ईस्टर का त्यौहार

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मैडम क्लिमैंटीन

मैडम क्लिमैंटीन एक पुरानी रीती की शिक्शिका थी । उनका विश्वास था कि कठिन परीश्रम का अभ्यास ही उनके शिष्यों को जीवन में सफ़ल बना सकता है । वह अपने शिष्यों को पसंद करती थी और चाहती थी कि शिष्य अपने अपने जीवन में सफ़ल हों । शायद इसी लिए वह एक ड्रिल सार्जैंट की तरह उनसे मेहनत करवाती थी । इस छैमाही मैडम नौवीं श्रेणी को बीजगणित का पहला कोर्स पढ़ा रही थी । उन्होंने युगपत समीकरण को (simultaneous equations) हल करने के लिए प्रतिस्थापन (substitution) और लुप्ति (elimination)  दोनो की विधियां सिखा दी थी और विद्यार्थिओं को कहती थी कि वह अपनी इच्छा के अनुसार कोई भी विधि प्रयोग कर सकते थे । इससे कहीं यह ना समझ लेना कि वह उदारता दिखा रही थी । नहीं मैडम ने शिष्यों  को इतना होमवर्क दिया कि उन्हें सारी रात जाग कर करना पड़े ।

युगपत समीकरण (simultaneous equations)

इस शिक्षिका का एक और स्वरूप भी था । उन्हें धार्मिक छुट्टी वाले दिन बहुत भाते थे – विशेषतय ईस्टर । कहा जाता है कि इस दिन मृतक ईसा मसीह का पुनरुत्थान हुआ था । आजकल तो यह दिन एक औद्योगिक त्यौहार बन गया है । जब वह छोट्टी बच्ची थी, उनकी चर्च उनके लिए ईस्टर अंडे को तलाशने का खेल खिलवाती थी । उस दिन बच्चों को ढेर सारी टाफ़ियां और चाकलेट खाने का मज़ा आता था । जब वह बड़ी हो कर अध्यापिका बन गई, उन्होंने अपनी चर्च के लिए ईस्टर अंडे को तलाशने का कार्यक्रम आरंभ कर दिया । बड़ा आनंद मिलने लगा छोटे बच्चों को खुश देख कर । शायद यही कारण था कि मैडम का आज का सारा होमवर्क चाकलेटों के बारे में था । ऐसे प्रश्न बनाने में उन्होंने गणित की गहरी विचारशीलता को पूरी तरह ध्यान में रखा । कुछ प्रश्नों मे केवल दो तरह के चाकलेट के समीकरण थे, कुछ में तीन तरह के चाकलेट के, कुछ में चार और आप मानेंगे नहीं कि कई प्रश्न तो ऐसे थे कि जिनके समीकरणो में पांच चरवस्तुएं थी जो पांच तरह के चाकलेट से बनी थी ।

सैरा और उसका बायफ़्रैंड दोनो ही मैडम क्लिमैंटीन की क्लास में थे । स्कूल से दोनो साथ साथ वापिस आए पर अपने अपने घर चले गए । तीन घंटों के बाद सैरा जानी के घर आ गई ।

सैरा: जानी चल पार्क में जा कर फ़्रिस्बी खेलें । देख बाहर कितना सुहावना दिन है । धीरे धीरे हवा चल रही है और कोई बादल भी समीप नहीं हैं ।

जानी: कैसा मज़ाक कर रही है तू ?  हमें मैडम क्लिमैंटीन ने इतना सारा होमवर्क दिया था । मैं दो घंटों से लगा हुआ हूं और केवल पांच प्रश्न किए हैं और आठ बाकी हैं । जो पांच किए हैं, वह तो सरल थे ।  मुझे तो लगता है कि सारी रात जागे रहने पर भी मैं बाकी के प्रश्न नहीं कर पाऊंगा – बहुत कठिन और लंबे हैं वह । ऐसे में तू खेलने के बारे में कैसे सोच सकती है ?  क्या तूने अपना होमवर्क पूरा कर लिया है ?

सैरा: हां मैने सारे प्रश्न कर लिए हैं ।

जानी: इतनी जल्दी कैसे कर लिए ?  मुझे तो विश्वास नहीं हो रहा ।

सैरा: चल आधा घंटा खेल आते हैं । फिर आकर मैं तुझे समझा दूंगी ।

जानी: काम तो खतम होना नहीं है, चलो खेल ही आते हैं ।

दोनो पार्क में गए । एक दूसरे को फ़्रिस्बी फैंकते थे और फिर भाग कर उसे पकड़ लेते थे । कोई खास खेल तो नहीं खेला । फिर भी आधे घंटे भागते दौड़ते दोनो को पसीना आ गया और फिर वह जानी के घर लौट आए । जानी को तो जिज्ञासा थी कि इस लड़की ने काम इतनी जल्दी कैसे खतम कर लिया ।

जानी: तो अपना जादू टोना दिखा ।

सैरा: कोई जादू टोना नहीं । कल रात को मेरे पिता जी ने क्रेमर नियम का प्रयोग करके एक आसान विधि सिखाई थी ।

जानी: यह तेरी जबड़ गबड़ नहीं समझा । होता क्या है यह नियम और हमें मैडम ने सिखाया क्यों नहीं ?

सैरा: वह इंतिज़ार कर रही है उस समय की जब तू बारहवीं में मेट्रिक्स का कोर्स लेगा, मैं तो यह कोर्स अवश्य करूंगी ।

जानी: मेट्रिक्स क्या होते हैं ?

सैरा: मैं तुझे मेट्रिक्स का मूलभूत ज्ञान दे दूंगी और फिर क्रेमर के नियम का उपयोग भी सिखा दूंगी । यदि तू मेट्रिक्स का कोर्स बारहवीं में लेगा तो इस विषय को विस्तारपूर्वक सीख जाएगा । चल आरंभ करते हैं पहले प्रश्न से जो तूने आज किया है । यह केरामल और किट्कैट  चाकलेट के बारे में है । यह कहता है कि 7 केरामल और दो किट्कैट  की कीमत 1450 रुपए है और दो केरामल और पांच किट्कैट  की कीमत 1300 रुपए है ।  इस से:

7x + 2y = 1450….. समीकरण  1

x + 5y = 1300….. समीकरण  2

जानी: यह सब कुछ तो मैं कर चुका हूं ।

सैरा: हां, पर अब मैं इन समीकरण के की बाईं ओर को  एक 2×2 मेट्रिक्स M के अभिरूप में लिखूंगी और दाईं ओर को अलग से एक 1×2 मेट्रिक्स के रूप में । M में पहली समीकरण पहली पंक्ती में है और दूसरी समीकरण दूसरी पंक्ती में । x है पहले कालम में और y है दूसरे में ।

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अब हम एक मेट्रिक्स Mx बनाएंगे जिसमें x कालम के स्थान पर दाईं ओर का मेट्रिक्स है, और मेट्रिक्स My जिसमें y कालम के स्थान पर दाईं ओर का मेट्रिक्स ।

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अब हम इन मेट्रिक्स के determinant का गुणन करेंगे जैसे नीचे दिखाया गया है ।

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हमारे सवाल में मेट्रिक्स M का determinant D  होगा 7 x 5 – 2 x 2 =35-4 =31,

मेट्रिक्स Mx determinant का Dx  होगा 1450 x 5 – 1300 x 2 = 4650,

और मेट्रिक्स My का determinant Dy  होगा 7 x 1450 – 2 x 1300 = 6200

अब क्रेमर नियम के अनुसार   x = Dx/D और y = Dy/D

क्योंकि D = 31, Dx = 4650 and Dy = 6200, x एक केरामल चाकलेट की कीमत = 4650/31 = 150 रुपए और किट्कैट चाकलेट की कीमत = 6200/31 = 200 रुपए ।

जानी: यह बड़े बड़े चाकलेट होंगे । इसी लिए इतने कीमती हैं । खैर, मेरा भी यही उत्तर आया था । पर सैरा, यह तो दो चरवस्तुओं वाले प्रश्न हैं जिनको मैं खटाखत कर सकता हूं ।  कोई कठिन वाले कर के दिखा ।

सैरा: ठीक है । यदि तुझे समझ आ गई है तो कठिन प्रश्नो की बात भी कर लेते हैं । उससे पहले देख कि 2×2 से बड़े मेट्रिक्स का  determinant कैसे निकाला जाता है ।

पहले एक 3×3 मेट्रिक्स को देख । इसमें से तीन 2×2 मेट्रिक्स बनाए जा सकते हैं । हर छोटे मेट्रिक्स को एक minor कहा जाता है और इसे इसके  cofactor से गुणा किया जाता है । cofactor पहली पंक्ती की एक टर्म होती है जिसकी पंक्ती या कालम इसके minor में ना हो । फिर हर 2×2 मेट्रिक्स का determinant निकाला जाता है और निम्न्लिखित विधि से हल किया जाता है ।

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यदि एक n x n मेट्रिक्स हो तो पहले उसके n minors और n cofactors बनाए जाते हैं ताकि हर minor n-1  x  n-1 हो । फिर हर minor को  फिर तोड़ा जाता है । अंत में केवल कई cofactors और 2×2 मेट्रिक्स बचते हैं । फिर उनको हल किया जाता है । यह बड़ा लंबा और मेहनत का कार्य बन जाता है ।

इस लिए मैं तुझे ऐसे determinants  के लिए एक निराली विधि बताती हूं । ध्यान से सुन । पहले तो 3×3 मेट्रिक्स के पहले कालम को कालम तीन के बाद दोबारा लिख दे और कालम दो को फिर उसके बाद दोबारा ताकि अब तेरे पांच कालम हो गए जैसे कि नीचे चित्र में दिखा रही हूं । अब तू तीर के साथ जुड़ी हुई राशियों को गुणा कर दे । अब काले तीर वाले गुणज का योग कर दे और लाल तीर वालियों को घटा दे । बस काम हो गया । यह विधि बड़े बड़े मेट्रिक्स के determinant का हल करने के लिए प्रयोग की जा सकती है । नीचे इसका प्रयोग एक 5×5 मेट्रिक्स के लिए भी दिखा रही हूं तुझे । अरे बाबा, अगर ऐसे कामों से तंग ही हो जाए तो आजकल कई कैल्कुलेटर और कंप्यूटर प्रोग्राम भी determinant  निकाल देते हैं ।

जानी: अब तू भाषण ही देती रहेगी या एक उदाहरण का हल कर के दिखाएगी ?

सैरा: यह रहा एक सवाल जिसे तू कर चुका है । जेमी ने 800 रुपए में खरीदी 6 केरामल, 2 किट्कैट  , और 2 हर्शी चाकलेट। जोसफ़ीन  ने 500 रुपए में खरीदी 1 केरामल, 1 किट्कैट , और 5  हर्शी । जोनी ने 1000 रुपए में खरीदी 9केरामल,  1 किट्कैट  , और 3 हर्शी । हर प्रकार की एक चाकलेट का दाम बताओ । यहां मैने  केरामल को x, किट्कैट को y और हर्शी को z  लिख दिया है और तीन समीकरण बना लिए हैं ।

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ऊपर बाईं ओर हैं तीन समीकरण । उसके दाईं ओर मैने तीनो समीकरण की बाईं ओर की भुजाओं को एक 3×3 मेट्रिक्स M में लिखा दिया है और दाईं भुजाओं को एक 1×3 मेट्रिक्स में । नीचे हैं मेट्रिक्स M और पहले की तरह मेट्रिक्स Mx, My और Mz । सबसे नीचे हैं इन के determinants D, Dx, Dy और Dz ।  D = 8,  Dx = 400, Dy = 800 और Dz= 1200. क्रेमर के नियम के अनुसार:  x = Dx/D =50, y = Dy/D = 100 और z = Dz/D = 150

जानी: बस काम खतम ?  मैं वही कार्यविधि हर प्रश्न के लिए प्रयोग कर सकता हूं । यदि दिल किया तो बड़े मेट्रिक्स को कंप्यूटर से कर लूंगा । अब तो यह सारा काम एक या दो घंटे में समाप्त हो जाएगा, बजाय सारी रात के । सैरा धन्यवाद । पर मैडम क्लिमैंटीन के बारे में क्या करेंगे ? यदि उन्होंने पूछ लिया कि यह प्रश्न कैसे किए थे ।

सैरा: इस बात की चिंता तू मेरे पर छोड़ दे ।

अगली क्लास में अध्यापिका ने पूछा कि किस किस ना सारा होमवर्क किया था । केवल दो ही विद्यार्थियों ने हाथ उठाए । आप जान गए – सैरा और जानी । बाकियों ने थोड़े से आसान सवाल ही किए थे – दो या तीन समीकरण वाले ।

मैडम क्लिमैंटीन: सैरा, यह नहीं कि मुझे तेरे पर विश्वास नहीं है, फिर भी मैं तेरी होमवर्क वाली कापी देखना चाहती हूं ।

सैरा ने अपनी कापी मैडम को दे दी ।

मैडम: हूं, तो तूने मेट्रिक्स का प्रयोग कर के सारे प्रश्न किए हैं । चालाक लड़की ।  किसने सिखाई तुझे यह विधि ?

सैरा: मेरे पिताजी ने मुझे इसके बारे में बताया था, फिर मैने थोड़ी पढ़ाई कर के इसे सीख लिया ।

मैडम: मेरी सोच है कि तूने जानी को भी यह विधि सिखाई और इस कारण उसने भी सारे प्रश्न कर लिए । शाबाश, बढ़िया काम किया ।

स्कूल से घर जाते हुए सैरा ने जानी को बताया: मेट्रिक्स के कई अनुप्रयोग हैं,  भौतिक-विज्ञान, अर्थशास्त्र, ग्राफ़ थ्योरी, संभावना गणित और कई विषयों में । और हां, मेट्रिक्स से युगपत समीकरण के हल के लिए क्रेमर नियम को छोड़ कर और भी कई विधियां हैं ।

जानी तो इस समय बेपर्वाह था । वह तो मस्ती करना चाहता था ।

तुम्हारा क्या विचार है कि मैडम क्लिमैंटीन ने इतना सारा होमवर्क दे दिया हालांकि ईस्टर की भावना में सब प्रश्न चाकलेट और टाफ़ियों के बारे में थे ।

 

चुनौती

ईस्टर के त्यौहार पर पांच परिवारों ने एक ही स्टोर  से चाकलेट इत्यादी खरीदे । पहले परिवार ने  2250 रुपए में खरीदे 2 पीनट ब्रिट्टल, 3 ईस्टर अंडे, 4 किंडर कैंडी पैक, 5 सफ़ेद चाकलेट,  और  1 चाकलेट का खरगोश । दूसरे   परिवार ने  2400  रुपए में खरीदे 6 पीनट ब्रिट्टल, 2 ईस्टर अंडे, 3 किंडर कैंडी पैक, 1 सफ़ेद चाकलेट,  और 5 चाकलेट के खरगोश 1  तीसरे  परिवार ने 1750  रुपए में खरीदे 1 पीनट ब्रिट्टल, 5 ईस्टर अंडे, 2 किंडर कैंडी पैक, 2 सफ़ेद चाकलेट,  और  2 चाकलेट के खरगोश 1 चौथे परिवार ने 2400  रुपए में खरीदे 5 पीनट ब्रिट्टल, 4 ईस्टर अंडे, 1 किंडर कैंडी पैक, 3 सफ़ेद चाकलेट,  और 4 चाकलेट के खरगोश 1 पांचवें परिवार ने 2550  रुपए में खरीदे 3 पीनट ब्रिट्टल, 1 ईस्टर अंडे,5 किंडर कैंडी पैक, 4 सफ़ेद चाकलेट,  और 3 चाकलेट के खरगोश । हर प्रकार की एक कैंडी का दाम बताइए    ।

उत्तर: हम लिखेंगे पीनट ब्रिट्टल को a, ईस्टर अंडे को b, किंडर कैंडी पैक को x, सफ़ेद चाकलेट को y,  और  चाकलेट के खरगोश को z   । तब यह नीचे लिखे हुए पांच समीकरण का प्रश्न बन जाता है ज​ओ नीचे दी गई हैं ।

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इस प्रश्न का हल इन पांच सीढ़ियों में निकालें ।

  1. इन पांच समीकरणो को मेट्रिक्स के रूप में लिखें: एक 5×5 मेट्रिक्स M इनकी बाईं भुजाओं के अनुसार और एक 1×5 मेट्रिक्स दाईं भुजा के अनुसार ।
  2. इसमें से Ma का मेट्रिक्स बनाओ, जिसमें a वाले कालम के स्थान पर दाईं ओर वाले मेट्रिक्स की राशियां लिखो, इसी तरह Mb, Mx, My, Mz भी बनाओ ।
  3. Da, Db, Dx, Dy, Dz का गुणन करो । Excel program से यह काम से बहुत सरल था ।
  4. क्रेमर नियम के अनुसार a,b,x,y,z का गुणन करो । a=Da/D=23800/476=50 रुपए, b=Db/D=47600/476=100 रुपए, x=Dx/D=71400/476=150 रुपए, y=Dy/D=95200/476=200 रुपए, z=Dz/D=119000/476=250 रुपए ।
  5. कम से कम एक समीकरण में चरवस्तुओं के मूल्यांक डाल कर अपने उत्तर को परखो ।