नोइडा से मथुरा की सैर

              दीपिका और तानिया बचपन से ही सखियां हैं और 17 वर्ष की आयु में भी वैसे ही जब 4 वर्ष की थी । दोनो के अपने बायफ़्रैंड भी हैं पर फ़िर भी वह अक्सर घंटों बैठ कर गप्पें मारती हैं ।

दीपिका: अर्जुन को कल ड्राइवर लाइसेंस मिला है । अर्जुन और मैं तो इस उत्सव को  मनाएंगे: कार से मथुरा की सैर करके  । हम वहां उतरेंगे नहीं, बस बाइपास से ही चक्कर लगा कर आ जाएंगे ।

तानिया: बढ़िया है, सीधी सड़क भी है ।

दीपिका: हां, रास्ता भी सीनरी वाला है । सुबह जल्दी चले जाओ तो सड़क भी खाली सी मिलती है । हम सुबह सात बजे चलेंगे, जाते समय 40 कि.मी. प्रति घंटा की गति से मज़े करते हुए जाएंगे और फिर 60 कि.मी. प्रति घंटा की गति से वापिस आ जाएंगे ।  तू और टिंकू भी आ सकते हो हमारे साथ ।

तानिया: मैं टिंकू से पूछूंगी । किस दिन जाओगे ?

दीपिका: कल ।

टिंकू से बात करने के बाद तानिया: हम जाना तो चाहते हैं पर हम तुम प्रेमियों को अकेले ही मज़ा करने देंगे ।

दीपिका: साफ़ साफ़ बता कि इसका क्या मतलब है ।

तानिया: टिंकू अपनी कार ले जाना चाहता है और मैं उसके साथ जाऊंगी । एक और बात, उसे एक गति से जाना और दूसरी से आना पसंद नहीं है   । वह दोनो तरफ़ 50 कि.मी. प्रति घंटा से ही जाएगा ।

दीपिका: जैसे तुझे जचे, पर मेरा निमंत्रण तो स्थिर है ।

तानिया: कल यहां मिलेंगे, एक ही समय पर चलेंगे और वापिस आने पर हम तुम्हारी इंतिज़ार करेंगे । क्यों कि हम दस मिनट पहले वापिस पहुंचेंगे, हम तुम्हारे लिए दुकान से काफ़ी भी ले आएंगे ।

दीपिका:  समझ नहीं आई कि क्यों तानिया 10 मिनट पहले वापिस आ जाएगी ।  हम 40 की गति से जाएंगे और 60 से वापिस । तो हमारी औसत गति 50 उसकी 50 की गति के समान है ।  घनचक्कर  ।

अगले दिन सुबह दोनो की कारें एक ही समय पर वहां से चली । तानिया और टिंकू दीपिका और अर्जुन से 10 मिनट पहले वापिस पहुंच गए जैसा कि तानिया ने कहा था । दीपिका को विश्वास नहीं आ रहा । वह तानिया को धोखेबाज कह रही है ।

तुम्हारी क्या सोच है ? और हां, नोइडा से मथुरा का रास्ता कितने कि.मी. है ?

              तानिया का चुटकला

टी वी पर एक विवाद चल रहा था । पहली पार्टी के आदमी ने कहा कि . उनकी सरकार बनने की 90 प्रतिशत संभावना है । दूसरी पार्टी के प्रवक्ता ने कहा कि पहले वाले की सरकार बनने की संभावना तो शून्य प्रतिशत है । बेचारे एंकर ने कहा कि उन दोनो का माध्य भी तो हो सकता है । दूसरी पार्टी वाला खटक से बोला कि समांतर माध्य तो नहीं हो सकता, शायद ज्यामितीय या हरात्मक माध्य होगा ।

चुनौती

यदि  x  और y  दो वास्तविक धनात्मक संख्याएं (real positive numbers) हों तो प्रमाण दो कि

उनका ज्यामितीय (गुणोत्तर) माध्य  ≤ समांतर माध्य (geometric mean ≤ arithmetic mean)

उनका हरात्मक माध्य ≤ समांतर माध्य (harmonic mean ≤ arithmetic mean) ।

याग रहे कि समांतर माध्य = (x+y)/2

ज्यामितीय माध्य = √xy

हरात्मक माध्य = 2/(1/x + 1/y) ।

कहानी का स्पष्टीकरण

इसे एक सरल बीजगणित का प्रश्न बनाएं  । मान लो कि नोइडा से मथुरा d कि.मी. दूर है ।

दीपिका और अर्जुन को जाते हुए  d/40 घंटे लगेंगे और  d/60 वापिस आते हुए  । तो उनकी यात्रा का कुल समय  d/40 + d/60 = 5d/120 = d/24 घंटे  = 60d/24 मिनट = 5d/2 मिनट हो गया ।

अब तानिया और टिंकू को d/50  घंटे जाते हुए लगेंगे और इतने ही आते हुए । तो उनकी यात्रा का कुल समय  2d/50 =  d/25 घंटे = 60d/25 मिनट = 12d/5 मिनट हो गया ।

तानिया का कहना है कि वह 10 मिनट पहले वापिस आई । अत: 5d/2 = 12d/5  + 10 यानी 25d = 24d  + 100 यानी d = 100    ।

इस उत्तर को दोबारा जांचें ।

दीपिका का समय 100/40 + 100 /60 घंटे = 6000/40 +6000/60 मिनट = 150 +100 मिनट =250 मिनट

तानिया का समय 100/50 + 100/50 घंटे = 4 घंटे = 240 मिनट

समय में अंतर 250 – 240 = 10 मिनट ।

अब दीपिका का प्रश्न है कि जाते समय 40 और आते समय 60 तो औसत गति 50 तो हो गई जो तानिया की गति थी तो फिर दोनो की यात्रा का समय अलग अलग क्यों आया ।  उत्तर है कि दो गतियों से माध्य गति निकालने के लिए समांतर माध्य नहीं  हरात्मक माध्य लेना होता है ।

दीपिका की 2d  कि.मी. यात्रा का समय  (d/40+d/60)  घंटे होगा जिससे माध्य गति 48 कि.मी. प्रति घंटा बन जाएगी । यह इन दोनो गतियों का हरात्मक माध्य है । तानिया के लिए तो माध्य लेने की आवश्यकता ही नहीं क्यों कि आने जाने की गतियां 50 कि.मी. प्रति घंटा हैं   ।

ज्यामितीय (गुणोत्तर) माध्य  ≤ समांतर माध्य (geometric mean ≤ arithmetic mean) का प्रमाण

यदि  x  और y  दो वास्तविक धनात्मक संख्याएं हों तो

जब x = y, (x-y)² = 0

जब x ≠ y, (x – y)² > 0   क्यों कि दो वास्तविक संख्याओं का वर्ग सदैव धनात्मक ही होता है, यानी

(x – y)²  ≥ 0 या x² + y² – 2xy ≥ 0   ।

समीकरण की दोनो ओर में 4xy का योग करके उन्हें 4 से भाग कर दो

x² + y² – 2xy  + 4xy ≥ 4xy, यानी (x + y)²  ≥ 4xy यानी  (x + y)²/4  ≥ xy यानी ((x + y)/2)²  ≥ xy   ।

दोनो तरफ़ का वर्गमूल ले लो

(x + y)/2 ≥ √ xy  or √ xy ≤ (x + y)/2

परिभाषा के अनुसार √ xy ज्यमितीय माध्य है   और  (x + y)/2  समांतर माध्य है ।

अत: यह साबित हो गया कि ज्यमितीय माध्य ≤    समांतर माध्य ।

हरात्मक माध्य ≤ समांतर माध्य (harmonic mean ≤ arithmetic mean) का प्रमाण

यदि  x  और y  दो वास्तविक धनात्मक संख्याएं हों तो

जब x = y, (x-y)² = 0

जब x ≠ y, (x – y)² > 0   क्यों कि दो वास्तविक संख्याओं का वर्ग सदैव धनात्मक ही होता है, यानी

(x – y)²  ≥ 0 या x² + y² – 2xy ≥ 0   ।

समीकरण की दोनो ओर 4xy का योग करो

x² + y² – 2xy  + 4xy ≥ 4xy, यानी (x+y)²  ≥ 4xy ।

समीकरन की दोनो भुजाओं को   2(x + y)  से भाग करने पर (x + y)/2 ≥ 2xy/(x + y)

समीकरण की दोनो भुजाओं के अंश और हर को  xy से भाग करने पर

(x+y)/2 ≥ 2/(1/y+1/x) यानी 2/(1/x+1/y) ≤ (x+y)/2

परिभाषा के अनुसार 2/(1/x+1/y) हरात्मक माध्य  है   और  (x + y)/2  समांतर माध्य है ।

अत: यह साबित हो गया कि हरात्मक माध्य  माध्य ≤    समांतर माध्य ।

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