सैरा और जानी की पार्टी

सैरा और जानी

हाई स्कूल में सैरा बहुत लोक प्रिय थी । वह चीयरलीडर नहीं थी, पर स्कूल में उसे सब जानते थे और उसे प्रशंसा की  दृष्टि से देखते थे – कुछ हद तक क्योंकि वह बड़ी होशियार थी पर इसलिए भी कि वह दयालू थी ।  उसने अपनी कक्षा और अनुज कक्षाओं के कई छात्रों की सहायता की थी, बिना किसी को नीचा दिखाए ।  अंतिम वर्ष में वह हर विषय में स्कूल में प्रथम पद पर आई थी । इस लिए कई छात्रों को उससे ईर्ष्या थी, पर वह भी उसका आदर करते थे क्योंकि सैरा ने किसी समय उनकी भी सहायता की थी ।  इन कारणों से सैरा को विदाई भाषण के लिए चुना  गया था । इस भाषण के बाद सैरा की कदर और भी बढ़ गई ।

सैरा और जानी एक दूसरे से प्यार करते थे । अब उन्हें एक दूसरे के साथ आते जाते 4 वर्ष हो गए थे । जानी भी लोकप्रिय था । वह स्कूल में खेलों में भाग लेता था और मिलन सार स्वभाव का था । कई विद्यार्थी उसकी उन्नति से प्रभावित थे  – वह सी ग्रेड लाया करता था पर पिछले दो सालों में सैरा की संगत और सहायता और अपने परिश्रम  से  85% नंबर ले आया था । सैरा और जानी दोनो हाई स्कूल में से इकट्ठे पास होने वाले थे ।

  सुपरडुपर पार्टी

सैरा के माता पिता को अपनी बेटी की योग्यता और सफ़लता पर गर्व था । पर उनसे कहीं अधिक गर्व था सैरा की नैना को जिसने उसे पाला पोसा था । नैना ने प्रस्ताव रखा कि सैरा की सफ़लता की मान्यता में एक यादगार बना देने वाली पार्टी होनी चाहिए और वह उसका खर्च भी देगी । जानी की मां जी भी बेटे के स्कूल से पास होने के अवसर पर एक सुपरडुपर पार्टी करना चाहती थी  । सैरा और जानी का प्रस्ताव था कि दोनो पार्टियों को मिला दिया जाए क्योंकि दोनो ने उन्ही दोस्तों को बुलाना होगा । सैरा की नैना और जानी की मांजी ने यह बात स्वीकार कर ली । नैना ने यह राय भी दी कि केवल सैरा और जानी के मित्रों को ही पार्टी में बुलाना चाहिए । बजुर्ग लोगों का वहां क्या काम ?  बच्चों को मस्ती करने दो । पर वह नहीं चाहती थी कि पार्टी के नाम पर सैरा पूरी रात बाहर रहे । सैरा और जानी ने पार्टी का दिन, समय और स्थान तय कर लिए । दिलचस्पी की बात है कि पार्टी का स्थान एक होटल का मीटिंग रूम था । उस कमरे में एक दीवार पर बड़ी सी स्क्रीन थी, और फ़ोटो और फ़िल्म दिखाने का साज़-सामान भी था । और सारे समय  यह कमरा केवल उनकी पार्टी के लिए ही होगा ।

100 दोस्तों में से केवल 10  कैसे चुने

उन्होंने यह स्थान पार्टी के लिए इस लिए चुना था क्योंकि वह सारी दुनियां को नहीं बुलाना चाहते थे – बस केवल गहरे दोस्त । फ़ैसला हुआ कि पार्टी में उन्हें मिलाकर कुल 12 लोग होंगे । अब समस्या थी कि कैसे चुने दस लोग जिन्हें बुलाया जाए । दोनो बहुत लोकप्रिय थे । सैंकड़ों दोस्तों में से केवल 10 को कैसे चुने ?

सैरा: मेरे 50 मित्र चाहेंगे कि उन्हें पार्टी का निमंत्रण मिले ।

जानी: मेरे भी । तो दोनो को मिला कर ऐसे 100 मित्र हो जाएंगे । क्या तू जानती है कि 100 मित्रों में से 10 को चुनने के लिए कितने संचय (combinations )  संभव हैं ?

सैरा: जानी, तू मज़ाक कर रहा है या गंभीरतापूर्वक इसका हिसाब लगाना चाहता है ?

जानी: जिज्ञासू हूं । जानना चाहता हूं ।

सैरा: क्या पहले कभी इस तरह के गणित के बारे में पढ़ा है ?

जानी: नहीं, तुझे तो पता है कि मैने क्या क्या विषय स्कूल में पढ़े थे ।

सैरा: यदि तू सचमुच  जानना चाहता है, तो मैं तुझे सिखा देती हूं । पर इसे सरल रखने के लिए मैं छोटी संख्याओं से आरम्भ करूंगी । मान ले 7 लोग हैं जिन में से 5 को बुलाना है तो सोच की पहली सीट पर कौन बैठेगा ।

जानी:  सातों में से कोई भी एक बैठ सकता है ।

सैरा: तो  इसकी 7 संभावनाएं हैं । अब दूसरी सीट पर कौन बैठेगा ?

जानी: इसकी 6 संभावनाएं हैं क्योंकि एक व्यक्ती के लिए तो निर्णय हो चुका था । मैं समझ गया, इसी तरह तीसरी सीट के लिए 5, चौथी के लिए 4 और पांचवीं सीट के लिए 3 संभावनाएं होंगी ।

सैरा: तो 7 में से 5 के लिए  7 x 6 x 5 x 4 x 3 संभावनाएं होंगी । गणित में हम n x (n-1) x (n-2)…….1  को n हत (factorial) या n! कहते हैं, यहां n एक पूर्णसंख्या है ।  तो सात लोगों में से 5 सीटों के क्रम संचय (permutations) जो हमने चुने हैं, उसे ⁷P₅  लिखा जाएगा और हम कहेंगे कि ⁷P₅ = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1/(2 x 1) = 7!/2! = 2520 होता है ।

जानी: पर मैने तो केवल पूछा था कि 7 में से 5 को निमंत्रित होने की कितनी संभावनाएं हैं, ना कि कौन कहां बैठेगा ।

सैरा: हां, मैं जानती हूं, मैं धीरे धीरे समझा रही हूं । अब बता जब 5 लोग हों और 5 सीटें हों, तो उनके बैठने के क्रम के लिए कितनी संभावनाएं हैं ।

जानी: यदि मैं पहले की तरह करूं, तो 5! संभावनाएं हो जाएंगी ।

सैरा: 7 में से 5 के निमंत्रित होने पर वापिस आते हैं । हमने पहले ही कह दिया है कि केवल सीटें चुनने के लिए 5! संभावनाएं हैं । हमें यह भी पता है कि निमंत्रित होने और सीटें चुनने की संभावना संख्या  ⁷P₅   है । हम  ⁷P₅  को 5!  से भाग कर दें तो केवल 7 में से 5 के संचय की संख्या आ जाएगी । संचय की संख्या को ⁷C₅ लिखते हैं और यह ⁷C₅ = ⁷P₅/5!  = 2520/5! = 21 हो जाएगी ।

जानी: तो यदि हमारे n मित्र हों और हमें r को बुलाना हो तो सीटों को चुनाव के साथ क्रम संचय की संभावनाओं की संख्या  ⁿP_r = n!/(n-r)!   होगी । पर यदि हमें कोई परवाह नहीं कि कोई कहां बैठे तो केवल संचय की संभावनाओं की संख्या ⁿC_r = n!/((n-r)! x r!)  होगी ।

सैरा: जानी मेरे प्यारे दोस्त, तू बड़ी जल्दी समझ जाता है ।

जानी: तो यदि हमारे 100 मित्र हों और हमें केवल 10 को बुलाना हो तो   ¹⁰⁰C₁₀= 100!/(10! x 90!)  संभव संचय होंगे ।

सैरा: क्योंकि 100! बहुत बड़ी संख्या है, तेरा कैल्कुलेटर तुझे इसके लिए एक एर्रर मेस्सेज देगा । मैं अपने लैप टाप पर सीधा ही ¹⁰⁰C₁₀  को हल कर लेती हूं । यह ले,  ¹⁰⁰C₁₀ = 1.73 x 10¹³     होता है । याद रख, यह केवल संचय संख्या थी, क्रम संचय संख्या   ¹⁰⁰P₁₀ = 100!/ 90!   होगी ।  मेरे लैप ताप के अनुसार ¹⁰⁰P₁₀ = 6.28 x 10¹⁹  होगा ।

जानी: अरे यह तो बहुत बड़ी संख्याएं हैं । थोड़ा सरल कर देते हैं । मैं अपने 50 मित्रों मे से 5 को बुला लेता हूं और तू भी ऐसे ही कर । क्या संचय संभावना संख्या थोड़ी कम होती है ।

सैरा: तेरे 50 में से 5 मित्रों को मिलाने के लिए ⁵⁰C₅ = 50!/(5! x 45!) = 2,118,760   संचय संभावनाएं हो जाएंगी । उतनी ही मेरे लिए । क्योंको यह संचय संभावनाएं एक दूसरे पर निर्भर नहीं करती तो कुल संचय संभावना संख्या  2,118,760   x  2,118,760 = 4.49 x 10¹²  हो जाएगी ।  हां यह संख्या 1.73 x 10¹³  से थोड़ी सी कम है पर फिर भी इतनी बड़ी है कि हम इसके अनुसार काम  नहीं कर सकते ।

जानी: स्पष्ट है कि यह सब तो नहीं चलेगा । क्यों ना मैं अपने 5 घनिष्ट मित्र चुन लूं और तू भी ।

सैरा: इतना सरल भी नहीं है यह कार्य । यदि तुम अपने किसी मित्र को बुलाओगे तो  उसकी गर्लफ़्रैंड को भी बुलाना पड़ेगा ।

जानी: अरे हां,  तो मैं केवल दो लड़कों को बुला सकता हूं और तू भी दो मित्रों को । अच्छा तो बाकी दो और को बुलाया जा सकता है । दो विधियां हैं – एक कि हम दोनो मिल कर एक जोड़े को बुला लें और दूसरा कि किसी ऐसे मित्रों को बुला लें जो डेट नहीं कर रहे ।

सैरा: क्या उन्हें बुरा नहीं लगेगा कि केवल वह ही अपनी डेट के बिना आए हैं ?

जानी: जो और पीट को बुला लेते हैं । दोनो जोकर हैं, उन्हें इस की कोई परवाह नहीं होगी और वह मनोरंजन भी करेंगे ।

सैरा: ठीक है, तू अपने दो मित्रों के नाम बता । फिर मैं बताऊंगी । नहीं तो, कहीं ऐसा ना हो कि किसी मित्र को दोहरा निमंत्रण मिल जाए । तो क्या अब हम सीटिंग क्रम के बारे में भी सोच लें ? स्क्रीन के आगे कोई नहीं होगा । इस लिए हमें वृत्त (circle) वाले क्रम सोचने की कोई आवश्यकता नहीं है । यदि हम सोचें कि सब  सहसा उत्पन्न (random) विधि क्रम में बैठेंगे तो इसकी  संभावनाओं कि संख्या   ¹²P₁₂  होगी जो 500 मिलियन के लगभग है । पर ऐसा होगा  तो नहीं, यदि हम सब को  कहीं भी बैठने के लिए कहें, तो भी वह अपने साथी के पास ही बैठेंगे । यदि हम जो और पीट को भी साथी मान लें तो 6 गुट कहीं भी बैठ सकते हैं यानी ⁶P₆ क्रम संचय संभव होंगे ।

जानी:   तो 720 होता है । पर दोनो साथियों में से कभी लड़की बाईं ओर होगी और कभी लड़का । इसका क्या असर होगा ?

सैरा: इससे तो क्रम संचय संख्या 720 x 720 यानी  500,000  के लगभग हो जाएगी ।

जानी: यह सब तो मेरी समझ से बाहिर होता जा रहा है । ऐसे ही रहने दें या कोई और शर्तें भी लगाएं ?

सैरा: यदि तू और मैं सब के मध्य में बैठे, तू मेरी दाईं ओर, मेरे  सामने जो हो और तेरे सामने पीट । बाकी सब को कहीं भी बैठने के लिए कहें, यह कैसा रहेगा ?

जानी: हां, तो यदि हम मान लें कि दोनो डेट साथ साथ बैठेंगी, चाहे लड़का या लड़की बाईं ओर हो तो क्रम संचय संख्या 4 तेरी ओर की हो जाएगी ओर 4 मेरी ओर यानी कुल क्रम संचय संख्या 16 हो जाएगी । मुझे तो पसंद है ।

सारे महमानो को निमंत्रण दिया गया और सभी आए । सबने स्वादिष्ट खाना मजे से खाया । उसके बाद  पिछले वर्षों की यादाश्त को दोहराया गया । कुछ महमान इन यादाश्त घटनाओं की फ़ोटो और मूवीज़ भी लाए थे । मस्ती रही । सब ने कुछ कुछ बोला ।

              जो ने एक चुटकला सुनाया ।

एक गणित प्रोफ़ैस्सर ने अपनी पत्नी से ताले का combination पूछा और पत्नी ने “35-25-15”  कहा ।  थोड़ी देर बाद पति ने कहा कि ताला नहीं खुला  । पत्नी ने पूछा कि combination क्या लगाया था ?  पति ने “15-25-35”  कहा । पत्नी ने कहा, “पतिदेव, पता नहीं आप को क्या हो गया है” ।  पीट ज़ोर ज़ोर से हंसने लगा, “हा, हा,  combination ” ।

चुनौती

प्रश्न 1. 50001!/49999! को  सरल संख्या में लिखो  ।

उत्तर: तुम दोनो संख्याओं का हत निकाल कर इसका हल नहीं निकाल सकते । किसी एक के हत का हल कैल्कुलेटर से करोगे तो एर्रर मैसेज आएगा । तो क्यों न हम ऐसे करें ?

50001!/49999!. = (50001 x 50000 x 49999!)/(49999 !) = 50001 x 50000 = 2500050000

प्रश्न 2. तुमने अगले साल 8 विषयों में से 5 लेने हैं पर अंग्रेज़ी लेना अनिवार्य है । तो बताओ कि तुमने कितने विषय संचय में से एक को चुनना होगा ।

उत्तर: क्योंकि  अंग्रेज़ी तो लेनी ही लेनी है, इसे ना तो कुल विषयों में गिनो और ना ही लेने वालों में । इस तरह 7 में से 4 विषय चुनने है यानी ⁷C₄ संचय संख्या में से एक को चुनना है ।

⁷C₄ = 7!/(4! x (7-4)!) = 7 x 6 x 5 x 4……1/((4 x 3…1) (3 x 2 x 1) = 7 x 6 x 5/  (3 x 2 x 1) = 35

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