Voyage au parc Langley

 Cathy et Sara

          Cathy et Sara sont amies depuis qu’elles se souviennent. À 17 ans, elles étaient toujours amies même si elles avaient leurs propres petits amis. Ils s’asseyaient souvent et bavardaient.

Cathy : Dave vient d’obtenir son permis de conduire. Nous allons célébrer en allant à Langley Park. Nous ferons juste l’aller-retour en voiture.

Sara : C’est super. Quel itinéraire allez-vous emprunter ?

Voitures séparées

Cathy : Dave m’a montré cette route panoramique à travers le comté. Il y a très peu de circulation. Il dit que pour profiter du paysage, nous irons lentement, à 40 kilomètres par heure, mais nous reviendrons à 60. Même si la limite de vitesse est de 50, ils ne vous donnent pas de contravention à 60. Est-ce que vous et ton copain Johnny veulent nous rejoindre ?

Sara : Laisse-moi demander à Johnny. Quand vas-tu?

Cathy : Demain.

Sara a appelé Johnny puis a dit à Cathy : Nous voulons y aller mais nous vous laisserons tranquilles les tourtereaux.

Cathy : Qu’est-ce que ça veut dire ?

Sara : Johnny veut prendre sa propre voiture, j’irai avec lui, et vous allez dans la voiture de Dave. Nous emprunterons le même chemin. De plus, il n’aime pas ralentir la circulation à l’aller et accélérer au retour. Il n’obtiendra peut-être pas de billet, mais il veut toujours aller à 50 dans les deux sens.

Cathy : Cela vous convient mais vous êtes les bienvenus parmi nous.

Sara : On pourra traîner après le voyage. Comme nous reviendrons 10 minutes avant vous, nous prendrons également un café pour vous.

Cathy ne peut pas comprendre comment Sara serait de retour 10 minutes plus tôt. Nous partons à 40, revenons à 60 et ils empruntent la même route à 50 dans les deux sens. Elle doit être folle.

Eh bien, le lendemain, ils sont partis en voyage. Cathy et Dave sont revenus 10 minutes plus tard comme Sara l’avait mentionné. Cathy ne comprend toujours pas comment cela a pu arriver. Elle pense qu’ils ont triché. Sara jure qu’ils sont restés à 50 dans les deux sens.

Qu’est-ce que tu penses?

Jusqu’où est ce Langley Park de toute façon ?

La blague de Sara

Blague de Sara : Deux politiciens se disputaient à la télévision. Le politicien A a déclaré qu’il y avait 90% de chances qu’il gagne l’élection. B a dit que la chance pour A de gagner était de 0 %. Le modérateur perplexe a décidé de régler le problème en disant que le nombre réel pourrait être une sorte de moyenne des deux valeurs. B a répliqué: “Je parie que ce n’est pas la moyenne arithmétique – peut être une moyenne géométrique ou harmonique.”

Défi

Disons que vous avez deux nombres réels positifs x et y.

Prouver que la moyenne géométrique ≤ moyenne arithmétique.

Prouver que la moyenne harmonique ≤ moyenne arithmétique.

Rappel : Moyenne arithmétique = (x+y)/2

Moyenne géométrique = √xy

Moyenne harmonique = 2/(1/x + 1/y).

Explications et solution au défi

Explication de l’histoire : d’abord, considérons cela comme un simple problème de mots algébriques.

           Say Langley Park est à d kilomètres.

Pour Cathy et Dave, à une vitesse de 40 km/h, il leur faudra d/40 heures pour aller, et à une vitesse de 60 km/h, il leur faudra d/60 heures pour revenir. Le temps total sera donc

j/40 + j/60 = 3/j120 + 2j/120 = 5j/120 = j/24h.

Puisqu’il y a 60 min dans 1 heure, nous pouvons multiplier le résultat par ceci pour obtenir

60j/24min = 5j/2min = 25j/10min.

Pour Sara et Johnny, à une vitesse de 50 km/h en aller et retour il faudra

j/50 + j/50h =2j/50h =120j/50min = 24j/10min.

24j/10min < 25j/10min. Sara a donc raison de dire qu’ils reviendront en premier.

La différence de temps entre leur voyage sera

25j/10 – 24j/10 = 1j/10 min.

Sara dit qu’ils reviendront 10 min plus tôt, ça veut dire

1j/10 = 10 min ce qui donne d =100 km.

Pour être sûr, nous pouvons vérifier cette réponse. Langley Park est à 100 km, le groupe de Sara mettra exactement 100/50 h aller et 100/50 h aller retour soit un total de 4 h ou 240 min. Cathy et Dave mettront 100/40 h aller et 100/60 h retour, soit un total de

100/40 + 100/60 = 300/120 + 200/120 = 500/120 soit 25/6 h soit 250 min.

           Parce que Sara et Johnny sont revenus en 240 min, ils sont revenus 10 min plus tôt que l’autre groupe. La réponse est donc vérifiée.

Vous pourriez vous demander pourquoi le temps ne serait pas le même puisque la moyenne de 60 et 40 est de 50, qui est la vitesse moyenne de l’autre groupe. La réponse est que la moyenne des deux vitesses n’est pas la vitesse moyenne, la vitesse moyenne est connue comme la moyenne « harmonique » des deux vitesses.

Pour Cathy et Dave, le temps total sera de (j/40+j/60) h. Parce qu’ils ont parcouru la distance de 2d km pendant ce temps, la vitesse moyenne sera de 2d/(d/40+d/60) = 2/(1/40+1/60) = 48 km/h. C’est la moyenne harmonique de 40 et 60 km/h.

Pour Sara et Johnny, la moyenne harmonique sera de 2/(1/50+1/50) = 50 km/h.

Défi

Prouver que la moyenne géométrique ≤ la moyenne arithmétique.

Prouver que la moyenne harmonique ≤ la moyenne arithmétique.

Moyenne arithmétique = (x+y)/2

Moyenne géométrique = √xy

Moyenne harmonique = 2/(1/x + 1/y)

Preuve pour moyenne géométrique ≤ moyenne arithmétique

Si x et y sont tous deux des nombres réels positifs,

Lorsque x = y, (x-y)2 = 0.

Lorsque x ≠ y, (x – y)2 > 0 car le carré d’un nombre réel positif ou négatif est toujours positif.

Donc, pour toutes les conditions (x – y)2 ≥ 0.

Cela signifie que x2 + y2 – 2xy ≥ 0.

Ajouter 4xy de chaque côté puis diviser les deux côtés par 4

 x2 + y2 – 2xy + 4xy ≥ 4xy, ou (x+y)2 ≥ 4xy ou (x+y)2/4 ≥ xy ou ((x+y)/2)2 ≥ xy.

En prenant la racine carrée des deux côtés (x + y)/2 ≥ √ xy ou √ xy ≤ (x + y)/2, la moyenne géométrique (√ xy) ou moyenne géométrique ≤ moyenne arithmétique ((x+y)/2) )

Prouver que la moyenne harmonique ≤ moyenne arithmétique.

Si x et y sont tous deux des nombres réels positifs,

Lorsque x = y, (x – y)2 = 0.

Lorsque x ≠ y, (x – y)2 > 0 car le carré d’un nombre réel est toujours positif,

Donc, pour toutes les conditions (x – y)2 ≥ 0.

Cela signifie que x2 + y2 – 2xy ≥ 0.

En ajoutant 4xy de chaque côté, x2 + y2 – 2xy + 4xy ≥ 4xy, ou (x + y)2 ≥ 4xy

En divisant les deux côtés par 2(x + y), (x + y)/2 ≥ 2xy/(x + y).

En divisant le numérateur et le dénominateur du côté droit par xy, cela devient

(x+y)/2 ≥ 2/(1/y+1/x) ou 2/(1/x+1/y) ≤ (x+y)/2

Avec les définitions de la moyenne harmonique (2/(1/x+1/y)) la moyenne arithmétique ((x+y)/2), on montre que la moyenne harmonique ≤ la moyenne arithmétique.

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