Olivia a offert un collier à Sara
Olivia Sanchez était une amie de Sara. Ils étaient ensemble au collège mais ensuite Olivia a déménagé et a dû aller dans une autre école. Il y a quelques années, elle avait rendu visite à Sara, puis leur amitié s’était ravivée. Cette fois, Olivia est venue voir Sara et lui a dit qu’elle venait de rentrer de vacances au Mexique. Elle avait rendu visite à des parents, vu Copper Canyon, de nombreux bâtiments anciens et de nombreuses plages magnifiques. Bien sûr, elle avait aussi fait quelques courses, et avait apporté un cadeau pour Sara. C’était un long collier avec un pendentif de cactus tenu par les deux extrémités de la chaîne. Sara a accepté le cadeau gracieusement et a remercié Olivia. Ils ont bavardé pendant un moment pour rattraper les commérages, après quoi Olivia est partie. Sara est ensuite allée chez son petit ami Johnny.
Johnny était enthousiasmé par la discussion sur les produits dérivés avec Sara hier. Il avait même parcouru certaines parties de son livre sur le calcul. Il a trouvé que certains problèmes dans le livre étaient faciles. Même alors, il a trouvé quelques questions qui l’ont interpellé.
Sarah : Salut Johnny. Tu m’as dit que tu allais revoir ton livre de calcul. As-tu?
Règle de chaîne pour la différenciation
Johnny : Oui, je l’ai fait. Bon nombre des problèmes d’exercice étaient simples. J’ai eu un problème avec certains d’entre eux.
Sara : Je les ai toutes faites. Avec lequel avez-vous eu un problème ?
Johnny ; Trouver f ‘(x) quand f(x) = sin (ax2 + bx ).
Sara : Ah. C’est simple. Vous pouvez écrire m = ax2 + bx.
Alors f(x) = sin m ou df(x)/dm = cos m.
Maintenant parce que m = ax2 + bx, dm/dx = 2ax + b, et donc,
f ‘(x) = df(x)/dx = df(x)/dm x dm/dx = cos m x (2ax+b) = (2ax +b) cos (2ax2+bx).
Johnny : Je ne savais pas que tu pouvais faire ça.
Sara : Oui, c’est ce qu’on appelle la règle de la chaîne.
Puis Sara s’arrêta comme si elle était amusée.
Johnny : Et maintenant ?
Sara : Olivia vient de m’offrir un collier chaîne qu’elle a ramené du Mexique. Comment a-t-elle su que vous alliez me poser des questions sur la règle de la chaîne aujourd’hui ?
Johnny : Vous avez utilisé une chaîne de deux étapes. Je me demande si vous pouvez avoir des chaînes plus longues et faire la même chose comme dy/dx = dy/da . da/db .db/dc .dc/dx.
Sara : C’est la beauté de celui-ci. Regarde combien de maillons le collier chaîne qu’elle m’a donné. Les chaînes peuvent être aussi longues que vous le souhaitez – même plus longues que vos balades à vélo.
Johnny : Merci pour votre aide, mais arrêtez de vous moquer de mes balades à vélo, s’il vous plaît.
Défi
Si y = √cos(5x+1) trouver dy/dx.
Solution
y = √cos(5x+1) peut aussi s’écrire y = (cos(5x+1))1/2
Ecrire u au lieu de cos (5x+1), alors y = u1/2
dy/du = 1/2 u-1/2
En u = cos (5x+1), on peut écrire v = 5x+1, alors u = cos v et du/dv = – sin v
Puisque v = 5x+1, dv/dx = 5. Par conséquent, en utilisant la règle de chaîne
dy/dx = dy/du x du/dv x dv/dx = 1/2 u-1/2 x (-sin v) x 5
or dy/dx = 1/2 (cos (5x+1) -1/2 x (-sin (5x+1)) x 5 = – (cos (5x+1) -1/2 x (sin (5x+1)) x 5/2.
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