चीन और पाई

गोलधारे की परिधि और व्यास का अनुपात

हज़ारों सालों से शोधछात्र (scholars) एक (वृत्त) गोलधारे की परिधि (circumference) और व्यास (diamater) के अनुपात (ratio) की गणना से मोहित होते रहे हैं ।  आज इस अनुपात को पाई का नाम दिया जाता है और इसका चिन्ह है ग्रीक अक्षर π । पचास हज़ार से अधिक पहले बैबिलान के गणकों ने इस अनुपात का अनुमान लगाया था 25/8 यानि 3 और 1/8  । बाइबल में इस अनुपात को 3 लिखा गया है (http://www.csun.edu/~hbund408/math%20history/math.htm) । आज कल स्कूलों में  पाई को आम तौर पर 22/7 लिखा जाता है । आंकड़े का यह अनुमान चीन के एक गणितज्ञ किन जिउशाओ ने सन 1246 में दिया था । आज हम जानते हैं कि पाई एक अपरिमेय संख्या (irrational number) यानि इसे दो पुर्णाकों के अनुपात (ratio of two integers) से बिल्कुल ठीक नहीं लिखा जा सकता । पाई की आज की प्रयुक्त कोई भी संख्या केवल एक अनुमान मात्र है ।

लिउ हुइ की पाई

सन 263 में लिउ हुइ नाम के एक चीनी गणितज्ञ ने इस नियतांक (constant) की अनुमानित संख्या का गणन किया था । उसकी गणन विधि का आधार था कि गोलधारा एक असंख्य समान भुजाओं वाला बहुभुज होता है । उसने 96 समान भुजाओं वाली बहुभुज तक गणना की थी । इस अनुसार उसने पाई संख्या को ऐसे लिखा था:

π = 3 + 1/10 +4/100 + 1/1000 + 6/10000 या

π = 3 + 1/10¹ +4/10² + 1/10³ +6/10⁴

जान नैपियर और दशमलव

स्पष्ट है कि ऐसी संख्या को लिखने के लिए यह ढंग उलझनदार है । सन 1619 में जान नैपियर नाम के एक स्काटलैड गणितज्ञ ने अंकों को लिखने का एक नया ढंग चलाया था । यह ढंग आधुनिक दशमलव (decimal) विधि का आधारण बन चुका है । इस विधि में पूर्णांक के दाईं ओर एक दशमलव का बिन्दु लगाया जाता है । उसके बाद वाले आंकड़ों का मूल्य उनकी स्थिति पर निर्भर करता है । नीचे कुछ उदाहरण हैं:

3.1 = 3 + 1/10

3.14 = 3 + 1/10 + 4/100

3.141 = 3 + 1/10 + 4/100 + 1/1000

अब समीकरण (equation)  π = 3 + 1/10 +4/100 + 1/1000 + 6/10000, इस सरल ढ॓ग से लिखी जा सकती है π = 3.1416  ।

पाई की संख्या का बिल्कुल पूरा गणन तो नहीं हो सकता, अनुमान ही लगाया जा सकता है । आधुनिक कम्प्यूटरों को प्रयोग करके पाई का अनुमान 10,000 दशमलव स्थिति तक निकाला जा चुका है ।  क्या आप कल्पना कर सकते हैं  इस संख्या को पुरानी विधि से लिखना ?  नीचे 10 दशमलव तक इस को पुरानी और दशमलव विधियों से लिखा है । आप को कौन सी विधि सरल लगती है ?

π = 3 + 1/10 +4/100 + 1/1000 +5/10000 + 9/100000 + 2/1000000 + 6/10000000 5/10000000 +

3/100000000 + 5/1000000000,

या π = 3.1415926535 ?

आप  ही निर्णय कर लो ।

हां, दशमलव अंकों का योग, घटाव, गुणा और विभाजन भी उन्ही नियमों से होता है जो आप पूर्णांकों के लिए सीख चुके हो । बहुत सारे साधारण भिन्न अंकों को दशमलव अंकों  में बदला जा सकता है, और दशमलव अंकों को साधारण भिन्न अंकों में भी ।

चुनौती

एक और अपिरमेय संख्या है यूलर का नियतांक (Euler’s constant) । इसका चिन्हं अंग्रेज़ी अक्षर e है । इसका अनुमान दस दशमलव तक है: 2.7182818284  ।  इसका प्रयोग करके निकालो: 10 x e, 100 x e, 1000 x e , 0.1 x e  और  0.01 x e   ।

उत्तर: e= 2.7182818284

10 x e = 27.182818284

100 x e = 271.82818284

1000 x e = 2718.2818284

0.1 x e  =  0.27182818284

0.01 x e  = 0.027182818284

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