艾希莉和布列塔妮——啦啦队员
艾希莉和布列塔妮是亲密的朋友——当然，两个爱出风头的青少年能有多亲密，就有多亲密。她们在学校里都非常受欢迎，都是啦啦队员。她们健美的身材、昂贵的发型和时髦的衣服自然也增加了她们的人气。表面上，她们似乎互相尊重。或许她们不得不如此，因为两人都知道对方太多的秘密。
艾希莉有一个很大的弱点——特别爱吃甜食。只要有糖果，她就会尽量多吃。有一天，艾希莉和布列塔妮坐在一起聊天。
艾希莉：上个月我胖了5磅。我吃得很健康，参加啦啦队训练，还和你一起去健身房锻炼。我不想再长胖，变成一头鲸鱼。我觉得有些男生已经对我失去兴趣了。乔希甚至开始嘲笑我。
布列塔妮：你真的觉得自己吃得健康吗？
艾希莉：你是说糖果吗？我从小就爱吃甜食，实在控制不住。
谁能比我们更受欢迎？
艾希莉开始闷闷不乐，不停地咒骂自己身上唯一“甜”的东西——爱吃甜食的毛病。布列塔妮指给她看一群学生。他们围着一个女孩，热烈地交谈。两人嫉妒地想：谁能比我们更受欢迎？她们决定弄清楚。她们叫来人群中的一个男生，问他那个女孩是谁。他说女孩叫萨拉，还说萨拉非常聪明，对每个人都很好。布列塔妮和艾希莉简直不敢相信她竟然如此受欢迎。她甚至不是啦啦队员，穿着也像普通女孩——没有昂贵的发型，没有高跟鞋，什么都没有。她们决定看看萨拉为什么这么受欢迎。她真的那么聪明吗？于是她们走过去和萨拉交谈。当然，萨拉的男朋友约翰尼也在那里。
艾希莉：你是萨拉吗？我听说过很多关于你的事。
萨拉：是的，我叫萨拉。这是我的男朋友约翰尼。你听说了我什么事？
艾希莉：我叫艾希莉，这是我的朋友布列塔妮。我们刚才还在谈论你有多受欢迎呢。
萨拉：谢谢。我都不知道自己这么受欢迎。
布列塔妮：不仅受欢迎，还很聪明。
萨拉：拜托，别让我难为情了。
艾希莉向萨拉诉说自己爱吃甜食的问题
艾希莉：我有个问题。我想你这么聪明，也许能帮我解决。
萨拉：什么问题？如果能帮上忙，我会试试，不过不敢保证。
艾希莉：上个月我胖了5磅。我吃得健康，参加啦啦队训练，也经常和布列塔妮一起去健身房。我不想继续长胖。问题是我从小就特别爱吃甜食，根本控制不住。
布列塔妮：你不能一下子就戒掉。不如慢慢减少？
萨拉为艾希莉制定的计划
萨拉：布列塔妮说得对。我有个计划。你要答应自己：每天只吃掉手头剩余糖果的一半，而且不再买新的糖果。
艾希莉：咦，这主意真聪明。这样我就能慢慢戒掉。你觉得有用吗？
布列塔妮：值得试一试。如果成功，你就能重新成为所有男生的梦中情人。如果失败，我们就告诉大家萨拉其实没那么聪明。
这对艾希莉已经是足够大的动力了——成为男生们的梦中情人。她甚至可以暂时不计较这个办法会证明萨拉非常聪明。她回到家，拿出厨房秤，把所有糖果称了一遍，共有256克。当天她吃掉了128克，正好是256克的一半。其实，这和她平时每天吃的糖果差不多。现在还剩128克。第二天，她又吃掉剩余的一半，于是剩下64克。此后每天她都吃掉剩余糖果的一半，直到最后只剩下1克。
艾希莉很高兴，向布列塔妮炫耀自己的决心，说糖果只剩1克了。她想着乔希这样的男生又会回来欣赏她的美貌。
情人节
可是艾希莉没有料到一件事——情人节。她仍然有很多朋友。有些朋友急于讨好她，知道她特别喜欢糖果，却没有人细心地意识到爱吃甜食对她是个问题，也不知道她正在执行新的计划。他们送给她巧克力和其他糖果，包装纸上还贴着心形贴纸。她怎么能拒绝呢？这些朋友都喜欢她呀。
布列塔妮：艾希莉，你可真受欢迎。
艾希莉：那我该拿这些糖果和我爱吃甜食的毛病怎么办？
布列塔妮：把糖果送给你弟弟吧。
艾希莉：绝对不行！我怎么能把糖果给那个小坏蛋？这些可是可爱的男生带着爱意送给我的。我几乎能从糖果里尝到他们亲吻的滋味。
布列塔妮：你现在肯定有一公斤糖果了。你不会还打算遵守以前的规则，每天吃掉剩余糖果的一半吧？
艾希莉又去找萨拉，说：我一直按照你的计划，每天只吃掉剩余糖果的一半。这个办法很有效，我眼看就要成功了，可情人节到了，那些喜欢我的男生送了我好多糖果。现在我不知道怎么办了。
萨拉看了看艾希莉手中的糖果，笑着说：我从没想过，太受欢迎也会成为一种烦恼。我当然有办法，不过我现在要上课。我们什么时候能见面？
艾希莉：两点钟你有空吗？我们可以在食堂见面。
萨拉：好，两点见。不过在那之前不要吃糖果。
萨拉真的聪明到能解决这个问题吗？
艾希莉和布列塔妮不相信萨拉真能想出办法。不过她们还是决定去见她。要是萨拉拿不出好办法，说不定还能让她出丑。她们在食堂见面，萨拉带着笔记本电脑。
萨拉：先给你们看看情人节之前你的糖果数量变化图。这种曲线叫作指数衰减。它的半衰期是1天，因为你决定每天吃掉剩余糖果的一半。
布列塔妮：这我懂。别再跟我讲那些乱七八糟的数学术语了。现在艾希莉有将近1公斤糖果，这对眼下的情况有什么帮助？
萨拉：很简单。我们保留原来的计划，只把半衰期从1天改成1周。
布列塔妮：你的意思是，她在一周内吃掉全部糖果的一半，然后下一周再吃掉剩余糖果的一半？真聪明。这个计划可能行得通。
艾希莉把所有糖果都称了重，包括原来剩下的那1克，总重量是1024克。
艾希莉：谢谢你的新方案。我还是用原来的办法，只不过把时间从1天改成1周。
布列塔妮：那你怎么决定今天吃多少糖果呢？难道可以一天就吃掉整周的份额，然后等到下周再吃？
艾希莉：那样既愚蠢又很难做到。萨拉，你觉得呢？
萨拉：一周有7天。下面是你第1天到第7天应该吃的糖果数量：97克、87克、79克、72克、65克、59克和53克。加起来正好是512克，也就是你原来1024克糖果的一半。因此还剩512克。我会再给你做一张图，显示第一周以后每天的情况。
艾希莉：这我能做到。谢谢你，萨拉。现在我知道大家为什么都喜欢你了。
布列塔妮：改天你应该来看看我们的啦啦队表演。这是我们两个人一起发出的邀请。
萨拉：谢谢，我很高兴接受邀请。我会和约翰尼一起来看你们表演。
约翰尼一直在旁边静静地看着萨拉所做的一切。放学后，萨拉和约翰尼谈起了这件事。
指数函数的另一种应用
约翰尼：看来你又找到了指数函数的一种应用。
萨拉：只有一点不同。上次我们讨论的是指数函数 am，其中 a 大于1。娜娜每次得到的钱都会翻倍，所以我们用了函数 f(t) = Cinitial × am。其中 Cinitial 是她出生时得到的1美元，a = 2，因为钱每年翻一倍，而 m 是年数。我告诉艾希莉，她每天可以吃掉剩余糖果的一半，因此这里 a = 1/2。
约翰尼：我知道了，按这个规律，糖果的剩余数量可以写成：
f(t) = Cinitial × am = Cinitial × (1/2)天数。
萨拉：约翰尼，你还记得我们也可以把1/2写成2-1。因此：
f(t) = Cinitial × (2-1)天数，也就是 Cinitial × 2-天数。
约翰尼：明白了。不过我们还可以把它写成一般形式：
f(t) = Cinitial × 2(-时间/半衰期)。
萨拉：没错。我让她每周吃掉剩余糖果的一半时，就是用了这个公式，只不过把时间单位从天改成了周。于是得到：
f(t) = Cinitial × 2(-周数/以周为单位的半衰期)。当半衰期为1周时，就得到：
f(t) = Cinitial × 2(-周数) = Cinitial × 2(-天数/7)。这就是我计算情人节以后那些数字的方法。
C(t) = 2(-以天为单位的时间/7)。
约翰尼：我看得出，第二条指数曲线比第一条下降得慢得多（图5.1）。这很合理。我想你告诉她以后每天该吃多少糖果时，会把结果四舍五入到最接近的整克。
约翰尼对萨拉能找到指数函数的这种新用途十分佩服，忍不住开玩笑说：“我想指数就像山峰。指数为正时，你可以爬得越来越高；指数为负时，你就往山下滑。”
萨拉：是这样，不过记住，这种说法只适用于底数大于1的情况。如果底数小于1，情况就不同了。
挑战题
托尼·戈迪托是一名十年级学生。他和朋友们坐在学校食堂里享用美食。切尔西说，她打算在那个周末参加一场5公里赛跑，为癌症基金会筹款。托尼说，也许他也应该参加。大家都笑了，因为他们认为托尼根本跑不动。切尔西问：“你能跑多快？”托尼反问：“你跑5公里要多少分钟？”切尔西说：“22分钟。”托尼宣布，明年他也要跑，而且要打破她22分钟的成绩。既然已经夸下海口，托尼便去跑道开始训练。他尽可能快地走，中间偶尔慢跑，最后用了60分钟完成5公里。他计划每周练习2到3天，并希望每周所需时间都比前一周减少2%。如果托尼坚持这样的训练，你认为52周后，他能在不到22分钟的时间内跑完5公里，完成挑战吗？
解答：托尼最初跑完5公里用了60分钟。每过一周，他所需的时间减少2%。因此，n周后的时间为：
60 × (1 − 0.02)n，即 60 × 0.98n。
所以，52周后的时间是 60 × 0.9852 分钟，约为20.985分钟，比切尔西的22分钟成绩快了略多于1分钟。
返回页面顶部
艾希莉和布列塔妮——啦啦队员
艾希莉和布列塔妮是亲密的朋友——当然，两个爱出风头的青少年能有多亲密，就有多亲密。她们在学校里都非常受欢迎，都是啦啦队员。她们健美的身材、昂贵的发型和时髦的衣服自然也增加了她们的人气。表面上，她们似乎互相尊重。或许她们不得不如此，因为两人都知道对方太多的秘密。
艾希莉有一个很大的弱点——特别爱吃甜食。只要有糖果，她就会尽量多吃。有一天，艾希莉和布列塔妮坐在一起聊天。
艾希莉：上个月我胖了5磅。我吃得很健康，参加啦啦队训练，还和你一起去健身房锻炼。我不想再长胖，变成一头鲸鱼。我觉得有些男生已经对我失去兴趣了。乔希甚至开始嘲笑我。
布列塔妮：你真的觉得自己吃得健康吗？
艾希莉：你是说糖果吗？我从小就爱吃甜食，实在控制不住。
谁能比我们更受欢迎？
艾希莉开始闷闷不乐，不停地咒骂自己身上唯一“甜”的东西——爱吃甜食的毛病。布列塔妮指给她看一群学生。他们围着一个女孩，热烈地交谈。两人嫉妒地想：谁能比我们更受欢迎？她们决定弄清楚。她们叫来人群中的一个男生，问他那个女孩是谁。他说女孩叫萨拉，还说萨拉非常聪明，对每个人都很好。布列塔妮和艾希莉简直不敢相信她竟然如此受欢迎。她甚至不是啦啦队员，穿着也像普通女孩——没有昂贵的发型，没有高跟鞋，什么都没有。她们决定看看萨拉为什么这么受欢迎。她真的那么聪明吗？于是她们走过去和萨拉交谈。当然，萨拉的男朋友约翰尼也在那里。
艾希莉：你是萨拉吗？我听说过很多关于你的事。
萨拉：是的，我叫萨拉。这是我的男朋友约翰尼。你听说了我什么事？
艾希莉：我叫艾希莉，这是我的朋友布列塔妮。我们刚才还在谈论你有多受欢迎呢。
萨拉：谢谢。我都不知道自己这么受欢迎。
布列塔妮：不仅受欢迎，还很聪明。
萨拉：拜托，别让我难为情了。
艾希莉向萨拉诉说自己爱吃甜食的问题
艾希莉：我有个问题。我想你这么聪明，也许能帮我解决。
萨拉：什么问题？如果能帮上忙，我会试试，不过不敢保证。
艾希莉：上个月我胖了5磅。我吃得健康，参加啦啦队训练，也经常和布列塔妮一起去健身房。我不想继续长胖。问题是我从小就特别爱吃甜食，根本控制不住。
布列塔妮：你不能一下子就戒掉。不如慢慢减少？
萨拉为艾希莉制定的计划
萨拉：布列塔妮说得对。我有个计划。你要答应自己：每天只吃掉手头剩余糖果的一半，而且不再买新的糖果。
艾希莉：咦，这主意真聪明。这样我就能慢慢戒掉。你觉得有用吗？
布列塔妮：值得试一试。如果成功，你就能重新成为所有男生的梦中情人。如果失败，我们就告诉大家萨拉其实没那么聪明。
这对艾希莉已经是足够大的动力了——成为男生们的梦中情人。她甚至可以暂时不计较这个办法会证明萨拉非常聪明。她回到家，拿出厨房秤，把所有糖果称了一遍，共有256克。当天她吃掉了128克，正好是256克的一半。其实，这和她平时每天吃的糖果差不多。现在还剩128克。第二天，她又吃掉剩余的一半，于是剩下64克。此后每天她都吃掉剩余糖果的一半，直到最后只剩下1克。
艾希莉很高兴，向布列塔妮炫耀自己的决心，说糖果只剩1克了。她想着乔希这样的男生又会回来欣赏她的美貌。
情人节
可是艾希莉没有料到一件事——情人节。她仍然有很多朋友。有些朋友急于讨好她，知道她特别喜欢糖果，却没有人细心地意识到爱吃甜食对她是个问题，也不知道她正在执行新的计划。他们送给她巧克力和其他糖果，包装纸上还贴着心形贴纸。她怎么能拒绝呢？这些朋友都喜欢她呀。
布列塔妮：艾希莉，你可真受欢迎。
艾希莉：那我该拿这些糖果和我爱吃甜食的毛病怎么办？
布列塔妮：把糖果送给你弟弟吧。
艾希莉：绝对不行！我怎么能把糖果给那个小坏蛋？这些可是可爱的男生带着爱意送给我的。我几乎能从糖果里尝到他们亲吻的滋味。
布列塔妮：你现在肯定有一公斤糖果了。你不会还打算遵守以前的规则，每天吃掉剩余糖果的一半吧？
艾希莉又去找萨拉，说：我一直按照你的计划，每天只吃掉剩余糖果的一半。这个办法很有效，我眼看就要成功了，可情人节到了，那些喜欢我的男生送了我好多糖果。现在我不知道怎么办了。
萨拉看了看艾希莉手中的糖果，笑着说：我从没想过，太受欢迎也会成为一种烦恼。我当然有办法，不过我现在要上课。我们什么时候能见面？
艾希莉：两点钟你有空吗？我们可以在食堂见面。
萨拉：好，两点见。不过在那之前不要吃糖果。
萨拉真的聪明到能解决这个问题吗？
艾希莉和布列塔妮不相信萨拉真能想出办法。不过她们还是决定去见她。要是萨拉拿不出好办法，说不定还能让她出丑。她们在食堂见面，萨拉带着笔记本电脑。
萨拉：先给你们看看情人节之前你的糖果数量变化图。这种曲线叫作指数衰减。它的半衰期是1天，因为你决定每天吃掉剩余糖果的一半。
布列塔妮：这我懂。别再跟我讲那些乱七八糟的数学术语了。现在艾希莉有将近1公斤糖果，这对眼下的情况有什么帮助？
萨拉：很简单。我们保留原来的计划，只把半衰期从1天改成1周。
布列塔妮：你的意思是，她在一周内吃掉全部糖果的一半，然后下一周再吃掉剩余糖果的一半？真聪明。这个计划可能行得通。
艾希莉把所有糖果都称了重，包括原来剩下的那1克，总重量是1024克。
艾希莉：谢谢你的新方案。我还是用原来的办法，只不过把时间从1天改成1周。
布列塔妮：那你怎么决定今天吃多少糖果呢？难道可以一天就吃掉整周的份额，然后等到下周再吃？
艾希莉：那样既愚蠢又很难做到。萨拉，你觉得呢？
萨拉：一周有7天。下面是你第1天到第7天应该吃的糖果数量：97克、87克、79克、72克、65克、59克和53克。加起来正好是512克，也就是你原来1024克糖果的一半。因此还剩512克。我会再给你做一张图，显示第一周以后每天的情况。
艾希莉：这我能做到。谢谢你，萨拉。现在我知道大家为什么都喜欢你了。
布列塔妮：改天你应该来看看我们的啦啦队表演。这是我们两个人一起发出的邀请。
萨拉：谢谢，我很高兴接受邀请。我会和约翰尼一起来看你们表演。
约翰尼一直在旁边静静地看着萨拉所做的一切。放学后，萨拉和约翰尼谈起了这件事。
指数函数的另一种应用
约翰尼：看来你又找到了指数函数的一种应用。
萨拉：只有一点不同。上次我们讨论的是指数函数 am，其中 a 大于1。娜娜每次得到的钱都会翻倍，所以我们用了函数 f(t) = Cinitial × am。其中 Cinitial 是她出生时得到的1美元，a = 2，因为钱每年翻一倍，而 m 是年数。我告诉艾希莉，她每天可以吃掉剩余糖果的一半，因此这里 a = 1/2。
约翰尼：我知道了，按这个规律，糖果的剩余数量可以写成：
f(t) = Cinitial × am = Cinitial × (1/2)天数。
萨拉：约翰尼，你还记得我们也可以把1/2写成2-1。因此：
f(t) = Cinitial × (2-1)天数，也就是 Cinitial × 2-天数。
约翰尼：明白了。不过我们还可以把它写成一般形式：
f(t) = Cinitial × 2(-时间/半衰期)。
萨拉：没错。我让她每周吃掉剩余糖果的一半时，就是用了这个公式，只不过把时间单位从天改成了周。于是得到：
f(t) = Cinitial × 2(-周数/以周为单位的半衰期)。当半衰期为1周时，就得到：
f(t) = Cinitial × 2(-周数) = Cinitial × 2(-天数/7)。这就是我计算情人节以后那些数字的方法。
C(t) = 2(-以天为单位的时间/7)。
约翰尼：我看得出，第二条指数曲线比第一条下降得慢得多（图5.1）。这很合理。我想你告诉她以后每天该吃多少糖果时，会把结果四舍五入到最接近的整克。
约翰尼对萨拉能找到指数函数的这种新用途十分佩服，忍不住开玩笑说：“我想指数就像山峰。指数为正时，你可以爬得越来越高；指数为负时，你就往山下滑。”
萨拉：是这样，不过记住，这种说法只适用于底数大于1的情况。如果底数小于1，情况就不同了。
挑战题
托尼·戈迪托是一名十年级学生。他和朋友们坐在学校食堂里享用美食。切尔西说，她打算在那个周末参加一场5公里赛跑，为癌症基金会筹款。托尼说，也许他也应该参加。大家都笑了，因为他们认为托尼根本跑不动。切尔西问：“你能跑多快？”托尼反问：“你跑5公里要多少分钟？”切尔西说：“22分钟。”托尼宣布，明年他也要跑，而且要打破她22分钟的成绩。既然已经夸下海口，托尼便去跑道开始训练。他尽可能快地走，中间偶尔慢跑，最后用了60分钟完成5公里。他计划每周练习2到3天，并希望每周所需时间都比前一周减少2%。如果托尼坚持这样的训练，你认为52周后，他能在不到22分钟的时间内跑完5公里，完成挑战吗？
解答：托尼最初跑完5公里用了60分钟。每过一周，他所需的时间减少2%。因此，n周后的时间为：
60 × (1 − 0.02)n，即 60 × 0.98n。
所以，52周后的时间是 60 × 0.9852 分钟，约为20.985分钟，比切尔西的22分钟成绩快了略多于1分钟。