Johnny est allé faire un tour avec Sara
À ce moment-là, la mère de Johnny faisait confiance à sa conduite et a facilement accepté qu’il emprunte la voiture pour un court trajet à la campagne avec sa petite amie Sara.
Le temps était agréable – pas de nuages en vue et la température était également parfaite – ni trop froide ni trop élevée pour faire frire un œuf sur la route. Ils ont donc ouvert les vitres de la voiture pour profiter de la brise en conduisant. Johnny n’avait pas décidé où aller et Sara s’en fichait. Être ensemble pour une promenade à la campagne était tout ce qu’elle voulait.
Fermier vendant des pommes sur le bord de la route
Pendant qu’ils roulaient, ils ont vu un fermier vendre des pommes sur le bord de la route. Il avait des boisseaux de pommes et une chaise pour s’asseoir. Les pommes étaient visiblement invitantes. Ils en ont acheté quelques-uns. La première bouchée a dit à Johnny que les pommes étaient délicieuses. Alors Sara a également commencé à les grignoter.
Johnny a commencé à discuter avec le fermier. Tout en parlant, le fermier s’est rendu compte qu’il s’agissait de deux enfants instruits et leur a parlé de son dilemme.
Agriculteur : Je n’ai pas une grande ferme et il est difficile de gagner sa vie.
Johnny : Combien de pommes votre ferme produit-elle chaque année ?
Agriculteur : J’ai 50 arbres et chaque arbre produit environ 800 pommes.
Sara : Ce serait 40 000 pommes par an. Je suppose qu’il est difficile de vivre avec le petit revenu qu’ils en tirent.
Johnny : Pourquoi ne pouvez-vous pas planter plus d’arbres ? Les arbres doivent-ils être aussi éloignés qu’ils le sont maintenant ?
Combien de pommiers l’agriculteur peut-il ajouter au verger ?
Agriculteur : J’ai posé la même question à mon père. Il a parlé à d’autres propriétaires de vergers. Il a dit que pour chaque arbre que vous ajoutez, vous diminuerez le rendement de tous les arbres de 10 pommes par arbre. Je ne sais pas quoi faire. Je ne suis pas bien éduqué. Je ne suis même pas allé au lycée.
Sara : Johnny, c’est facile. Utilisez votre calcul.
Johnny : En quoi est-ce un problème de calcul ?
Sara : Rappelez-vous, lorsque nous faisions des pentes de y = sin x, nous avons trouvé que la pente était nulle lorsque la courbe était à un plateau. La courbe de production totale de pommes basée sur le nombre d’arbres plafonnera également au point de production optimale et la dérivée sera nulle.
Johnny : Mais la dérivée sera nulle au maximum ou au minimum de la courbe.
Sara : Voyons où la courbe atteint un plateau. Ensuite, nous pouvons vérifier si c’est pour une production optimale ou pour une catastrophe.
Johnny : Il a 50 arbres. S’il ajoute x arbres, la production totale sera le nombre d’arbres (50 + x) multiplié par le rendement par arbre (800 – 10x).
Sara : Donc la production sera de 40000 +300 x -10 x2.
Johnny : La première dérivée sera 0 + 300 – 20x.
Sara : La réponse est donc que x sera optimal lorsque 300 – 20x = 0 ou x =15.
Johnny : Tout va bien mais comment savez-vous que ce n’est pas la réponse à la production minimale mais à la production maximale ?
Sara : Bien, nous devrions toujours vérifier cela. S’il plante 15 arbres de plus, il en aura 65 au total. La production de chaque arbre sera de 800 moins 10 fois 15 = 650. La ferme produira alors 42 250 pommes. C’est plus que la production actuelle. Il ne s’agit donc pas d’un minimum mais de la valeur optimale.
Alors, ils ont dit au fermier que selon leur calcul, la meilleure affaire était de planter 15 arbres de plus dans la ferme. Cela lui donnerait 2500 pommes de plus chaque année.
Agriculteur : D’accord, je vais essayer ça. Si vous avez raison, je vous dois un boisseau de pommes gratuit.
Solution graphique
Figure…..
Johnny était content de cette offre, et ils sont partis.
À la maison, Sara a fait ce graphique sur son ordinateur portable. C’était basé sur la formule qu’ils avaient trouvée. En effet, le graphique a culminé à 15 arbres supplémentaires plantés. Johnny aimait que la réponse soit vérifiée par le graphique. Bien sûr, il s’est également rendu compte qu’en utilisant le calcul, ils pouvaient obtenir la réponse très rapidement.
Soudain, Johnny a demandé à Sara comment, à la ferme, elle pouvait multiplier 65 par 650 en un tournemain sans utiliser de calculatrice. Sara a juste souri.
Plus tard, Sara lui a dit qu’une autre façon de vérifier si le plateau est un maximum ou un minimum est à partir du signe de la dérivée seconde. Une dérivée seconde positive indique un minimum et une dérivée négative signifie qu’il s’agit d’un maximum. Par exemple, ici la production P = 40000 +300 x -10 x2. Le plateau s’est produit à dP/dx = 300 -20x. La dérivée seconde d2P/dx2 = -20 indiquant la solution de la dérivée première a donné un minimum. Ils avaient aussi vérifié que le plateau n’était pas un minima par d’autres calculs.
Le défi de Josie
Josie a du papier de bricolage d’une superficie de 48 cm2. Elle veut faire une caisse à base carrée ouverte en haut avec les parois perpendiculaires à celle-ci pour obtenir un maximum de volume. Elle se demande à quoi ressemblerait la boîte et quel serait son volume. Sara sait quoi lui dire. Est-ce que tu?
Solution : Commençons par dire que la boîte a une base carrée dont chaque côté mesure x cm et une hauteur de y cm.
La surface A = x2 + 4xy
Étant donné A = 48, puis x2 + 4xy = 48 ou x + 4y = 48/x ou y = 12/x – x/4
Le volume de la boîte V = x2y ou V = x2 (12/x -x/4) ou V= 12x -x3/4.
Aux maxima/minima, dV/dx doit être égal à zéro.
Pour V= 12x -x3/4, dV/dx = 0 = 12 – 3 x2/4 x2/4 = 4 ou x2 = 16 ou x = ± 4.
La longueur négative de la base n’a pas de sens et donc x = 4.
On sait que l’aire A = x2 + 4xy = 48. Avec x =4, 16 +16y=48 ou 16y =32 ou y =2 cm
Donc le volume de la boite V = x2y = 42 x 2 = 32 cm3.
Nous savons qu’une boîte de hauteur nulle aura un volume nul. La valeur de 32 cm3 est supérieure et donc le plateau est un maxima et non un minima.
Math Stories For You 