सेव की साइडर

जानी और सैरा यादें दोहरा रहे थे

जानी और सैरा स्कूल के बाद घर पर बैठे बातें कर रहे थे, जो वह अक्सर किया करते थे । इस बार वह अपनी कई तरह की यादें दोहरा रहे थे, जब सैरा ने यह वार्तालाप आरम्भ किया ।

सैरा: जानी क्या तुझे याद है कि हम एक बार एक ग्रामीण सड़क पर कार में सैर कर रहे थे जब हमने एक सेव वाले को देखा था ?

जानी: हां वह सेव वाला एक गरीब आदमी था और हमने उसे बताया था कि वह उपज बढ़ाने के लिए कितने पेड़ उस बागीचे में और लगा सकता है । इस तरह वह अपनी आय बढ़ा सकता था । चल, हम  उसे फिर मिल कर आएं और देखें वह कैसा है ।

सैरा: इस बात को अभी एक माह ही हुआ है । एक सेव के पेड़ को उगने और फल देने में दो से चार वर्ष लग जाते हैं । उसके लिए अभी तक कुछ नहीं बदला होगा ।

जानी: मैं कार में घूमने जाना चाहता हूं, यदि मां कार ले जाने दे तो ।

जानी ने मां से पूछा कि क्या वह थोड़ी देर के लिए कार ले सकता है और मां ने हां कर दी ।  जानी और सैरा कार में घूमने चले ग​ए । मौसम बहुत अच्छा था । आकाश नीला और चमकीला जिसमें छोटे छोटे बादल इथर उधर मंडरा रहे थे ।

सेव वाले ने एक झोंपड़ा बना लिया था

जानी उसी सेव के बागीचे की ओर गाड़ी ले गया जिसकी बात वह अभी अभी कर रहे थे ।  वह हैरान हो गए कि वहां सेव बेचने वाला आदमी कुर्सी पर नहीं  बैठा हुआ था । उसने वहां एक झोंपड़ा बना लिया था ।  निस्संदेह, सेवों की टोकरियां वहां फ़र्श पर पड़ी थी । उनके पीछे एक अलमारी थी जिसमें डिब्बे पड़े थे ।

सेव वाले ने जानी और सैरा को एकदम पहचान लिया, और नमस्कार किया । उसने उन्हे पिछली बारी की राय के लिए भी धन्यवाद कहा और सराहना करते हुए कुछ सेव मुफ़्त में दिए ।

जानी: इस झोंपड़े का क्या मामला है ?  क्या तू अब एक दुकान खोलने जा रहा है ?

सेव वाला: मैने आपकी राय के अनुसार  15 सेव के पेड़ों के नवांकुर लगा दिए हैं,  पर उनके पेड़ बन कए सेव देने में तो अभी 3 साल लगेंगे । मैने सोचा कि यह झोंपड़ा लगा लूं । यह सड़क पर जाते ग्राहकों को दूर से ही दिख जाएगा । और अब थोड़ी सी जगह मिल ही गई है तो मैं सेव की साइडर भी बेचूंगा । साइडर के डिब्बे पीछे की अलमारी पर हैं पर मैं अभी और रखूंगा ।

जानी: यह डिब्बे तेरे बागीचे के सेव की साइडर तो नहीं हैं क्योंकि यह डिब्बे तो वह लग रहे हैं जो हम बाज़ार में खरीदते हैं ।

सेव वाला: हां, मैं दोनो रखूंगा अपने भी और बाज़ार वाले भी । अच्छा है कि आप आज आ गए, मुझे फिर आपकी सहायता चाहिए । मेरा भतीजा आया था और कुछ लिख कर दे गया है । मेरी तो समझ में नहीं आता कि वह क्या लिख गया है । मैने उससे पूछा था कि अधिकतम लाभ के लिए मैं अपने और बाज़ार वाली साइडर के कितने दाम मांगूं । सीधा उत्तर देने की बजाए यह चिट्ठा दे गया है :

“हमारे 15 सैंट प्रति डिब्बा अपनी साइडर बनाने के लगते हैं और 30 सैंट प्रति डिब्बा राष्ट्रीय ब्रैंड वाली को खरीदने के । यदि हम अपना डिब्बा x सैंट का बेचें और राष्ट्रीय ब्रैंड वाला y का, तो प्रतिदिन हम  70 – 5x + 4y डिब्बे  अपने और 80 + 6x -7 y राष्ट्रीय ब्रैंड के डिब्बे बेचेंगे ।”

जानी: क्या हम इसकी सहायता कर सकते हैं ?

सैरा: क्यों नहीं, यह तो एक calculus का प्रश्न है ।

जानी: आज कल तो तू सोचती है कि हर समस्या का हल  calculus  से ही निकल सकता है । ठीक है ना ?

सेव वाला: यदि आप मेरी सहायता करोगे तो मैं तन्हें अपने बागीचे की साइडर के दो डिब्बे मुफ़्त में दूंगा ।

सैरा: मेरी पहली उलझन है कि मैं तुम्हारे भतीजे की बात का विश्वास करूं या नहीं ।

सेव वाला: मेरा भतीजा बहुत होशियार है । वह आवश्यक ठीक होगा । यह समझ कर की वह ठीक है, फिर बताओ कि मुझे क्या करना चाहिए ।

सैरा: जानी और मैं इसका हम निकाल कर तुझे 5 मिनट में बताते हैं ।

Partial derivatives (आंशिक अवकलज)

दोनो गाड़ी में गए और जानी ने कुछ बीजगणित के समीकरण बनाए । यदि बागीचे की साइडर का एक डिब्बा x सैंट का बिके तो हर डिब्बे से x-15 सैंट  लाभ हो जाएगा और  (70 – 50 x + 4y)(x-15)  डिब्बे बेचने पर अपने डिब्बों से कुल लाभ (P(x))   हो जाएगा :

P(x) = (70 – 50 x + 4y)(x-15)

इसी तरह राष्ट्रीय ब्रैंड के डिब्बे बेचने से लाभ (P(y)) होगा:

P(y) = (80 + 6x – 7y)(y-30)

तो दोनो तरह के डिब्बों के बेचने से कुल लाभ (P(x,y) होगा:

P(x,y) = (70 −5x+4y)(x−15)+(80+6x−7y)(y−30)

तब जानी ने कहा: सैरा, अब क्या करना है ?

सैरा: याद है, जब हमने  optimization का प्रश्न किया था, हमें समीकरण का  dy/dx लेना पड़ा था और फिर  इसके dy/dx के मूल्यांक को शून्य मानना पड़ा था ।  यहां x और y दो  चर वस्तुएँ हैं जो एक दूसरे पर निर्भर करती हैं । बागीचे की साइडर के कितने डिब्बे बिकेंगे, यह निर्भर करता है इन की कीमत पर और साथ ही  राष्ट्रीय ब्रैंड  के डिब्बों की कीमत पर भी । इसी तरह राष्ट्रीय ब्रैंड के कितने डिब्बे बिकेंगे निर्भर करता है इनकी कीमत पर और बागीचे वाली साइडर पर भी । इस स्थिति में तुम  derivatives तो निकाल सकते हो पर  partial derivatives (आंशिक अवकलज) निकालने होंगे ।

जानी: अब यह partial derivative  कौन सी दुनियां से आ गया ? होता क्या है, यह ? क्या हम इसे स्कूल में सीखेंगे ?

सैरा: हां, मैंने इसे हमारी पुस्तक में भी पढ़ा भी था । जब एक समीकरण में दो चर वस्तुएं हों, हम एक को नियतांक मान कर दूसरी से  derivative निकाल लेते हैं । ऐसे  derivative को हम एक चरवस्तु के प्रति  partial derivative  कहते हैं, इसका चिन्ह डैल (∂) होता है । ।

P(x,y)=(70 −5x+4y)(x−15)+(80+6x−7y)(y−30) या

P(x,y) = – 35 x -5 x² +10xy +230y-7 y²-3450.

पहले y को नियतांक मान कर

∂P(x,y)/ ∂x = -35-10x+10y

इसी तरह,  x को नियतांक मान कर

∂P(x,y)/ ∂y = 230 +10 x -14 y.

अब  maxima पर दोनो  partial derivatives  को शून्य होना होगा, यानी

-35-10x+10y = 0 और 230 +10 x -14 y = 0

जानी: समझ गया । अब दोनो समीकरण के योग से:  195 – 4 y = 0 or y = 48.75 और फिर x = 45.25

जानी: इतना उत्तेजित मत हो । यह  maxima  या  minima, कोई भी हो सकता है । अब इनका second derivative   निकाल कर उसे जांच ।

जानी: ∂P(x,y)/ ∂x = -35-10x+10y,   इस लिए, ∂²P(x,y)/ ∂²x = -10 क्यों कि y को तो नियतांक माना जाएगा ।

इसी तरह ∂P(x,y)/ ∂y = 230 +10 x -14 y, ∂²P(x,y)/ ∂²y = -14.

दोनो  negative हैं, तो यह  maxima है । तो क्या अब हम उसे बता दें कि क्या करना है ?

सैरा: हां, पर आंकड़ों को मुहासिरा करते हुआ बता । नहीं तो समझ नहीं आएगा ।

जानी सेव वाले से: यह ले, हमने हल  निकाल लिया है पर हमें नहीं पता कि तेरा भतीजा ठीक था या नहीं ।  यदि उसका कहना उचित था, तो अधिकतम लाभ के लिए तो अपनी साइडर का डिब्बा 45 सैंट का बेच और राष्ट्रीय ब्रैंड का  49 सैंट का ।

सैरा: ऐसा करने से तेरे बागीचे के 41 डिब्बे दैनिक बिकेंगे जिन पर 30 सैंट प्रति डिब्बे पर लाभ होगा, और 7 डिब्बे प्रति दिन   राष्ट्रीय ब्रैंड के जिन में से 19 सैंट प्रति डिब्बा लाभ होगा । तेरा हर रोज़ का औसतन लाभ $13.63 होगा । यह बहुत ज्यादा पैसा तो नहीं है । शायद तू निराश हो गया है ।

सेव वाला: मैडम जी, धन्यवाद । नहीं, मैं निराश नहीं बल्कि खुश हूं । मैं सेव तो बेचता ही रहूंगा, साइडर बेचने से मेरी आय में बढ़ावा हो जाएगा और फिर सेव के नए पेड़ भी तीन साल में मेरी आय फिर ऊंची कर देंगे । मैं तो खुश हूं । यह मेरे बागीचे की साइडर के दो डिब्बे आप दोनो के लिए हैं ।

जानी: इन आंकड़ों से एक सीख यह भी लेना कि अधिक संख्या में राष्ट्रीय ब्रैंड की साइडर खरीदने में धन व्यर्थ करने की आवश्यकता नहीं, याद रखना । हां, एक और बात । झोंपड़े पर एक बड़ा सा साइन बोर्ड लगा ताकि  लोगों को दूर से ही तेरी दुकान का पता लगे । इससे तेरे ग्राहकों की संख्या में भी वृद्धि होगी । अच्छा, अब हम जा रहे हैं ।

सैरा और जानी कार में थोड़ी देर भ्रमण करके घर लौट ग​ए । सैरा को साइडर का शौक नहीं था और उसने अपना डिब्बा भी जानी को दे दिया । घर में जानी का मां के साथ वार्तालाप हुआ और उसने मां को पूरी कहानी सुना दी, और फिर कहा, “देखा, जब भी मैं सैरा के साथ जाता हूं, हर बार कोई नई बात सीखता हूं । मुझे कार और भी अधिक बार लेजाने दिया कर ” ।  मां ने कहा, “तू मांग लिया कर पर हर बार देने ना देने का फ़ैसला मैं ही करूंगी ” ।

चुनौती

अर्जुन एक घाटी में खड़ा है और कहता है वहां से या तो उत्तर को x दूरी जा सकता है और या y दूरी पश्चिम की ओर । वहां से पहाड़ी की ऊंचाई का समीकरण H(x,y) = 4x² + y² − 8xy + 4x + 6y + 10 है   । किसी एक स्थान x,y पर पहाड़ का slope क्या   है ?

उत्तर

फलन का first derivative   होता है slope ।

समीकरण: H(x,y) = 4x² + y² − 8xy + 4x + 6y + 10

∂P(x,y)/ ∂x = 8x – 8y + 4.  उत्तर की ओर का   slope ।

∂P(x,y)/ ∂y = 2y -8x +6y.  पश्चिम की ओर का   slope ।

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