सैरा का कंठहार

fig.c4.1कंठहार की भेंट

ओलिविया सांचेज़ सैरा की सहेली थी । दोनो माध्यमिक स्कूल में इकट्ठे पढ़ते थे पर ओलिविया के माता पिता ने घर बदल लिया जिसके कारण उसे सैरा से दूर वाले स्कूल में जाना पड़ा । दो साल पहले ओलिविया सैरा के घर मिलने आई थी और उसके बाद उनकी मित्रता फिर से जाग पड़ी । इस बार ओलिविया फिर सैरा के घर आई और उसने बताया कि वह मैक्सिको हो कर आई थी । वहां वह अपने परिजनो से मिली थी । उसने काप्पर माउंटेन और कई और स्थानो की सैर की थी, और समुद्र तट पर घूमने का भी आनंद पाया था ।  हां, बाज़ार में घूमकर खरीददारी भी की थी । वह सैरा के लिए एक भेंट लाई थी । भेंट थी एक कंठहार – लंबी जंजीर जिसने एक कैक्टस  पैंडैंट को जकड़ रखा था । सैरा ने भेंट को शालीनतापूर्वक स्वीकार किया और ओलिविया को धन्यवाद कहा ।  दोनो सहेलियों ने थोड़ी देर गपशप की और फिर ओलिविया वापिस चली गई ।  सैरा अपने बायफ़्रैंड जानी के घर गई ।

पिछले दिन, सैरा के साथ  derivatives के वार्तालाप ने जानी का उत्साह बढ़ा दिया था । घर जा कर उसने calculus  की पुस्तक भी पढ़ी और कई प्रश्नो को हल करने का प्रयत्न किया । उनमें से कुछ तो सरल लगे पर कोई कोई प्रश्न उसके लिए चुनौती बन गए  ।

सैरा: तूने कहा था कि तू calculus  की पुस्तक पढ़ेगा  । कुछ किया क्या ?

दिखा एक प्रश्न जिस पर तू अटका था

जानी: हां, मैने पढ़ी थी और कई प्रश्न भी किए थे । अधिकतर तो सीधे साधे प्रश्न थे पर मैं कोई कोई नहीं कर पाया ।

सैरा: मैने तो सारे किए थे ।  दिखा एक प्रश्न जिस पर तू अटका था ।

जानी:  f (x) निकालो  जब   f(x) = sin (ax2 + bx ) है ।

सैरा: यह तो सरल है ।  ax2 + bx के स्थान पर m लिख दे । फिर  यह f(x) = sin (m )  हो गया । df(x)/dm = cos m  ।

क्योंकि   m = ax2 + bx इसलिए dm/dx = 2ax + b  ।

इसलिए  f ‘(x) = df(x)/dx = df(x)/dm . dm/dx = cos m . (2ax+b) = (2ax +b) cos (2ax2+bx)

जानी: मुझे नहीं पता था कि ऐसा कर सकते हैं ।

सैरा: हां, इसे चेन रूल (chain rule) कहते हैं ।

फिर थोड़ी देर सैरा रुकी जैसे कोई मनोरंजक विचार आया हो ।

जानी: अब क्या ?

सैरा: मेरी सहेली ओलिविया मैक्सिको हो कर आई है और उसने मुझे एक कंठहार भेंट किया है । वह कंठहार एक चेन का बना हुआ है । उसे कैसे पता था कि मैं आज तुझे  chain rule के बारे में बताऊंगी ।

जानी को यह कंठहार का वार्तालाप इतना दिलचस्प नहीं लगा । वह chain rule के बारे में ही सोच रहा था ।

जानी: तूने यह chain rule  केवल दो कड़ियों के लिए ही प्रयोग किया था । क्या यह अधिक कड़ियों की  संख्या के लिए भी उचित है, जैसे dy/dx = dy/da . da/db . db/dc . dc/dx  ?

सैरा: यही तो chain rule की खूबसूरती है । देख मेरे कठहार की चेन में कितनी कड़ियां हैं ? चेन रूल को इतनी या और अधिक कड़ियों के लिए प्रयोग कर सकते हैं चाहे वह चेन तेरी साइकिल के सफ़र से भी लंबी हो ।

जानी: सैरा,सहायता के लिए धन्यवाद पर मेरी साइकिल सफ़र का मज़ाक मत बना ।

चुनौती

यदि y = √cos(5x+1) है तो dy/dx निकालो ।

उत्तर:  y = √cos(5x+1) को y = (cos(5x+1))1/2  भी लिखा जा सकता है ।

अब cos(5x+1) की जगह u लिखने पर यह  y = u1/2  हो गया ।

अब  dy/du = u-1/2/2

यदि  v = 5x+1 है तो  u = cos (5x+1) से बन गया u = cos v और du/dv = – sin v

क्योंकि v = 5x+1, dv/dx = 5.

अब chain rule के अनुसार

dy/dx = dy/du .  du/dv . dv/dx = u-1/2/2 . (-sin v) x 5

or dy/dx = (cos (5x+1) -1/2 . (-sin (5x+1)) x 5/2 = – (cos (5x+1) -1/2 . (sin (5x+1)) . 5/2.