प्रतिस्थापन से समाकल का हल

जानी खुश था

जानी खुश था क्योंकि अब वह  integration के सरल सवालों को खट से कर लेता था । इस सफ़लता का उसमें तो इतना उत्साहक आ गया था कि वह केवल अपनी पुस्तक से ही नहीं, इंटरनैट से ले कर भी कई सवाल कर चुका था । अधिकतर सवाल तो सीधे साधे होते थे और उन्हें कर पा लेने से उसे  गर्व तो मिलता ही था पर शायद उसकी क्षमता भी बढ़ रही थी । पर कुछ कठिन सवालों को वह छोड़ देता था कि सैरा से पूछेगा । कई ऐसे सवाल इकट्ठे हो गए थे तो उसे सैरा को बुलाने का एक बहाना मिल गया था । इस बहाने की आवश्यकता तो नहीं थी, ना ही उसके लिए और ना ही उसकी चहेती सैरा के लिए । जानी ने बुलाया और फिर वह आ गई । दुआ सलाम भी नहीं, पूछने लगी कि  जानी ने calculus II  में कितनी उन्नती कर ली ।

जानी: मैने अपनी पुस्तक में से और इंटरनैट से ले कर कई प्रश्न कर दिए  पर कुछ और नहीं कर पाया । मुझे नहीं पता लगा कि उनके हल के लिए कौन सी विधि लगाऊं ।

सैरा: चल दिखा कोई ऐसा प्रश्न ।

जानी: यह रहा ।

Chain rule

सैरा: जानी, जानी, जानी । तुझे मैने चालाकी बताई थी  कि जो कुछ भी  derivatives  के लिए सीखा था, उसका प्रयोग antiderivatives के लिए   कर । क्या दू तूने  chain rule  और product rule का प्रयोग किया था ?

जानी: अच्छा  chain rule तो था  dy/dx = (dy/du). du/dx    । अब इसका प्रयोग   antiderivatives के लिए कैसे करूं ?

सैरा: जैसे  differentiation  में  chain rule का प्रयोग किया था, integration  में उसी सिद्धांत पर प्रतिस्थापन (substitution) किया जाता है । यह एक दिलचस्प और सुविधाजनक विधि है पर अकल लड़ानी पड़ती है कि कौन सा substitution लगाऊं । उद्येश्य होता है कि किसी जटिल  ∫y/dx से एक सरल  ∫udu  बना लेना । एक उदाहरण है यह प्रश्न

अब  ∫3x² (x³+5)⁹ dx  को हल करना तो जटिल लग रहा है, हम इसे substitution  से हल करेंगे ।

हम  कहेंगे   u = x³+5 क्योंकि du/dx = 3x² या du = 3x² dx

इससे बनेगा ∫3x² (x³+5)⁹ dx = ∫ (x³+5)⁹ 3x²dx = ∫ u⁹ du = u¹⁰/10 + c = (x³+5)¹⁰/10 + c

जानी: समझ गया । अब मुझे एक प्रश्न दे ।

सैरा: यह ले, शायद थोड़ा सा मुश्किल है । ∫(tan x . sec x)dx  क्या है ?

जानी ने कुछ पलों के लिए सोचा और फिर कहा: देखते हैं कि  u = cos x  एक उचित   substitution  है या नहीं ।

इससे du/dx = -sin x या du  = – sin xdx, इस लिए

∫(tan x .sec x)dx = ∫ (sin  x)/(cos² x)dx =∫ – 1/u² du = 1/u + c =  1/cos x + c = sec x + c

सैरा ने ध्यान से त्रुटियों के लिए देखा पर कोई नहीं दिखी, तो कहा: ओ मेरे बड़े भालू, आ जफ्फी मार । इतना जटिल  integration तूने खट से कर लिया ।

Integration by parts

जानी: अब  product रूल का प्रयोग भी बता, यह था

d(uv)/dx = udv/dx + vdu/dx

सैरा: इससे बन जाता है

∫d(uv)/dx = ∫udv/dx + ∫vdu/dx यानी uv = ∫udv/dx + ∫vdu/dx यानी uv = ∫udv/dx + ∫vdu/dx  यानी ∫udv/dx = uv- ∫vdu/dx

जानी: हां, पर मुझे इसका एक प्रश्न में प्रयोग कर के दिखा ।

सैरा: चल, इस integral  को करते हैं ।

∫xcos(x)dx

हम  करेंगे u = x और dv = cos x dx  तब हम udv को  integrate करेंगे ।

तब du/dx =1, और v = sin x, uv = x sin x और ∫vdu = cos x

∫udv  = uv- ∫vdu   = x sin x + cos x + c

इसके बाद जानी घर चला गया और कुछ और प्रश्न घर पर किए । यह काम इसको चुनौती दे रहा था पर अच्छा भी लग रहा था ।

अगले दिन दोनो प्रेमी फिर मिले और उनकी लीला चलती रही ।

चुनौती

∫x²sin(10x)dx को हल करो ।

उत्तर

Substitute u = x²   और  dv = sin (10x)dx

तब du/dx या du = 2x और v =  – cos (10x) / 10 x

∫x²sin(10x)dx = ∫uvdx  और ∫udv/dx = uv- ∫vdu/dx  =

– x²cos (10x) / (10 x) +((1/5)(xsin(10x) /10)-(1/10) ∫sin(10x)dx) + c =

– x²cos (10x) / 10 x +((1/5)(xsin(10x) /10)+1/100 cos(10x)) + c =

– x²cos (10x) / 10 x  + (xsin(10x)) /50+ (cos(10x))/500+ c

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