Douze jours de Noël

Mme Washington

Mme Washington est professeur de mathématiques à Bonsworth High. Elle aime son travail malgré ses défis. Un aspect intéressant de cette école est la diversité des étudiants. Le cours obligatoire de maths a des étudiants comme Delwin qui est la star de l’équipe de football de l’école et n’a aucun intérêt pour les maths. Il passe la plupart de son temps à s’entraîner ou au gymnase. Elle doit lui faire sentir qu’il est capable d’apprendre le sujet. Rosie prend son pied en bavardant. Alex pense qu’il est l’enfant le plus intelligent jamais né. Il se montre à chaque occasion qu’il a. Rosie vous dira qu’ils l’appellent Smart Alec. Sara est une experte en mathématiques mais s’occupe de ses propres affaires. Elle est une excellente étudiante et aime son petit ami Johnny.

Mme, Washington les défie tous – Delwin, Alex ou Sara. Comment fait-elle ? C’est ce qu’elle a fait aujourd’hui. Elle a écrit ces chiffres au tableau et a dit : “Qui peut additionner tous ces chiffres ?”

Méthode de Delwin

Beaucoup d’élèves ont levé la main mais elle a demandé à Delwin : pourquoi ne montrez-vous pas à tout le monde de faire la sommation ?

Delwin : Puis-je utiliser une calculatrice ?

Mme Washington a réfléchi une seconde puis l’a autorisé.

	①		③	④	⑤	⑥	⑦
A	1	2	3	4	5	6	7
B	2	4	6	8	10	12	14
C	4	8	12	16	20	24	28
D	8	16	24	32	40	48	56
E	16	32	48	64	80	96	112
F	32	64	96	128	160	192	224
G	64	128	192	256	320	384	448

Sara a écrit la réponse 3556 dans son carnet avant même que Delwin ne sorte sa calculatrice. Rosie a vu cela et a voulu le dire à tout le monde.

Delwin a entré les chiffres un à la fois sur la calculatrice tout en se fâchant de devoir faire tout ce travail. En 15 minutes, il a écrit la réponse 3556 au tableau.

Delwin : Mme Washington, cette réponse est-elle correcte ?

Mme Washington a hoché la tête pour dire oui, et Delwin s’est senti fier de pouvoir faire la somme.

La méthode d’Alex

Deux autres élèves ont levé la main. C’étaient Alex et Rosie.

Mme Washington : Oui, Alex. Qu’est-ce que tu veux dire ?

Alex : Mme Washington, je peux le faire beaucoup plus rapidement.

Mme Washington : S’il vous plaît, dites-le.

	①	②	③	④	⑤	⑥	⑦
A	1	2	3	4	5	6	7	28
B	2	4	6	8	10	12	14	56
C	4	8	12	16	20	24	28	112
D	8	16	24	32	40	48	56	224
E	16	32	48	64	80	96	112	448
F	32	64	96	128	160	192	224	896
G	64	128	192	256	320	384	448	1792
								3556

            Alex : Les nombres de chaque ligne sont conformes à une série arithmétique.

Dans la ligne A, la différence entre les nombres dans les colonnes consécutives est 1, dans la ligne B c’est 2. Pour les séries arithmétiques,

La somme d’une ligne = ((Premier terme + dernier terme)/2) x le nombre de termes.

Cela peut aussi s’écrire :

 Le nombre moyen de la ligne x le nombre de lignes.

 La ligne signifie qui est le nombre dans la colonne du milieu ④. Je viens d’ajouter tous les termes de la ligne ④ qui sont sortis être 508 et de les multiplier par le nombre de lignes qui est 7. Il s’est avéré être 3556 – la même réponse que celle de Delwin.

Mme Washington : Merci Alex. C’était une réflexion intelligente. Vous nous avez défini une série arithmétique. En cela, la différence entre chaque nombre consécutif est constante. Rosie – vous aviez également levé la main.

Rosie : Mme Washington, j’ai vu Sara écrire cette réponse dans son carnet dès que vous avez écrit les chiffres – bien avant que Delwin ne sorte sa calculatrice. Je suis curieux, comment elle a fait.

            Sara va au conseil

Mme Washington : Sara, qu’aviez-vous dans votre manche ? Venez au tableau et montrez la classe.

Sara : Alex a souligné que les nombres de chaque ligne formaient une série arithmétique.

  J’ai vu que les nombres de la ligne B étaient le double de ceux de A. En fait, les nombres de la colonne ① étaient 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Le rapport des nombres d’une ligne à l’autre était de 2 x . Ces nombres formaient donc une série géométrique.

Pour une suite géométrique :

somme = a (rn-1)/(r-1), où a = le premier terme, r = la raison qui ici vaut 2, et n = le nombre de termes qui ici vaut 7.

Ainsi, la somme des termes de la première colonne sera 1 x (r7-1)/(r-1).

La dernière ligne commence par r6 = 64, donc r7 = 2 x 64 =128 et r7-1= 127. Si nous utilisons la formule d’Alex. au lieu de la colonne ①, je peux utiliser

a = 4 x 7 pour que la somme de la première ligne soit 28.

Alors la réponse finale sera 28 x 127 = 3556.

Johnny : Bonjour à tous, félicitons Sara de nous avoir appris ce qu’est une série géométrique.

Mme Washington : Je suis heureuse que tout le monde ait obtenu la même réponse. Alex et Sara, merci d’avoir enseigné à la classe l’arithmétique et les séries géométriques.

  Je veux que tu rentres chez toi et que tu parles à ta famille de la chanson 12 jours de Noël. Calculez, le coût total du véritable amour. Au fait, de cette façon, vous pouvez également montrer ce que Sara vous a appris. La feuille de devoir est sur la table. Prenez-en un et amusez-vous à le faire.

Défi

Douze jours de Noël (Légèrement modifié, le coût des nouveaux articles pour chaque jour est donné).

            Le premier jour de Noël, mon véritable amour m’a donné

Une perdrix dans un poirier (100$)

Le deuxième jour de Noël, mon véritable amour m’a donné deux tourterelles (100 $) et une perdrix dans un poirier

Le troisième jour de Noël, mon véritable amour m’a donné trois poules françaises (200 $), deux tourterelles et une perdrix dans un poirier

Le quatrième jour de Noël, mon véritable amour m’a donné quatre oiseaux appelants (400 $), trois poules françaises, deux tourterelles et une perdrix dans un poirier

Le cinquième jour de Noël, mon véritable amour m’a offert cinq bagues en argent (800 $),

quatre oiseaux appelants, trois poules françaises, deux tourterelles et une perdrix dans un poirier

Le sixième jour de Noël, mon véritable amour m’a donné six oies brunes (1600 $), cinq bagues en argent, quatre oiseaux appelants, trois poules françaises, deux tourterelles et une perdrix dans un poirier

Le septième jour de Noël, mon véritable amour m’a donné sept cygnes à la nage (3200 $), six oies brunes, cinq bagues en argent, quatre oiseaux appelants, trois poules françaises, deux tourterelles et une perdrix dans un poirier

Le huitième jour de Noël, mon véritable amour m’a donné huit bonnes par nettoyage (6400 $), sept cygnes par natation, six oies brunes, cinq anneaux d’argent, quatre oiseaux appelants, trois poules françaises, deux tourterelles et une perdrix dans une poire arbre

Le neuvième jour de Noël, mon véritable amour m’a donné neuf dames qui dansent (12 800 $), huit bonnes qui nettoient, sept cygnes qui nagent, six oies brunes, cinq bagues en argent, quatre oiseaux qui appellent, trois poules françaises, deux tourterelles et un perdrix dans un poirier

Le dixième jour de Noël, mon véritable amour m’a donné dix seigneurs sautant (25 600 $), neuf dames dansant, huit servantes faisant le ménage Sept cygnes nageant, six oies brunes, cinq anneaux d’argent, quatre oiseaux appelants, trois poules françaises, deux tourterelles et une perdrix dans un poirier

Le onzième jour de Noël, mon véritable amour m’a donné onze cornemuseurs (51 200 $), dix seigneurs sautant Neuf dames dansant, huit servantes nettoyantes, sept cygnes nageant, six oies brunes, cinq bagues en argent Quatre oiseaux appelants, trois Français poules, deux tourterelles et une perdrix dans un poirier

Le douzième jour de Noël, mon véritable amour m’a donné douze tambours jouant du tambour (102 400 $), onze joueurs de cornemuse, dix seigneurs sautant Neuf dames dansant, huit servantes faisant le ménage, sept cygnes nageant, six oies brunes, cinq anneaux d’argent Quatre appelant oiseaux, trois poules françaises, deux tourterelles et une perdrix dans un poirier

Maintenant, calculons ce qu’il en coûte au véritable amour chaque jour (jour précédent + nouveautés de la journée)

Jour de Noël	Cadeau au véritable amour	Coût des nouveaux articles	Coût des nouveaux articles
Première	Perdrix en poirier	$100	$100
Seconde	Deux tourterelles	$100	$200
Troisième	Trois poules françaises	$200	$400
Quatrième	Quatre oiseaux appelants	$400	$800
Cinquième	Cinq anneaux d’argent	$800	$1,600
Sixième	Six oies brunes	$1,600	$3,200
Septième	Sept cygnes nageant	$3,200	$6,400
Huitième	Huit femmes de ménage – un nettoyage	$6,400	$12,800
Neuvième	Neuf dames dansant	$12,800	$25,600
Dixième	Dix Lords-a-Leaping	$25,600	$51,200
Onzième	Tuyauterie Eleven Pipers	$51,200	$102,400
Douzième	Douze tambours tambourinant	$102,400	$204,800

Notez que le coût du jour a doublé à chaque fois, indiquant qu’il s’agit d’une série géométrique avec a = coût du premier jour = 100 $, r = rapport commun = 2 et n = nombre de termes = 12.

Par conséquent, le coût total pour tous les jours = a (rn-1)/(r-1) = 100 (212-1)/(2-1) = 100 (212-1).  D’après les données, vous pouvez voir que 211 = le coût du douzième jour = 204 800 $.

Donc 100 (212-1) = 2 x 204 800 $ -100 = 409 600 $ -100 = 490 500 $.

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