माला का प्रश्न

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क्या द्विघाती समीकरण के कोई अनुप्रयोग भी हैं ?

पिछली क्लास में, माला: मैडम जी, हमने द्विघाती समीकरण के हल के बारे में तो सीख लिया ।  यह एक निरर्थक सिद्धांत है  या इसका कोई अनुप्रयोग भी है ? अर्जुन को भी लोगों ने कह दिया था की उसके रेखा चित्र का आकार केवल एक दैवयोग भी हो सकता है ।

सैरा ने उत्तर देने के लिए हाथ खड़ा किया पर मैडम बैनर्जी ने उसे नज़रअंदाज़ करते हुए कहा:  मै क्लास को 5 गुटों में बांट रही हूं । अगली क्लास में हर गुट को एक अनुप्रयोग और उससे मिलता हुआ  गणित समझाना होगा ।

इस क्लास से पहले दीपिका मैडम बैनर्जी के पास गई और कहा: मैडम जी मेरी दो सहेलियां अमेरिका से आई हैं । मैने उन्हें आपके बारे में बताया था । उनकी इच्छा है कि वह भी आज की क्लास में आएं ।

मैडम बैनर्जी: मुझे तो कोई आपत्ति नहीं है । प्रिंसिपल साहिब से पूछ लो कि क्या यह स्कूल के नियमों के अनुसार है ।

दीपिका: मैने पूछा था और उन्होंने कहा कि आपके ऊपर निर्भर है ।

मैडम बैनर्जी: चलो ले आना पर उन्हें भी क्लास में भाग लेना पड़ेगा ।

क्लास शुरू होने पर मैडम जी ने दो नई लड़कियों के बारे में सब को बताया और फिर कहा: चलो द्विघाती संबंधों के अनुप्रयोग उसी क्रम से शुरू करो जो मैने लिस्ट बनाई थी ।

दीपिका: मेरी दो मित्र अमेरिका से आई हैं  – ऐश्ली और किम । हमारे स्कूलों में तो चीयरलीडिंग को प्रोत्साहन नहीं दिया जाता । पर यह दोनो चीयरलीडर्स हैं और बड़ी बड़ी प्रतियोगिताओं में भाग लेती हैं । जब मैने इन्हें बताया कि हम गणित में क्या कर रहे हैं तो इन्हें हमे दो समस्याएं बताईं  ।  हमारे गुट ने सैरा की सहायता से एक का हल निकाला और माला के गुट ने दूसरी का ।

प्रदर्शन में कितनी चीयर्स

पहली समस्या थी ऐश्ली की । वह अपनी टीम की कप्तान है । न्यायाधीश पसंद करते हैं कि चीयरलीडर्स सरल प्रदर्शन से शुरू करें और हर अगले खेल को पिछले प्रदर्शन से कठिन बनाते जाएं । हर अगले प्रदर्शन से अच्छे नंबर मिलते हैं पर हर प्रदर्शन के साथ साथ लड़कियां थकती रहती हैं और उनका गल्ती करने का मौका भी बढ़ता जाता है । टीम के सदस्यों को बड़ी संख्या में खेल सीखने में भी कठिनता होती है । इसलिए हम चीयर निष्पादन और संख्या में संबंध पता करके चीयर की शीर्ष संख्या निकालनी है । हमने ऐश्ली को बताया कि वह इसका डेटा इकट्ठा करके द्विघाती  समीकरण से इसका हल निकाल सकती है  जैसे कि अर्जुन ने किया था ।

बास्कट थ्रो चीयर

माला: मैने तो सोचा था कि द्विघाती  समीकरण हम व्यर्थ में ही पढ़ रहे थे । पर हमारी मित्र किम ने एक समस्या दी जिसका हल ऐसे समीकरण के बिना असंभव है । उनकी एक चीयर है बास्कट थ्रो । इस में कई लड़कियां मिल कर एक लड़की को ऊपर हवा में फैंकती हैं और नीचे आते समय उसे पकड़ती हैं । यदि वह उसे हल्का सा ही फैंक दें तो दर्शक बेइज़्ज़ती के शोर मचाते हैं पर ज्यादा ज़ोर से फैंकने पर डर लगता है कि कहीं उस लड़की का सिर छत से ना टकरा जाए ।  छत 12 मीटर की ऊंचाई पर है पर हम चाहते हैं कि लड़की 11 मीटर ही ऊपर जाए । तो उसे किस गति से फैंका जाए ?

हमने इस प्रशन को दो भागों में बांटा । पहला कि उसे 11 मीटर की ऊंचाई पर पहुंचने के लिए कितना समय लगेगा और दूसरा कि किस गति से फैंकने से यह कार्य हो जाएगा । यह सरल था कि हम उल्टा सोचें जैसे यदि वह 11 मीटर की ऊंचाई से गिरे तो उसे नीचे आने में कितना समय लगेगा । इसका समीकरण है  d = ut + at2/2, यहां d है दुरी जो कि 11 मीटर है, u है आरंभिक गति जो शून्य है क्योंकि शिखर पर लड़की ना तो ऊपर हा रही होती है और ना ही नीचे, a है गतिवर्द्धन (acceleration) जो धरती के गुरुत्वाकर्षण (gravity) से 9.81 मीटर/सैकंड2  होती है ।

तब 11 = 0 + 9.81 t2/2 or t2/2 = 11/9.81 यानी t2 = 22/9.81 sec2 = 2.2425 sec2 यानी   t = 1.4975 सैकंड ।

ऊपर से गिरती हुई लड़की की नीचे पहुंचने पर गति का समीकरण है v = u + at  ।  इससे मिला v = 0 +   9.81 x 1.4975 मीटर/सैकंड  = 14.6908 मीटर/सैकंड  । लड़की को इसी गति पर ऊपर फैंकने पर 11 मीटर की ऊंचाई पर उसकी गति शून्य हो जाएगी यानि वह रुकेगी और फिर नीचे आएगी ।

दिनेर की मां जी

दिनेर: मेरी मां जी को सब्ज़ी उगाने का चाव है । हमारे घर के पीछे थोड़ी सी जगह है जहां मां जी टमाटर उगाना चाहती थी । सारी 20 मीटर में वह एक पंक्ति में 20 पौधे लगाने वाली थी और हर पौधे से औसतन 50 टमाटर यानी कुल 1000 टमाटर मिल जाते । मेरा और मां जी का वितर्क हुआ कि क्यों ना अधिक पौधे लगा कर इससे ज्यादा टमाटर पाने का प्रयत्न करे ?   एक कृषि अभ्यस्त व्यक्ति ने हमें बताया कि हम 20 से अधिक पौधे लगा सकते हैं पर हर एक पौधा बढ़ाने पर सब पौधे एक एक कम टमाटर देंगे । मेरी सोच में यह एक द्विघाती  समीकरण की समस्या था और हमें इसका शीर्ष निकालना था । तो हमने इस समस्या पर काम किया ।

यदि हम x पौधे और लगा दें तो  कुल 20 + x पौधे हो जाएंगे ।

हर पौधे से 50 – x टमाटर मिलेंगे ।

तो कुल टमाटर की उपज  y होगी:

y = (20 + x) x (50-x) = 1000 + 50x – 20x -x2

y = – x2 + 30x+ 1000   बन गया हमारा समीकरण ।

हमने सीखा था कि  y = ax2 + bx + c के लिए शीर्ष का समीकरण 2ax + b = 0 होता है ।

हमारा समीकरण था y = – x2 + 30x+ 1000, a = -1, b =30

शीर्ष = -2 x + 30 = 0 या x = 15.

15 पौधे और लगाने पर उपज हो जाएगी (20 + 15) x (50 – 15) = 1225 टमाटर ।

शीर्ष पर उपज उच्चतम या न्यूनतम हो सकती है । स्पष्ट है कि यह न्यूनत उपज नहीं है क्योंकि यह हमारी पहले वाली 1000 टमाटर से तो यह अधिक है ।

हमने पक्का करने के लिए इस y = – x2 + 30x+ 1000  समीकरण का एक रेखा चित्र भी बनाया था ।

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मैंने कल रात मां जी को यह बात बताई तो वह बड़ी खुश हुई ।

चित्र परिवर्धन

जोगी: यह एक समस्या नहीं है । मैं पिता जी के साथ उनकी दुकान पर था और हमारी बात इस गणित की क्लास के बारे में हुई । पिता जी ने यह किस्सा सुनाया ।

“एक स्त्री  पोर्ट्रेट आकार एक की फ़ोटो लेकर आई, जिसका पक्ष अनुपात (aspet ratio) 4:3 था । उसने फ़ोटो का परिवर्धन (enlargement) करने को कहा ताकि उसका क्षेत्रफल 192 इन्च2 हो जाए । पूछ रही थी कि नई फ़ोटो कितनी ऊंची और कितनी चौड़ी होगी । यह भी एक द्विघाती  समीकरण वाला प्रश्न था ।”

हमारे गुट ने इसका हल निकाला । मान लो नई फ़ोटो की चौड़ाई x होती है, तो इसली ऊंचाई 4x/3 होगी और क्षेत्रफल 4x2/3 है ।

4x2/3 = 192 या x2 = 144 या x = ±12 इंच ।  क्योंकि नैगेटिव चौड़ाई का कोई मतलब नहीं होता, तो चौड़ाई 12 इंच ही होगी । तो ऊंचाई 12 x 4/3 = 16 इंच हो जाएगी और क्षेत्रफल 16 x 12 = 192 इंच2 होगा ।

बास्कटबाल डंक शाट

जोगी: मैं बास्कटबाल खेलता हूं पर कद छोटा होने के कारण मैं डंकशाट में सफ़ल नहीं होता । मुझे छलांग लगाकर कुछ देर हवा में रहने के बाद यह शाट खेलना होगा । उन्होंने यह नहीं बताया कि कितने समय हवा में रहना होगा पर इतना अवश्य बताया था कि मेरे पांव धरती से 2.5 फ़ुट ऊपर होने चाहिएं  । यह समस्या माला की समस्या जैसी ही है जिसमें दूरी d  = 16t2 -12t, यहां  सैकंड में है ।  उसकी समस्या में ऊंचाई की दूरी मीटर में थी पर इसमें फ़ुटों में है ।

तो हमारा समीकरण   16t2 -12t = 2.5 या 16t2 -12t – 2.5 = 0 बन जाएगा ।

द्विघाती समीकरण ax2+ bx + c = 0  के लिए  x =  (-b ± (√(b2 -4ac))/2a  ।

इस लिए t = ((12 ± √ ( 122 – 4 x 16 x (-2.5)))/2 x 16 = 0.92 या नैगेटिव 0.17 सैकंड  । हवा में नैगेटिव समय में रहना तो निरर्थक है, मुझे हवा में 0.92 सैकंड के लिए रहना पड़ेगा ।

मैडम बैनर्जी: माला, क्या अब तेरे प्रश्न का उत्तर मिल गया । क्लास ने तो अपने अनुभव के अनुसार द्विघाती समीकरण के अनुप्रायोग के उदाहरण दिए । तुम्हारी बीजगणित की पुस्तक में कई उदाहरण प्रश्न बनाकर भी दिए हुए है । अक्सर ऐसे प्रश्न परीक्षा में पूछे जाते हैं । मैं तुम्हें एक लिस्ट दूंगी और सब को यह प्रश्न घर पर करने होंगे ।