Célébrations de Pâques

           

Mme Clémentine était une enseignante à l’ancienne

Mme Clémentine était une enseignante à l’ancienne. Elle croyait que l’habitude de travailler dur était la clé de la réussite future des étudiants. Elle les aimait et voulait qu’ils fassent bien. C’est peut-être pour ça qu’elle était plus difficile en tant que maître d’œuvre qu’en tant que sergent instructeur. Ce semestre, elle donnait le premier cours d’algèbre aux élèves du secondaire. Elle leur avait appris à résoudre des équations simultanées par élimination et par substitution. Elle voulait que les étudiants décident quelle approche fonctionnerait mieux pour un problème individuel. Vous pensez que donner ce choix aux élèves témoignerait de sa clémence. Non, elle leur donnait des devoirs pour lesquels les élèves devaient travailler dur toute la nuit.

Il y avait aussi une autre facette de cet enseignant. Elle aime les vacances, surtout Pâques avait été sa préférée. Quand elle était bébé, elle adorait la chasse aux œufs de Pâques et tous les bonbons qu’elle mangeait. En grandissant, elle est devenue enseignante mais elle a organisé ces événements avec son église. C’est peut-être pour cette raison que tous les devoirs qu’elle a donnés aujourd’hui concernaient les bonbons de Pâques, mais remarquez qu’elle avait également conservé le sérieux des mathématiques. Il y avait plusieurs questions basées sur des équations avec deux types de bonbons, certaines avec trois ou quatre et même avec cinq bonbons de Pâques différents.

Sara et son petit ami Johnny étaient tous les deux dans la classe de Mme Clémentine. Après l’école, ils sont allés chez eux mais trois heures plus tard, Sara est allée chez Johnny.

Sara voulait jouer au frisbee

Sara : Johnny, pourquoi n’irions-nous pas au parc jouer au Frisbee ? C’est vraiment agréable dehors. Il y a une belle brise et pas un nuage sur le site.

Johnny : Tu plaisantes ? Nous avons tellement de devoirs de la classe de Mme Clémentine. J’y suis depuis deux heures et je n’ai fait que 5 questions avec 8 autres à faire. Les 5 questions que j’ai faites étaient les plus faciles. On dirait que je devrais faire une nuit blanche. Comment pouvez-vous penser à jouer ? Avez-vous fini avec tous les devoirs?

Sara : Oui, j’ai fini.

Johnny : Comment as-tu fait pour les faire si vite ? Ne te crois pas.

Sara : Allons jouer au frisbee pendant une demi-heure. Je vous l’expliquerai à notre retour.

Johnny : Peut-être aussi.

Ils ont lancé le frisbee et l’ont attrapé. Pas de jeux spécifiques. Cela leur a donné juste assez d’entraînement pour transpirer. Après leur retour du jeu, Johnny était curieux de savoir comment Sara avait fini les devoirs si vite.

Johnny : Alors montre-moi tes trucs.

Sara : Ce n’est pas mon truc. Hier soir, mon père m’a dit un moyen simple en utilisant la règle de Cramer.

Johnny : Qu’est-ce que c’est que ça et pourquoi Mme Clémentine ne nous l’a pas appris ?

Sara : Elle attend que nous suivions son cours de 12e année sur les matrices, du moins j’en ai l’intention.

Matrices et règle de Cramer

Johnny : Que sont les matrices ?

Sara : Je vais vous donner les bases, puis vous montrer comment utiliser la règle de Cramer. Je suppose que vous apprendrez le reste d’elle en 12e année si vous suivez ce cours. Commençons par la première question que vous avez posée aujourd’hui. Il s’agit de bonbons au caramel et de kitkats. Il dit que le coût de 7 bonbons au caramel et 2 kitkats est de 29 $ et celui de deux bonbons au caramel et 5 kitkats est de 26 $. Je vais juste écrire x pour les bonbons au caramel et y pour les kitkats, alors.

7x + 2y = 29…..équation 1

2x + 5y = 26….. équation 2

Johnny : J’ai déjà fait tout ça.

Sara : Mais je peux écrire les deux équations sous la forme d’une matrice 2 x 2 M dans laquelle la première colonne est pour x, la seconde pour y, la première équation est la ligne 1 et la deuxième équation est la ligne 2. Séparément, nous ferons une colonne pour le côté droit.

Maintenant, nous allons écrire une autre matrice (Mx) dans laquelle la colonne x de M est remplacée par la colonne de droite. De même, nous allons créer la matrice My à partir de M en remplaçant la colonne y par la colonne de droite.

Nous allons maintenant calculer le déterminant de la matrice 2 x 2 M. Le déterminant d’une matrice 2 x 2 est calculé comme indiqué ici.

Ainsi le déterminant D de la matrice (M) dans notre problème sera

7×5 – 2×2 =35-4 =31.

Le déterminant de Mx ou Dx sera 29 x 5 – 26 x 2 = 145 -52 = 93,

et le déterminant My ou Dy = 7 x 26 – 2 x 29 = 182 – 58 =124

Maintenant la règle de Cramer dit x = Dx/D et y = Dy/D

Parce que D = 31, Dx = 93 NS Dy – 124, x le bonbon au caramel = 93/31 = 3 $ et y le kitkat = 124/31 = 4 $

Matrice 3 x 3 – astuce pour le déterminant

Johnny : Ce doivent être d’énormes bonbons pour coûter autant, mais c’est la même réponse que j’ai eue. Ce n’était qu’un problème à 2 variables. Ceux-là, je peux passer à côté. Cela ne m’aide pas. Sara : Tant que vous comprenez l’idée. Nous pouvons lentement passer aux plus difficiles. Mais avant cela, laissez-moi vous montrer comment calculer les déterminants de matrices plus grandes.

            Voici une matrice 3 x 3. Vous pouvez en tirer trois matrices 2 x 2 comme indiqué ici. Chacune des matrices 2 x 2 est appelée mineure et elles sont multipliées par un cofacteur (terme de la rangée supérieure de la matrice 3×3) comme indiqué. Ensuite, vous pouvez résoudre chaque matrice 2×2 comme avant et obtenir la réponse comme sur l’image.

Il existe une astuce que vous pouvez utiliser comme indiqué dans la méthode alternative. Vous réécrivez les deux premières colonnes à la fin de la matrice 3×3. Ensuite, vous pouvez multiplier les termes liés aux flèches. Les termes liés aux flèches vers l’avant (noires) sont ajoutés et ceux avec les flèches vers l’arrière (rouges) sont soustraits. Cette astuce fonctionne également avec les matrices plus grandes. Voici un exemple de matrice 5×5. Si vous êtes trop paresseux pour le faire, vous pouvez également obtenir des calculatrices et des programmes de feuilles de calcul pour calculer les déterminants pour vous.

Johnny : Vas-tu me donner des conférences encore et encore, ou me montrer comment résoudre un problème ?

Sara : Voici un autre problème que vous avez déjà résolu. La famille de Jamie a acheté 6 caramilks, 2 kitkats et 2 bonbons Hershey pour 16 $, Jonie n’a acheté qu’un seul caramilks et Hershey mais 3 chatons et a payé 10 $ mais Joséphine a acheté 9 caramilks, 1 kitcat et 3 bonbons Hershey pour 20 $. Quel est le prix de chaque type de bonbon ? Ici, j’ai appelé caramilk comme x, kitkat comme 2 et Hershey comme 3 et j’ai écrit les trois équations.

En haut à gauche se trouvent les trois équations avec les trois variables x, y et z, et ensuite elles sont sous forme matricielle. Il y a une matrice 3×3 (M) puis les côtés droits qui leur correspondent. Nous pouvons remplacer les colonnes appropriées par le côté droit pour obtenir les matrices Mx, My et Mz. Ensuite, nous pouvons y arriver déterminants.

J’ai obtenu D = 8, Dx = 8, Dy = 16 et Dz= 14,

D’après la règle de Cramer x = Dx/D =1, y = Dy/D = 2 et z = Dz/D = 3.

Donc, le caramilk coûtait 1 $ chacun, le kitkat 2 $ et le Hershey 3 $. Ceux-ci doivent tous être de tailles différentes pour avoir une si grande différence de prix. Qu’est-ce que tu penses ?

Johnny : C’est ça. Je peux utiliser la même procédure pour tout le reste des questions. Si je deviens paresseux, je pourrais faire certains des déterminants 4×4 ou 5×5 sur l’ordinateur. Maintenant, je devrais pouvoir finir mes devoirs en 2 heures au lieu de toute la nuit. Merci Sara. Et Mme Clémentine ? Elle pourrait nous demander comment nous les avons faits.

Sara : Ne t’inquiète pas. Je m’en occupe.

Le lendemain en classe, le professeur a demandé si quelqu’un avait fait tous les devoirs. Seuls deux étudiants ont levé la main – Sara et Johnny. Le reste de la classe n’avait répondu qu’aux questions à deux variables ou certains à trois variables. Ils s’étaient arrêtés là.

Mme Clémentine : Sara, pas que je ne te crois pas. S’il vous plaît, montrez-moi votre cahier.

Sara lui a donné le cahier.

Mme Clémentine : Je vois que vous avez utilisé des matrices. Fille intelligente. Qui vous a appris à leur sujet ?

Sara : Mon père me l’a dit mais ensuite j’ai lu moi-même à ce sujet,

Mme Clémentine : Je suppose que vous avez aussi enseigné à Johnny et c’est ainsi qu’il a terminé ses devoirs. Bien joué.

Sur le chemin du retour de l’école, Sara a dit à Johnny : Mon père m’a dit qu’il y avait beaucoup d’applications des matrices en physique, en économie, en théorie des graphes, en théorie des probabilités et tout. Il y a beaucoup de choses que vous pouvez faire pour les manipuler. De plus, la règle de Cramer n’est pas la seule méthode à les utiliser pour résoudre des équations simultanées.

A cette époque, Johnny s’en fichait. Il veut juste profiter du reste de la journée.

Qu’avez-vous pensé de Mme Clémentine qui a donné tant de devoirs mais qui n’étaient que des bonbons dans l’esprit des fêtes de Pâques ?

Défi

Pour Pâques, cinq familles différentes ont acheté des bonbons dans le même magasin. Johnsons a acheté 2 croquants aux cacahuètes, 3 œufs de Pâques, 4 paquets de bonbons Kinder, 5 chocolats blancs et 1 gros lapin au chocolat et a payé 45 $. Davidsons a acheté 6 croquants aux cacahuètes, 2 œufs de Pâques, 3 paquets de bonbons Kinder, 1 chocolat blanc et 5 gros chocolats au lapin et a payé 48 $. Chungs a acheté 1 croquant aux cacahuètes, 5 œufs de Pâques, 2 paquets de bonbons Kinder, 2 chocolats blancs et 2 gros chocolats au lapin et a payé 35 $. Tomlinsons a acheté 5 croquants aux cacahuètes, 4 œufs de Pâques, 1 paquet de bonbons Kinder, 3 chocolats blancs et 4 gros lapins en chocolat et a payé 48 $. En suivant les voisins, la famille Kichinawa a acheté 3 croquants aux cacahuètes, 1 œuf de Pâques, 5 paquets de bonbons Kinder, 4 chocolats blancs et 3 gros lapins en chocolat et a payé 51 $.

Quel est le prix d’un paquet de bonbons de chaque type ?

Réponse : Écrivons a pour le croquant aux cacahuètes, b pour l’œuf de Pâques, x pour le bonbon Kinder pac, y pour le chocolat blanc et z pour le lapin. Le problème devient alors l’ensemble des 5 équations écrites ci-dessous. Pour les résoudre, procédez comme suit :

Étape 1. écrivez une matrice 5 x 5 (M) pour les côtés gauches et une matrice 1 x 5 pour les côtés droits des équations.

Étape 2. À partir de la matrice M, créez les matrices Ma, Mb, Mx, My et Mz en remplaçant les colonnes correspondantes de la matrice M par la matrice de droite.

Étape 3. Calculez leurs déterminants D, Da, Db, Dx, Dy et Dz. Honnêtement, cette étape a été beaucoup plus rapide pour moi en utilisant Excel.

Étape 4. Calculez les valeurs pour a, b, x, y, z.

Étape 5. Vérifiez votre réponse en utilisant ces valeurs dans au moins une équation.

Haut de page et index du site