मैक्लिंटन रोड

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हर संक्रिया का विपरीत होता है

स्कूल के वर्ष का अंत था, परीक्षाओं की चिंता अब भूतकाल में थी और स्कूल भी नहीं जाना था । सैरा और जानी दोनो ने गर्मियों की छुट्टियों के लिए नौकरी ढूंढ तो रखी थी पर उनके शुरू होने में भी एक सप्ताह बचा था । उनकी सोच में बस मस्ती ही मस्ती थी । सैरा ने कहा कि कहीं टहलने चलें । जानी तो पहले से ही तैयार था । दोनो एक समीप के पार्क में टहलने चले ग​ए । पार्क में भी कोई शोर शराबा नहीं था । थोड़ी देर गप्पें मार कर वापिस आ रहे थे तो सैरा ने जानी को अपने घर आने का निमंत्रण दिया । नैना ने कुछ जलपान बना कर उनको दिया । दोनो उसे लेकर मुंह चलाते रहे और उनकी बातचीत भी कायम रही ।

अचानक सैरा ने जानी से पूछा:  क्या तुझे पता है कि गणित में हर संक्रिया का विपरीत होता है ?

जानी: हां, यह सब एक दूसरे के विपरीत होते हैं जैसे योग और घटाव, गुणा और भाग, एक कोण का  sine और arcsine (sine inverse) । पर तू क्यों पूछ रही है, यह सब ?

सैरा: अगले छैमाही में हम  Calculus II का विषय पढ़ेंगे ।  तेरी मां जी से कल वाले वार्तालाप ने मुझे याद दिलाया कि हमें उसकी थोड़ी बहुत तैयारी कर लेनी चाहिए ।

जानी: हां, मुझे याद है कि तूने मां को प्रसन्न चित में लाने के लिए क्या चालाकी की थी । वह शोक मना रही थी कि हर गए साल मां का डैड के इकट्ठे होने का समय नीचे जा रहा है और तूने दिखाया कि उनका जीवनकाल में इकट्ठे बिताए कुल समय अभी भी बढ़ रहा है । यह कहना ऐसा था कि मैने एक साइकिल की रेस में कितनी दूर चला हूं बजाय कि कितनी तेज़ जा रहा हूं ।

अवकलन और समाकलन

सैरा: याद है कि  Calculus I  में हमने  differentiation के बारे में पढ़ा था कि वह हमें किसी क्रिया का दर बताते हैं । Calculus II  में हम  intergration  के बारे में पढ़ेंगे ।  Calculus I  थी  derivatives (अवकलन) के बारे में जिन से दर निकाले जाते हैं पर  Calculus II  है antiderivatives यानी integrals (समाकलन) के बारे में जिस में दर से मात्राओं के योग निकाले जाते हैं ।

जानी: बस, तेरे कहने के से तो लग रहा है कि यह बहुत सरल विषय है । कल तूने बस यही तो किया था कि कई वर्षों के प्रति वर्ष के घंटों का योग करके संचीय घंटे बना दिए थे । उदाहरण के तौर पर:  संचीय समय उनके मिलने वाले और अगले 4 वर्षों इकट्ठे रहने के घंटों का योग = वर्ष 0 के घंटे + वर्ष 1 के घंटे + वर्ष 2 के घंटे + वर्ष 3 के घंटे + वर्ष 4 के घंटे ।

मैने कहीं बीजगणित में भी क्रम संख्याओं के योग के बारे में भी पढ़ा था, वहां लिखा था:

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सैरा: तू अपनी साइकिल के रेस के लिए या किसी और भी क्रिया के लिए ऐसे कर सकता है । यह उदाहरण है जब फलन असतर संख्या (discrete values) में हों ।  पर याद है हम ने नियंतर फलन (continuous functions) के बारे में भी बात की थी ।  अधिकतर integration नियंतर फलन के घुमाव के नीचे मात्रा के क्षेत्रफल (area under the curve) से संबंधित है ।  अच्छा, अपनी मैक्लिंटन रोड की यादाश्त दोहरा ।

जानी: हां, इस सड़क में  घुमाव था जिसका समीकरण y = x2/10  था ।   हमने कहा कि इस घुमाव का slope  x/5 था  (डिन्नर डेट की कहानी देखें)  ।

सैरा: Integral calculus में यदि हमें derivative (slope)  पता हो तो हम घुमाव का समीकरण लिख सकते हैं ।

y = ∫ slope dx = ∫ (x/5) dx = x2/10 + नियतांक,  यहां  integral यानी antiderivative का चिन्ह ∫ है ।  तो हम  differentiation में घुमाव का slope  निकालते हैं पर  integration में इसका विपरीत, slope से घुमाव की जानकारी लेते हैं । एक बड़ा अंतर है कि यह घुमाव की रेखा पहले किस मूल्य पर पहुंच चुकी थी, यह जानकारी हमें  slope  से नहीं मिल सकती । इस लिए हम घुमाव के मूल्य में लिख देते हैं कि एक नियतांक का योग भी करना पड़ सकता है ।

जानी: मुझे यह समीकरण भी याद है v = ds/dt, इसमें v  गति,  s दूरी और  t समय होते हैं ।

निश्‍चित और अनिश्‍चित समाकल

सैरा: हां, इस समीकरण को ऐसे भी लिख सकते हैं: s = ∫vdt , यहां  ∫ integral  यानी antiderivative का चिन्ह है, और c एक नियतांक  ।  किंतु, इसमें एक समस्या है । हमने कोई समय t का फैलाव निश्चित नहीं किया, इस लिए यह एक अनिश्चित समाकल (indefinite integral) है । इस लिए इसमें सब दूरी आती है किसी भी समय की । इस जानकारी के लिए हम indefinite integral में इस नियतांक c को लिख देते हैं: s = ∫vdt + c  ।

जानी: जो कुछ भी  differentiation में किया, बस उसका विपरीत ही  integration में करना है, सिवाय कि एक नियतांक क योग करना होगा जैसे

dx3/dx = 3x2,  इस लिए  ∫3x2 = x3 + c

d(ax2+bx+c)/dx = 2ax + b,  इस लिए  ∫(2ax + b)dx = ax2+bx+c

d (sin x)/dx = cos x, इस लिए  ∫(cos x)dx = sin x + c

बस यही करना है क्या ? यह तो मैं खटाखट कर सकता हूं ।

सैरा: ओए मेरे प्रेमी, तू तो बड़ा होशियार हौ, अच्छा इस बात पर चुम्मी तो बनती है ।

जानी ने उसे प्रेम से होठों पर चूमा और बाद में कहा कि तूने कहा था कि यह सब indefinite integrals  हैं । क्या कोई दूसरी प्रकार के भी होते हैं ?

सैरा: तो तू ध्यान से सुन रहा था । हां, उन्हें definite integrals  कहते हैं ।

इसके बाद जानी को डैड का फ़ोन आया और वह घर चला गया । सैरा अब नैना के साथ बातों में लगी रही । बाद में सैरा ने अपनी मां जी को पिछले दिन वाली दो द्रिष्टिकोण वाली कहानी बता कर उनका मनोरंजन किया ।

अगले दिन फिर जानी का फ़ोन आया और सैरा ने उसे घर बुला लिया । अरे, कोई स्कूल वकूल  तो था ही नहीं, जानी ने यह निमंत्रण झट से स्वीकार किया और सैरा के घर आ गया ।

सैरा: हां, कल वह definite integrals  वाली बात खत्म नहीं हुई था । मान ले कि तू साइकल से मैक्लिंटन  रोड पर जा रहा था, याद है कि उस सड़के में घुमाव था जिसका slope x/5  था, अब प्रश्न यह है कि 5 कि.मी. पश्चिम जाने के बाद पर 10 के.मी. से पहले, तू उत्तर की ओर कितना गया था ?

याद है कि indefinite integral के लिए हमने लिखा था y = ∫ slope dx = ∫ (x/5) dx = x2/10 + c ।

पर अब तू  definite integral का प्रयोग करेगा, वह ऐसे लिखा जाएगा:

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जानी: मैं इसे साइकल से जांच करूंगा । याद है मैं उससे पूर्व-पश्चिम और उत्तर-दक्षिन की दूरियां अलग अलग नाप सकता हूं । अच्छा अब अगले 5 किलोमीटर के लिए क्या  होगा ? शर्त लगा कर कह सकता हूं कि वह इससे अधिक होगा ।

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जानी: यह तो बढ़िया है । मैं कुछ और फलन के integral  भी घर पर निकालूंगा ।

सैरा: हमने अभी तक integration  को केवल दूरी पाने के लिए प्रयोग किया है जब गति और समय का ज्ञान हो । घुमाव रेखा के नीचे के स्थान का क्षेत्रफल, और घनफल निकालने के लिए (चाहे घनटुकड़ा, गेंद, कोन इत्यादि) के लिए भी integration प्रयोग की जा सकती है ।

दिन समाप्त हुआ और जानी घर जाने लगा पर सैरा ने उसे रोक कर यह चुटकला सुनाया ।

अबलू और बबलू रैस्टोरैंट में थे कि उनका तर्क वितर्क शुरू हो गया । अबलू का कहना था कि आम लोगों को गणित का गुज़ारे लायक ज्ञान है । बबलू सहमत नहीं था और थोड़ी देर बाद उसे मूत्रालय जाना पड़ा । अबलू ने वेटर को 100 रुपए का नोट दिया और कहा, “जब मेरा मित्र आएगा मैं तुझ से एक सवाल पूछूंगा । बस तू जवाब देना x3”  ।  जब बबलू वापिस आया तो अबलू ने वेटर को बुला कर पूछा, “3x2 का  integral क्या होता है ।” निस्संदेह वेटर ने कहा  x3 और चला गया । पर जाते जाते उसने अबलू को मुस्करा कर देखा और कहा, ” जमा एक नियतांक” ।

चुनौती

जानी की साइकिल चलाने की गति (V(t)  ) का व्यवर्ण इस समीकरण से किया जा सकता है, यहां चलाने के आरंभ के बाद का समय t  है मिनटों में: V(t) = 1 + 4t +10t2 मीटर/मिनट ।

पहले 10 मिनट में वह कितनी दूरी तय कर लेगा ?

उत्तर

V(t) = ds/dt = 1 + 4t +10t2 मीटर/मिनट

पहले 10 मिनट में दूरी के लिए

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=(10+200+10000) – 0 =10210 मीटर = 10.21 किलोमीटर