चाकलेट और आइस क्रीम

beej1b1tinku.fig.1केतली के कमरे में दो पोस्टर थे

तानिया के घर बैठ कर, टिन्कू उससे इधर उधर की बातें कर रहा था । अचानक, केतली का फ़ोन आया और उसने तानिया को अपने घर बुलाया । जब उसे पता लगा कि टिन्कू भी वहीं था तो कहा, “चल, उसे भी साथ ले आ” । दोनो केतली के घर ग​ए ।

केतली ने उने अपना कमरा दिखाया । एक दीवार पर बहुत बड़ा पोस्टर था सलमान खान का और उसके सामने वाली दीवार पर एक पोस्टर में खड़ी थी प्रियांका चोपड़ा । दोनो फ़िल्मी सितारे जैसे एक दूसरे को देख कर मुस्करा रहे थे ।

टिन्कू और तानिया ने इन पोस्टरों को केतली के साथ मिल कर सराहा । फिर अचानक, केतली ने तानिया को इन पोस्टरों को लिए धन्यवाद दिया । तानिया ने कहा, “न तो मैं तेरे लिए यह पोस्टर लाई हूं और न ही मैंने तुझे इनके लिए पैसे दिए हैं । तो मुझे क्यों धन्यवाद दे रही है ?”  केतली ने फिर टिन्कू को सारी कहानी सुनाई कि किस तरह तानिया ने उसे बीजगणित के समीकरण बनाने सिखाए और एक बीज को लुप्त करना सिखाया । फिर उसने पिताजी को बताया कि अब उसे बीजगणित से कोई घबराहट नहीं थी । खुश हो कर, पिताजी उसे शापिंग ले ग​ए और उसे यह पोस्टर भी ले दिए ।

प्रतिस्थापन (substitution)

टिन्कू: तानिया तूने केवल लुप्त करने वाली विधि बताई थी या प्रतिस्थापन भी ? नहीं तो मैं उसे प्रतिस्थापन (substitution) की विधि सिखा सकता हूं ।

तानिया: टिन्कू, शायद तू भूल गया है कि केतली कितनी होशियार है । केतली, इसे दिखा कि प्रतिस्थापन की विधि से दो समीकरण को कैसे हल किया जाता है । सलमान की जगह s  लिख ले और प्रियांका की जगह p , x और y लिखने की कोई आवश्यकता नहीं है ।

टिन्कू: ना ना ना, उसी प्रश्न को दोबारा नहीं करना । मैं तुझे नया सवाल देता हूं – चाकलेट और आइस क्रीम का । दुकानदार ने कहा कि 7 आइस क्रीम और 2 चाकलेट का दाम 290 रुपए है पर 2 चाकलेट और 5 आइस क्रीम 260 रुपए में मिल जाएंगी । एक आइस क्रीम का क्या दाम है ? यदि इसका तू उत्तर सही दे दे, तो मैं तुझे आइस क्रीम खिलाने ले जाऊंगा ।

केतली: यार टिन्कू, अगर मुझे आइस क्रीम खिलाने ले जाना है तो सीधा कह  । अब तूने बात शुरू की ही है तो मैं शर्त बदल देती हूं । यदि में इस प्रश्न का उत्तर प्रतिस्थापन की विधि से ठीक निकाल दूं तो तू मुझे और तानिया दोनो को आइस क्रीम खिलाएगा ।

टिन्कू: ओके ।

केतली: मैं आइस क्रीम को x और चाकलेट को y लिखूंगी । तब आ जाएंगे:

7x + 2y = 290….. समीकरण 1, और 2x + 5y = 260….. समीकरण 2.

समीकरण 1 में से मै 2y दोनो पक्षों से घटा दूंगी

7x – 2y + 2y = 290 – 2y or 7x = 290 – 2y or x = (290-2y)/7.

समीकरण 2 है  2x + 5y = 260.

प्रतिस्थापन किया (290-2y)/7 को  x के लिए, तो यह बन गई 2 x (290-2y) /7 + 5y =260.

दोनो पक्षों को 7 से गुणा करके आ गया: 2 x (290-2y)   + 35 y =1820 or 580 -4y+35y=1820

यानि 31 y= 1820-580 = 1240 यानि y = 40.

अब समीकरण में y =4  का प्रतिस्थापन करके आएगा: 7x + 2y = 290 यानि 7x + 80 = 290 यानि 7x = 210 यानि x =30.

टिन्कू: अरे कमाल है, तूने तो ठीक किया है ।

केतली: मुझे तानिया ने एक चीज़ और सिखाई है । तू भी सीख ले । इन समीकरण में x और y की मूल्य संख्या लगाकर जांच ले कि यह उत्तर ठीक है । अब बता, हम दोनो को आइस क्रीम कब खिला रहा है ?

तानिया: केतली, मैंने तुझे कहा था कि बीजगणित से पोस्टरों वाली विधि से चाकलेट और आइस क्रीम के प्रश्नो को भी हल कर सकते हैं । अब तूने टिन्कू को इस बात का प्रमाण दे दिया । टिन्कू, तेरी आइस क्रीम को तो हम दोनो मज़े से खाएंगे, पर कब ?

चुनौती

तानिया और टिन्कू अच्छे मित्र हैं पर नित दिन बहस करते हैं कि वह एक दूसरे से अच्छे हैं । आज की बहस है कि कौन 10 किलोमीटर की दौड़ कम समय में लगा सकता है । मज़े की बात है कि दोनो में से किसी ने भी आज तक ऐसी कोई दौड़ में कभी भाग ही नहीं लिया, और दोनो इस बात को अच्छी तरह जानते हैं ।

दोनो ने निर्णय कर लिए कि अगर भाग न सके तो चल कर ही दौड़ को पूरा कर देंगे । तानिया की चलने की गति 5 किलोमीटर प्रति घंटा है । वह सोचती है कि वह 5 किलोमीटर तो 9 किलोमीटर प्रति घंटा की गति से भागेगी और शेष दूरी वह चल कर पूरी कर लेगी । टिन्कू की सोच है कि वह 5 किलोमीटर तो 10 किलोमीटर प्रति घंटा की गति से भाग लेगा और बाकी चलेगा । टिन्कू की 5 किलोमीटर चलने की गति कितनी होनी चाहिए ताकि वह जीत जाए ।

उत्तर:

तानिया का 5 किलोमीटर भागने का समय 5/9  घंटे ।

तानिया का 5 किलोमीटर चलने का समय 5/5  घंटे ।

तानिया की पूरी दौड़ का समय = 5/9 + 5/5 = 5/9 +1= 14/9  घंटे ।

टिन्कू का 5 किलोमीटर भागने का समय = 5/10 = 1/2 घंटे ।

मान लो कि वह 5 किलोमीटर x किलोमीटर प्रति घंटा से चलेगा ।

तो उसका कुल समय होगा: 5/x  + 1/2 घंटे ।

तो टिन्कू के जीतने के लिए: 5/x + 1/2 < 14/9

दोनो कक्षों को x से गुणा कर के आ  गया: 5 + x/2  < x14/9 यानि  x/2 – x14/9 < -5 यानि -x/2 + x14/9 < 5 यानि

-9x/18 + 28x/18 < 5 यानि 19x/18 < 5 यानि  x < 90/19 यानि x < 4.74 किलोमीटर प्रति घंटा ।

तो टिन्कू की चलने की गति 4.74 किलोमीटर प्रति घंटा से अधिक होनी चाहिए ।