क्लास का पिकनिक

  fig.c5.1  ग्रेड 12 की क्लास का पिकनिक

सैरा और जानी की ग्रेड 12 की क्लास ने पिकनिक पर जाने का निर्णय किया । यह निर्णय क्लास की प्रतिनिधि दीपिका ने कुछ सथियों से बात चीत कर के किया था । यह क्लास के साथियों के इकट्ठे जश्न मनाने का आखिरी मौका था क्योंकि इस अंतिम छैमाही के बाद कौन जाने कौन कहां जाएगा – यूनिवर्सिटी, कालेज,  प्रशिक्षण के लिए या काम पर ।  स्कूल में एक सूचना बोर्ड था जहां दीपिका ने सबके देखने के लिए एक छोटा सा घोषणा पत्र लगा दिया था । पिकनिक का स्थान और तिथि इत्यादि भी इस पत्र में दे दी थी । यह पिकनिक वीकऐंड पर था क्योंकि यह स्कूल अधिकारियों की आज्ञा से नहीं किया जा रहा था ।  दीपिका और उसके मित्रों की सोच में ग्रेड 12 के विद्यार्थी  स्कूल के बिना अपना निर्णय करने के योग्य थे । सारा खर्चा विद्यार्थियों को ही देना होगा और आने जाने के परिवहन भी हर एक की अपनी जिम्मेदारी होगी । घोषणा पत्र में यह भी लिखा था कि जाने कि इच्छा हो तो दीपिका से  सम्पर्क करें ।

क्लास में 150 विद्यार्थी थे पर उनमें से केवल 25 ही जाने को तैयार थे । बाकी में से अधिकतर की सोच थी कि उन्हें परीक्षा की तैयारी करनी चाहिए, और कुछ के दूसरे उत्तरदायित्व थे । जानी ने अपनी मां से गाड़ी के लिए पूछ लिया और अपनी गर्लफ़्रैंड सैरा को भी साथ आने के लिए कहा । वह दो और मित्रों को भी साथ ले जाने की क्षमता रखा था । पिकनिक पर एक प्रीतीभोज था । हर साथी भोजन के एक या दो व्यंजन लाया था जो उसने दूसरों के साथ मिल कर खाए थे । हंसी खेल भी हुए, पर सब को  रिक्त समय भी दिया गया । जो चाहे कर लें पर एक घंटे में वापिस आएं ।

सूचना पत्थर

पिकनिक स्थान के पास एक विशाल झील थी । झील की बीच पथरीली थी । जानी और सैरा रिक्त समय में वहां एक पगडंडी पर टहले । लंबे लंबे वृक्ष इस पगडंडी की रक्षा कर रहे थे और इस पर चलने वालों को छाया भी दे रहे थे । दोनो प्रेम पंछी एक दूसरे के हाथों को पकड़ कर आगे पीछे झुलाते हुए इस वातावरण का आनंद ले रहे थे । चलते चलते उन्होंने एक सूचना पत्थर देखा । यह पत्थर काफ़ी बड़ा था और इस पर निम्नलिखित संदेश था ।

” चेतावनी: कृपया झील के किनारे के बिल्कुल पास पिकनिक मत करें । झील में अचानक बाढ़ आ सकती है ।  सन 2007 में एक दिन बड़ी देर तक मूसलाधार वर्षा होने के कारण झील के पानी का स्तर 1 से.मी. प्रति मिनट के दर से कई घंटों के लिए चढ़ता रहा था  । हवाई फोटोग्राफ़्स के अनुसार उस समय में झील का क्षेत्रफल भी 1 मीटर2 प्रति मिनट बढ़ता रहा । यह पगडंडी भी पानी में डूब गई थी । झील के किनारे पर पिकनिक करने वालों को अपना सामान छोड़ कर भागना पड़ा था ।”

इसके बाद जानी और सैरा वापिस अपने पिकनिक स्थान पर गए । वापिस आकर सब ने पानी या सोडा पिया और एक दूसरे को अलविदा कहा । साथियों को अलविदा करने के बाद दोनो घर चले ग​ए ।

घर पहुंच कर, जानी गहरे चिंतन में था ।

सैरा: क्या हुआ जानी ? क्या सोच रहा है ? तू कुछ खोया खोया सा लग रहा है ।

जानी: मैं अभी भी झील के सूचना पत्थर पर संदेश के बारे में सोच रहा हूं । कितना पानी झील पर हर मिनट गिरा होगा जब यह मूसलाधार वर्षा अपने शिखर पर थी ?

सैरा: वहां लिखा हुआ था कि पानी का स्तर 1 से.मी. प्रति मिनट बढ़ रहा था और फैलाव 1 मीटर2 प्रति मिनट ।

जानी: हां पर यह तो नहीं बताया गया कि कितना पानी गिर रहा था । क्या मैं स्तर के बढ़ाव के दर को फैलाव के दर से गुणा करूं जैसे 0.01 मीटर (1 से.मी.) गुणा 1 मीटर2 यानी 0.01 घनमीटर पानी प्रति मिनट गिरा ?

Product Rule और Quotient Rule

सैरा: नहीं, यह अनुचित है । तुझे derivatives  के product rule का प्रयोग करना पड़ेगा ।

जानी: वह क्या होता है ?

सैरा: दोनो बदलाव समय संबंधित फलन हैं । यदि स्तर के बढ़ने का फलन f1(t)   हो तो इसका  derivative  हो जाएगा  f ‘1(t) , फैलाव का फलन f2(t) हो तो इसका  derivative f ‘2(t) हो जाएगा । अब यदि झील पर जल गिरने का फलन  हो fw(t) और इसका derivative  हो f ‘w(t), तो  product rule  के अनुसार निम्नलिखित संबंध बन जाएगा:

f ‘w(t) = f1(t) . f ‘2(t) + f2(t) . f ‘1(t)

जानी: इतना उथल पुथल करने की क्या आवश्यकता है ?   सीधे गुणा क्यों नहीं कर सकते, जैसे मैने अभी किया था ?

सैरा: उस विधि से  बहुत सारी जानकारी को नज़रंदाज़ किया जा सकता है । यह स्तर का बढ़ाव का दर तब का हो सकता है जब  कि झील फैली नहीं हो या फिर झील के पूरी तरह फैलने के बाद का ।   वास्त्विक  f ‘w(t) पहली स्थिति में इससे छोटा होगा और दूसरी स्थिति में बड़ा   ।  Product rule  से derivative  निकालने की विधि में सब आ जाता है ।

जानी: कोई और स्थिति बता जहां  product rule का प्रयोग उचित होगा ।

सैरा ने इंटरनैट पर देख कर कहा, यह रही:

” टिंका घाटी से तोड़े हुए सरल फल बेच कर अर्जुन अपनी जीविका बनाता है । वह चिंतित है । घाटी में नित नए मकान बनते हैं, जो इस फल को उगाने वाली धरती के क्षेत्रफल A को dA/dt की गति से घटा रहे हैं । यही नहीं, घाटी में कारों के आने जाने से प्रदूशन बढ़ता रहता है । इसके कारण इस फल की प्रति मीटर2 उपज G भी dG/dt   की गति से नीचे जा रही है । इन दोनो के कारण घाटी की सरल फल की उपज U में बदलने की गति dU/dt क्या होगी ?”

जानी: क्या और उदाहरण भी हैं जहां  product rule का प्रयोग होता हो ?

सैरा: बहुत हैं, जो अर्थशास्त्र, व्यापार, इंजिनीयरिंग, चिकिस्ता विज्ञान या वातावरण अध्ययन से संबंधित हैं ।

जानी: दिलचस्प बात है, हमने  f1(t), f ‘1(t), f2(t), f ‘2(t) से  f ‘w(t)  निकाला । पर यदि हमें  f w(t),  f ‘w(t),   f1(t) और f ‘1(t)     दिए गए  होते तो क्या हम f ‘2(t) निकाल सकते थे ?

सैरा: हां हमारी पुस्तक में एक  quotient ruke भी दिया हुआ है । यह है f ‘2(t) = (fw(t)/ f1(t))’ = (f1(t). f ‘w(t) – fw(t).f ‘1(t)/(f1t)2

असल में पुस्तक में दो नियम ऐसे दिए हुए थे

Product rule:  d(uv)/dx = vdu/dx +udv/dx

Quotient rule: d(u/v)/dx = (v(du/dx) – u(dv/dx))/v2

जानी: मुझे तो उन साथियों पर रहम आ रहा है जो पिकनिक पर नहीं आए क्योंकि परीक्षा आने वाली है । मुझे तो वहां जाने से बहुत कुछ सीखने को मिला । अब शायद मेरा calculus की परीक्षा में A+ भी आ सकता है ।

चुनौती 

आठवीं तक तो जानी के नंबर बहुत कम आते थे । नौवीं में वह  सैरा से मिला ।  सैरा होशियार थी, उसके नंबर उच्चस्तर में आते थे और वह जानी को पसंद भी करती थी । वह उससे प्रेम करती थी इसलिए उसे अपने राज़ बताती रहती थी । जानी ने पढ़ाई में भी रुचि लगानी आरंभ कर दी । इस बात को पांच छैमाही बीत गए, दोनो प्रेमी बन गए और अब छटे छैमाही में है । जानी के गणित के अध्यापक ने उसे बताया कि पिछले समय में उसके नंबर इस फलन से बढ़े हैं: G(t) = (t-.006t3)(1+0.5t), t है छैमाही संख्या ।  अब जानी जानना चाहता है कि यह धारा ऐसे ही चलती रही तो क्या उसके नंबर छटी छैमाही में भी पहले से अधिक आएंगे ?

उत्तर: जानी के नंबरों की धारा  है: G(t) = (t-.006t3)(1+0.5t)  ।

गणित के शब्दों में जानी का प्रश्न है: जब t = 6 है , क्या dG/dT  positive   होगा ?

या तो पहले इस समीकरण को सरल कर लो, और या product rule का प्रयोग करो । हम product rule  का प्रयोग करेंगे

G(t) = (t-.006t3)(1+0.5t)

dG/dt = (1-.018t2)(1+0.5t) + (t-.006t3) x 0.5

जब t = 6 है dG/dt = (1-.018×62)(1+0.5×6) + 0.5(6-.006x 63) = 1.408 + 2.352 = 3.76

यह एक positive संख्या है, मतलब इस छैमाही में भी अभी उसके नंबर बढ़ेंगे । जानी, मुस्करा दे ।