Carmen s’est sentie rejetée
Carmen avait posé à Mme Clémentine, l’enseignante, une question sur les équations quadratiques. Elle s’est sentie rejetée parce qu’on lui avait dit que le professeur s’en occuperait dans une autre classe. Quand s’en occuperait-elle ? Toutes les leçons sur la fonction quadratique semblaient terminées. Carmen était curieuse mais n’aimait pas étudier les choses par elle-même. Elle a rencontré Mme Clémentine dans le couloir et lui a de nouveau posé sa question. Le professeur lui a dit qu’elle s’en occuperait aujourd’hui, puis ils sont tous les deux venus en classe.
Mme Clémentine : Aujourd’hui, je veux aborder une question que Carmen avait posée dans un cours précédent quand on parlait des équations quadratiques. Vous vous souvenez, les équations quadratiques peuvent être résolues par de nombreuses méthodes différentes mais Sara nous avait dit que nous pouvons résoudre y = ax2 + bx + c = 0 en utilisant la formule x = (-b ± (√(b2-4ac))) /2a .
Je vais écrire une équation au tableau et vous donner 5 minutes pour la résoudre en x. Puis elle a écrit :
y = x2 + 3x + 3 = 0.
5 minutes pour résoudre une équation
Au bout de 5 minutes, Mme Clémentine : Qui a la réponse ?
Sara : J’ai la réponse, mais c’est assez drôle. J’ai x = -3/2 ± (√-3)/2.
Mme Clémentine a demandé si quelqu’un d’autre avait la même réponse et de nombreux étudiants ont répondu oui.
Mme Clementine : Kathy, vous nous avez montré comment résoudre graphiquement une équation quadratique. Pouvez-vous faire cela pour y = x2 + 3x + 3 = 0 ? Certains étudiants peuvent vous aider car ils ont des calculatrices.
Avec l’aide d’autres étudiants, Kathy a fait plusieurs graphiques comme celui-ci mais dans aucun d’eux la courbe ne croise l’axe des X (Fig. 8.1). Cela signifiait qu’il n’y avait pas de valeur de x à laquelle y = x2 + 3x + 3 = 0.
Mme Clémentine : Kathy, alors serait-il juste de dire à partir de votre graphique qu’il n’y a pas de véritable solution à l’équation y = x2 + 3x + 3 = 0. Sara, comment expliquez-vous alors votre drôle de solution ?
Nombres imaginaires en électromagnétisme
Sara : Nous avons eu une idée dans notre cours de physique en étudiant le courant alternatif ou, comme on dit, le courant alternatif. Nous disons normalement que le courant est le rapport de la tension à la résistance. Cependant, chaque fois qu’un courant traverse un fil, il crée un champ magnétique autour de lui. Pour un courant alternatif, la direction du champ magnétique ne cesse de changer. Ce champ est dans un plan perpendiculaire au plan du courant, et le changement de direction du champ peut ralentir le courant. Par conséquent, nous avons parlé d’impédance qui est la résistance plus les effets du champ magnétique. Il s’écrit Z = R +jX et ici j = √-1. Le R est considéré comme réel et jX comme imaginaire.
Présentation de iota et de ses propriétés
Mme Clémentine : Très bien Sara, ici Z serait appelé nombre complexe car il est composé de deux parties : R qui est réel et jX qui est imaginaire. Je suis sûr que votre professeur de physique vous en dira beaucoup plus sur le raisonnement derrière cela. De plus, ici dans la classe Math, au lieu de j, nous allons utiliser iota (i) qui est √-1 .
Sara leva la main et dit : Madame Clemetine, au lieu de x = -3/2 ± (√-3)/2, j’aurais dû dire que x = -3/2 ± i√3/2.
Mme Clémentine : C’est ce que vous auriez pu dire. Maintenant, je veux voir combien d’entre vous comprennent le concept d’iota. Je vais écrire quelques équations au tableau. Voyez s’ils ont du sens pour vous.
i2= -1, 1/i= -i, (a + ib) + (c + id) = a + c+ i(b + d), (a + ib)(a + ib) = a2 – b2 + 2iab ,
(a + ib)(a -ib) = a2 + b2, 1/(i – 1) = (i +1)/((i – 1)(i + 1)) = (i+1)/(i2 -1) = – (i+1)/2.
Après quelques minutes de plus, elle dit : Joe, tu nous as montré comment résoudre des équations quadratiques par factorisation. Résolvez y = x2 + 3x + 3 = 0 par cette méthode.
Joe parut perplexe mais se dirigea quand même vers le tableau. Finalement, avec l’aide de la classe, il a trouvé
y = x2 + 3x + 3 = (x + 3/2+ i√3/2) (x + 3/2 – i√3/2) = 0
Par conséquent, x = -3/2 + i√3/2 ou x = -3/2 – i√3/2.
Mme Clementine : Jun, vous étiez tellement excité à l’idée de trouver le sommet de l’équation quadratique de Kwong. Pouvez-vous venir nous montrer comment faire cela pour y = x2 + 3x + 3 ?
Jun : Pour y = ax2 + b + c, au sommet 2ax + b = 0.
Ici a = 1 et b = 3, donc, le sommet est quand 2 x + 3 = 0 ou x = -3/2. C’est à ce moment que la valeur de y sera maximale ou minimale, mais le graphique de Kathy a montré que ce point est le minimum. Alors y ne sera jamais vraiment égal à zéro dans son graphique.
Mme Clementine : Carmen, j’espère que vous avez déjà répondu à votre question.
Carmen : Oui, Mme Clémentine. Merci beaucoup. C’était très intéressant.
Défi d’oméga
La racine cubique de 1 est désignée par la lettre grecque oméga (ω). Cela signifie ω3 = 1, résoudre pour ω.
Solution : ω3 = 1 peut aussi s’écrire (ω3 – 1) = 0 ou (ω – 1)( ω2 + ω + 1) = 0.
Si (ω – 1) = 0, ω =1.
Lorsque ω2 + ω + 1 = 0, la formule quadratique donne ω = -1/2 ± (i√3)/2. Cela nous donne les deux autres racines. Par conséquent, ω peut valoir 1, (-1/2 + (i√3)/2) ou -(1/2 – (i√3)/2).
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