Cinitiale x (1/2)(nombre de jours).
Sara : Johnny, tu te souviens qu’on peut aussi écrire 1/2 comme 2-1. Donc,
f(t) = Cinitial x (2-1)(nombre de jours) qui est identique à Cinitial x 2-nombre de jours.
Johnny : Je comprends mais on peut aussi écrire sous une forme générale comme :
f(t) = Cinitial x 2(-temps/demi-vie).
Sara: That’s what I did when I told her that she could eat half the remaining candy every week except that I changed the time to weeks instead of days. Then it became:
f(t) = Cinitial x 2(-semaines/demi-vie en semaines) et avec une demi-vie d’une semaine, j’ai eu
f(t) = Cinitial x 2(- nombre de semaines) = Cinitial x 2(-7 x nombre de jours). C’est comme ça que j’ai eu les chiffres que je lui ai donnés après la Saint-Valentin.
C(t) = 2(-temps en jours / 7).
Je vois que le deuxième exposant décroît beaucoup plus lentement que le premier. Ça a du sens. Je suppose que vous arrondirez les chiffres au gramme le plus proche lorsque vous lui direz les quantités à manger le reste des jours.
Johnny a été impressionné par la capacité de Sara à trouver cette nouvelle utilisation des fonctions exponentielles. Il ne put s’empêcher de craquer. “Je suppose que les exposants sont comme des montagnes. Avec une puissance positive, vous pouvez atteindre des hauteurs plus élevées mais vous glissez vers le bas lorsque la puissance est négative.”
Sara : C’est tout, mais rappelez-vous que cela ne fonctionne que pour une base supérieure à 1. Pour un exposant avec une base inférieure à, vous glissez vers le bas de la montagne.
Défi Tony Gordito
Tony Gordito, un élève de 10e année, était assis à la cafétéria de l’école avec ses amis et appréciait la nourriture. Chelsea a déclaré qu’elle allait participer à la course de 5 km ce week-end-là pour collecter des fonds pour la Fondation du cancer. Tony a dit qu’il devrait peut-être courir aussi. Tout le monde riait en pensant que Tony ne pouvait pas courir. Chelsea a demandé: “À quelle vitesse?” Tony a répliqué, “Combien de minutes prenez-vous pour la course de 5 km?” Chelsea a dit “22 minutes”. Tony a déclaré qu’il courrait l’année prochaine et a battu son temps de 22 minutes. Maintenant qu’il avait fait la déclaration, “Tony est allé sur les pistes pour commencer l’entraînement.” Il marchait aussi vite qu’il le pouvait, et avec des joggings occasionnels entre les deux. il a parcouru les 5 km en 60 minutes. Il a pensé qu’il pouvait s’entraîner 2 à 3 jours par semaine et que chaque semaine, il prendrait 2% de temps en moins que la semaine précédente. Si Tony reste déterminé à le faire, pensez-vous qu’après 52 semaines, il pourrait relever le défi de courir 5 km en moins que les 22 min de Chelsea ?
Solution : Tony a couru le 5 km en 60 min le week-end. Après chaque semaine, il prendra 2% de temps en moins que la semaine précédente. Par conséquent, le temps après n semaines sera
60 x (1-0,02)n ou 60 x 0,98n.
Ainsi, après 52 semaines, son chronométrage sera de 60 x 0,9852 minutes, soit 20,985 minutes. Cela lui donne un peu plus d’une minute sous le défi de courir dans le temps de Chelsea de 22 minutes.
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