Tanya quería un cuento para dormir
Tanya tenía 12 años ahora, pero todavía quería que alguien le contara un cuento antes de dormir. Puedes decir que ella era una mocosa malcriada. Para una mejor descripción, tendrías que decir que era una mocosa brillante y malcriada. El abuelo de Tanya le contaba un cuento antes de irse a la cama con regularidad, pero estaba fuera por negocios. Tanya le preguntó a su mamá pero ella está ocupada. Tanya trotó hacia su abuela y comenzó a protestar.
Tanya: Abuela, nunca me cuentas una historia. Dime uno hoy, por favor.
Abuela: Está bien, está bien, te diré uno. Vamos a tu habitación.
Tanya: Quiero una historia real, no una corta como que había un rey y una reina y ambos murieron.
La abuela dijo que su historia nunca terminaría.
Abuela: Mi querida Tanya. Te contaré una historia que nunca termina (Tanya se quedó con los ojos muy abiertos al escuchar esto). Érase una vez un rico hacendado que tenía un gran silo donde guardaba el grano de maíz de su cosecha. Era un lugar enorme lleno de montones y montones de granos de maíz. El silo estaba completamente cerrado excepto por un pequeño agujero en la parte de atrás que nadie notó. Un día vino un gorrión y vio el agujero y los granos detrás de él. Entró, tomó un grano y se fue volando.
Tanya: Abuela, pensé que era una larga historia. ¿Y luego qué pasó?
Abuela: El gorrión le dijo a uno de sus amigos. Inmediatamente, ambos gorriones vinieron. Entraron y cada uno obtuvo un grano, eso significa que obtuvieron 2 granos entre ellos.
Tanya ¿Y entonces?
Abuela: Cada uno de los dos pájaros le dijo a uno de sus amigos y luego vinieron 4 pájaros y tomaron un grano cada uno.
Tanya ya no tenía los ojos muy abiertos, pero dijo: ¿Y entonces?
Abuela: Cada uno de los cuatro pájaros le dijo a uno de sus amigos y luego vinieron 8 pájaros y tomaron un grano cada uno. Y luego, cada uno de los ocho pájaros le dijo a uno de sus amigos y luego vinieron 16 pájaros y tomaron un grano cada uno.
La abuela vio que Tanya estaba durmiendo, pero para asegurarse agregó: “Y luego, cada uno de los 16 pájaros le dijo a uno de sus amigos y luego vinieron 32 pájaros y tomaron un grano cada uno”.
Tanya estaba profundamente dormida.
Tanya se levantó por la mañana como siempre, se arregló y se fue a la escuela. Al regresar de la escuela, habló con su mamá.
Tanya: Mamá, la abuela hace trampa.
Mamá: Tanya (tono de regaño). Nunca hables mal de los mayores. Ella es tu abuela y te quiere.
Tanya: Mamá, dijo que me contaría una historia que nunca terminaría, pero la historia tiene que terminar.
Tanya le cuenta a su madre toda la historia.
Exponentes crecientes
Mamá: Primero déjame decirte qué debes sacar de esa historia, y luego podemos hablar sobre si terminará o no. En tu clase de matemáticas, aprenderás a aumentar las funciones exponenciales. Estas funciones tienen una base y un poder. En este caso la base es 2 y la potencia aumenta con cada viaje de 2 a 2 x 2, 2 x 2 x 2, 2 x 2 x 2 x 2 y así sucesivamente. Podría haber dicho que el pájaro trajo 2 (o cualquier número) amigos más cada vez. Si este número es 3, el número de pájaros que vienen cada vez habría sido 3 veces más que la vez anterior.
Tanya: Dos preguntas mamá.
Mamá: Sí, dime la primera querida.
Tanya: Si se toman más y más granos cada vez, el silo no se quedaría sin granos en algún momento u otro. Los pobres pájaros tendrán que volver con el pico vacío y la historia de la abuela terminará.
Mamá: Tienes razón. La abuela asume que hay una cantidad infinita de granos en el silo y eso es un error. El número de granos es finito y, por lo tanto, la historia tendrá que terminar.
Tanya: Supongo que la abuela no sabe que puedo contar números muy altos.
Mamá: Dijiste que tenías dos preguntas. ¿Cuál es el segundo?
Exponentes en la vida real
Tanya: ¿Sucede esto alguna vez en la vida real?
Mamá: Más o menos. Cuando naciste, tu abuela depositó $10000 en un banco para tu educación universitaria. El banco dijo que obtendrías un 10% anual de interés compuesto cada año.
Tanya: que es eso?
Mamá: Hay dos tipos de interés. Uno se llama interés simple. En este caso cada año el banco te da un interés de $1000 que es el 10% de $10000. En los 11 años ganaría Rs 11000 en intereses y tendría un total de $21000 en el banco.
Tanya: Eso es bueno mamá. ¿Cuál es el interés compuesto entonces? ¿Es mejor?
Mamá: Para el interés compuesto, dicen que el primer año te dan el interés de $1000 pero lo depositas de nuevo en el banco para que tengas $11000. Al año siguiente, le otorgan el 10 % de interés sobre los 11 000, que son 1100. Cada año, sigue depositando el interés en la cuenta y gana el interés adicional. Esto seguiría.
Tanya: ¿Cuánto dinero hay ahora?
Mamá: No puedes tenerlo hasta que cumplas los 18 años y lo necesitas para ir a la universidad. Creo que deberías averiguarlo tú mismo. Puedes tomar la ayuda de Tinku si quieres.
Tanya se acercó a Tinku y le dijo que calculemos algo. Tinku comenzó a procesar los números y tardaba una eternidad. Tanya lo detuvo diciendo que tiene que haber una mejor manera porque su mamá había dicho que esto era un ejemplo de una función exponencial. Juntos decidieron que sería más sencillo primero calcular pensando que solo tiene $1 en el depósito inicial. Entonces el aumento del primer año lo llevaría a $1.11. el segundo año a $1,12 y así sucesivamente hasta $1,118 que serían $5,559917. Ahora, debido a que comenzó con $ 10000, tendría la cantidad de $ 10000 x 5.559917 o 55599.17. Tanya pensó que el regalo de la abuela sería de gran ayuda, pero necesitaría mucho más que eso para terminar la universidad. Ella no estaba preocupada. Sabía que todos los demás en la familia también ayudarían.
Desafío
En 2013, el padre de Manal dice que ella recibirá una asignación de bolsillo de $2 por día porque a la edad de Manal, esta era la asignación que él solía recibir y él es 30 años mayor que Manal. A Manal no le gustó especialmente cuando Tanya le dijo que durante los últimos 30 años, la tasa de inflación anual promedio en Canadá ha sido del 4%. Eso significa que el costo de todo aumentó cada año en un 4%. Manal necesita averiguar qué sería justo pedirle a su papá la mesada. ¿Cómo calculas que sea?
Solución: Este es un ejemplo de una función exponencial. Con un aumento del 4%, el valor de cada año consecutivo pasará a ser Valor final = Valor inicial x 1,04 número de años. Aquí el valor inicial de la ración diaria es de $2 y el número de años es de 30, por lo que el valor final será de $6,49. Ese sería un valor justo con el argumento de que su asignación debería tener el mismo poder adquisitivo que tenía su padre.
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