Cidre

Se remémorant l’ancienne route de campagne

            Johnny et Sara étaient juste assis et bavardaient comme ils le faisaient régulièrement après l’école. Ils se souvenaient de toutes sortes de choses quand Sara a commencé cette conversation.

                        Sara : Johnny, te souviens-tu de notre dernier trajet à la campagne où nous nous sommes arrêtés dans un verger de pommiers.  

            Johnny : Oui, le propriétaire du verger était un pauvre gars mais il était vraiment gentil. Rappelez-vous, nous avons calculé pour lui le nombre de pommiers qu’il pouvait planter pour obtenir le meilleur rendement possible. De cette façon, il pourrait améliorer ses revenus, Peut-être devrions-nous le revoir.

            Sara : Cela ne fait qu’un mois. Il faut 2 à 4 ans avant qu’un plant de pommier grandisse et commence à porter des fruits. Donc rien n’aurait changé maintenant.

            Johnny : Je veux aller faire un tour en voiture de toute façon si je peux emprunter la voiture de maman.

La mère de Johnny l’a laissé utiliser sa voiture. Il faisait beau. Le ciel ressemblait à l’image de Microsoft Windows – lumineux et brillant avec suffisamment de nuages ​​répartis partout.

  Le pomiculteur avait construit un hangar

            Ils se sont rendus au verger. À leur grande surprise, le fermier n’était pas simplement assis sur une chaise et vendait des pommes. Au lieu de cela, il avait construit un hangar. Bien sûr, il avait des boisseaux de pommes dans le hangar, mais il avait aussi un certain nombre de boîtes de conserve sur une étagère derrière lui. Le fermier les reconnut immédiatement tous les deux et les salua. Il les remercia également pour la suggestion qu’ils lui avaient faite la dernière fois qu’ils étaient venus, et en remerciement, il leur donna des pommes gratuites à croquer – une à Sara et une autre à Johnny.

            Johnny : Qu’est-ce qu’il y a avec ce cabanon ? Vous démarrez un magasin maintenant ?

Agriculteur : J’ai planté des plants de pommes supplémentaires comme vous l’avez suggéré la dernière fois que vous êtes venu ici, mais il faudra trois ans avant que j’obtienne des pommes d’eux. J’ai décidé de mettre en place ce stand. Il est plus visible pour les clients qui passent sur la route. De plus, comme j’ai un peu d’espace sur les étagères, je vendrai également du cidre de pomme. Quelques canettes de cidre sont sur l’étagère derrière moi mais je dois en mettre d’autres.

            Johnny : Ils ne sont pas tous de votre ferme. Certains d’entre eux ressemblent à la marque que nous achetons dans notre supermarché.

            Agriculteur : Oui, je garderai les deux. C’est une bonne chose que vous soyez venu car j’ai encore besoin de votre aide. Un de mes neveux est venu et a écrit du jumbo mumbo. Je n’ai aucune idée de ce que cela signifie. C’est la note qu’il a laissée. Combien devrais-je vendre les deux types de canettes de cidre ?

Combien facturer pour différents cidres ?

            « Notre propre cidre coûte 15 cents la canette, mais une canette de cidre de marque nationale nous coûte 30 cents. Nous devrions vendre notre cidre à un prix de x cents la canette et la marque nationale à y centimes la canette. base, nous pouvons vendre 70 – 5x + 4y canettes de notre propre cidre et 80 + 6x -7 y canettes de la marque nationale. Je n’ai aucune idée de ce que cela signifie.

             Johnny : Sara, on peut l’aider ?

            Sara : C’est un simple problème de calcul.

            Johnny : Oui, ces jours-ci, vous pensez que tout est un problème de calcul. Pas vous ?

            Fermier : Je vous donnerai gratuitement deux canettes de cidre de ma ferme si vous pouvez m’aider.

            Sara : Pour moi, la première question est de savoir si je peux faire confiance à ce que votre neveu vous a dit.

            Agriculteur : Mon neveu est très intelligent. Il doit avoir raison. Dites-moi le prix de vente de chaque type de canette en pensant qu’il a raison.

            Sara : Johnny et moi allons le découvrir dans notre voiture et te le dire dans 5 minutes.

Ils sont tous les deux allés à la voiture où Johnny a commencé avec l’algèbre simple. Disons qu’il vend le cidre de sa ferme à x cents la canette. Alors le bénéfice P de son propre cidre sera le nombre de canettes vendues fois x moins le coût qui est de 15 cents chacune.

            P(x) = (70 – 50 x + 4y)(x-15)

            De la même manière, le bénéfice de la seule marque nationale sera

            P(y) = (80 + 6x – 7y)(y-30).

            Par conséquent, le bénéfice de la vente de toutes les canettes de cidre de pomme sera

            P(x,y) = (70 −5x+4y)(x−15)+(80+6x−7y)(y−30)

            D’accord Sara, et alors ?

Optimisation par différentiels partiels

            Sara ; Vous souvenez-vous lorsque nous avons fait le dernier problème d’optimisation, nous avions fixé la valeur de la première dérivée à zéro et résolu l’équation ? Ici, nous avons deux variables qui sont interdépendantes. Le nombre de canettes locales que vous vendez dépend de leur propre prix et du prix de la marque nationale. De la même manière, le nombre de canettes de marque nationale que vous vendez dépend du prix de la marque locale et de la marque nationale. Vous pouvez toujours prendre les dérivées, mais elles doivent être des dérivées partielles.

            Johnny : Qu’est-ce qu’une dérivée partielle ? Allons-nous l’apprendre dans notre cours?

            Sara : Oui, mais j’ai feuilleté le livre à l’avance. Pour obtenir la dérivée partielle par rapport à une variable, nous supposerons que l’autre est une constante. De cette façon, nous obtiendrons deux dérivées partielles avec le symbole del (∂).

            P(x,y)=(70 −5x+4y)(x−15)+(80+6x−7y)(y−30) ou

            P(x,y) = – 35 x -5 x2 +10xy +230y-7 y2-3450.

             Prendre y constant

            ∂P(x,y)/ ∂x = -35-10x+10y, et de même

            ∂P(x,y)/ ∂y = 230 +10 x -14 y.

            Maintenant, au maximum, les deux dérivées partielles auront une valeur de zéro. Par conséquent, nous avons

            -35-10x+10y = 0 et 230 +10 x -14 y = 0.

            Johnny : J’ai compris. Maintenant, si nous additionnons les membres de gauche des deux équations, nous obtiendrons

            195 – 4 y = 0 ou y = 48,75.

            Ensuite, nous pouvons également résoudre pour x et obtenir x = 45,25.

            Sara : Ne vous excitez pas trop. Cette solution pourrait être un minimum ou un maximum, vous devez également obtenir les dérivées secondes partielles et montrer qu’elles sont négatives

            Johnny : ∂P(x,y)/ ∂x = -35- 10x+10y. Par conséquent, ∂2P(x,y)/ ∂2x = -10 car y sera considéré comme constant.

            Aussi, à partir de ∂P(x,y)/ ∂y = 230 +10 x -14 y, ∂2P(x,y)/ ∂2x = -14.

            Ils sont tous les deux négatifs. Alors doit-on lui dire quoi faire ?

            Sara : Oui, mais arrondissez les prix pour éviter toute confusion.

            Le verdict sur le prix des différents cidres

            Johnny au fermier : Ici, nous avons tout compris. Nous ne savons pas si votre neveu avait raison. Mais s’il avait raison, vous devriez vendre votre propre cidre à 45 cents la canette et la marque nationale à 49 cents la canette.

            Sara : Ainsi, quotidiennement, vous vendrez 41 canettes de votre propre cidre en faisant un profit de 30 centimes/canette, et vous ne vendrez que 7 canettes de la marque nationale avec un profit de 19 centimes/canette. Cela signifie un bénéfice quotidien total de 13,63 $ sur une journée moyenne. Je suppose que ce n’est pas beaucoup. J’espère que vous n’êtes pas déçu.

            Agriculteur : Merci Mademoiselle, je suis content. Je continuerai à vendre des pommes et à gagner de l’argent, mais ce sera en plus de cela. Alors ce sera bien. Voici deux canettes de cidre pour vous.

            Johnny : Ces chiffres signifient également que vous ne gaspillerez pas votre argent en achetant trop de canettes de cidre de marque nationale pour votre inventaire. Cela a-t-il du sens?

            Agriculteur : Merci Monsieur Vous m’avez beaucoup aidé. Les conseils que vous m’avez donnés pour cultiver plus de pommes la dernière fois commenceront également à augmenter mes bénéfices dans 2-3 ans. De plus, plus de gens viendront chercher du cidre l’année prochaine lorsqu’ils découvriront que j’en vends. Merci.

            Johnny : Peut-être devriez-vous aussi mettre une meilleure enseigne sur votre stand. Au revoir.

            Sara et Johnny ont continué le trajet en voiture puis sont rentrés chez eux. Sara n’aimait pas beaucoup le cidre et a donné sa canette à John. À la maison, Johnny et sa mère ont discuté. Johnny a raconté toute l’histoire à maman et a ensuite dit : « J’apprends quelque chose de nouveau à chaque fois que je vais faire un tour en voiture avec Sara, peut-être que tu devrais me laisser emprunter ta voiture plus souvent. Maman a dit qu’il pouvait le demander plus souvent s’il le voulait, mais à chaque fois, elle prendra sa propre décision.

Défi dérivé partiel

            Barak dit que d’où il se tient, il peut aller soit d’une distance x Nord, soit marcher une distance y vers l’Ouest. La hauteur de la montagne H est donnée par la fonction H(x,y) = 4x2 + y2 − 8xy + 4x + 6y + 10.

            Quelle est la pente en un point donné x,y ?

Solution

            La pente est la dérivée première de la fonction.

            Pour H(x,y) = 4x2 + y2 − 8xy + 4x + 6y + 10

            ∂P(x,y)/ ∂x = 8x – 8y + 4. C’est la pente vers le Nord.

            ∂P(x,y)/ ∂y = 2y -8x +6y. C’est la pente vers l’Ouest.

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