La question de Johnny

 Comment déterminez-vous les valeurs de log pour 2, 3, 4… ?

           Johnny: J’étais content d’utiliser le papier semilog mais j’ai encore une question sur la façon dont sur une échelle logarithmique ils arrivent avec les lignes pour 2, 3, 4 et ainsi de suite.

Sara : Nous devrons lire à ce sujet. Je pense que nous avons un chapitre sur les logs dans notre livre. Pourquoi ne pas faire ça une autre fois ?

Avec cela, Johnny rentra chez lui heureux que le papier semi-bûche magique de la mère de Sara l’ait aidé. Il parcourut rapidement son livre d’algèbre mais s’occupa ensuite d’autres choses. Le lendemain matin, Sara et Johnny se rendirent à l’école comme d’habitude lorsque Johnny évoqua la discussion de la veille. Cependant, Sara a suggéré qu’ils devraient en parler plus tard. Après l’école, ils sont revenus ensemble et Johnny a demandé si elle voulait venir chez lui pendant un moment. Bien sûr, Sara était toujours heureuse d’être avec le garçon qu’elle aimait, et elle était d’accord. Ils sont allés chez Johnny, ont bu de la boisson gazeuse et ont regardé la télé pendant un moment.

Sara regarda sa montre puis dit : Johnny, je dois être à la maison dans une heure car notre famille sort dîner. Nous ferions donc mieux de terminer la discussion de la nuit dernière.

Johnny : J’ai regardé le livre d’algèbre mais les choses n’avaient aucun sens pour moi. Alors j’ai arrêté.

Sara : C’est bon, mais je veux voir ce dont tu te souviens de tes années de collège.

Johnny : J’ai toujours été nul en maths mais vas-y.

Sara : Vous rappelez-vous quel est le contraire d’addition ?

Johnny : Je ne suis pas si stupide. Bien sûr, je me souviens que le contraire de l’addition est la soustraction. Je me souviens avoir lu sur les fonctions inverses comme la multiplication et la division, et le carré et la racine carrée, mais qu’est-ce que cela a à voir avec les exposants ?

Sara : L’inverse d’un exposant est log. On peut soit écrire

y = 10^m ou m = log₁₀ y. C’est la même chose.

Johnny : Pourquoi avez-vous écrit log₁₀ au lieu de log ?

Sara : Parce que nous utilisons un système décimal pour les nombres, il est pratique de penser aux nombres 10ⁿ plutôt qu’aux exposants avec d’autres bases. Ainsi, nous pensons régulièrement au log d’un nombre en base 10 et l’écrivons sous la forme log₁₀. Donc, à partir de maintenant, quand j’écrirai juste log, cela voudra dire que c’est vraiment log₁₀.

Johnny : Comment les règles d’exposant s’appliquent-elles aux logs ?

Sara : 100 = 10², donc log 100 = 2

Johnny : Vous voulez dire que log 1000 sera égal à 3. 100 x 1000 = 10⁵ puis log 10⁵ = 5. Nous connaissons la règle 10^m x 10ⁿ = 10^m+n . Parce que log 10^m = m et log 10ⁿ = n, cela signifierait que log (10^m x 10ⁿ) = m + n. Je ne sais pas pourquoi notre livre ne l’a pas expliqué de cette manière simple. Cela a beaucoup plus de sens.

Sara : Vous avez écrit l’exposant en base 10, nous pourrions utiliser n’importe quelle base et écrire

a^m x aⁿ = a^m+n. Donc log (a^m x aⁿ) = log a^m+n ou log (a^m x aⁿ) = log a^m + log aⁿ. Le log a^m peut aussi s’écrire mlog a.

Johnny : Pourrait-on aussi écrire : log (j x k) = log j + log k ?

Sara : Oui, nous pourrions écrire ceci même pour des produits plus longs :

log (j x k x l,,,,) = log j + log k + log l……,

et voici le bonus log (j/k) = log j – log k.

Johnny : Cela signifie-t-il qu’au lieu de ces multiplications et divisions de nombres difficiles, nous pouvons prendre les journaux et les additionner ou les soustraire. Sara : Oui, ma mère m’a dit que les calculatrices n’étaient pas autorisées dans leurs examens du secondaire, mais qu’elles étaient autorisées à utiliser des tables de logarithmes pour les multiplications et divisions compliquées.

Johnny : Nous n’avons pas couvert la règle de l’exposant de (a^m)ⁿ, mais pour moi, il est logique que le log de cet exposant devienne n log (a^m).

Sara : Génial. Je ne sais pas pourquoi le chapitre sur le journal dans le livre n’a pas de sens pour vous. Vous ne l’avez pas lu, n’est-ce pas ?

Johnny : Nous avons encore une chose à comprendre. Comment savent-ils où tracer les lignes pour les nombres entre 1 et 10 dans l’article du seminlog ? Vous avez dit que vous aviez une idée.

Valeurs des logs de 2,3,4…

Sara : Je ne sais pas comment ils les ont calculés. Ils doivent avoir des méthodes sophistiquées mais faisons cette approximation pour les logs de 2,3,4,5 et 6.

Johnny : Comment ?

Sara : Vous souvenez-vous que lorsque nous travaillions avec des exposants, nous disions

  2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 et 32 ​​x 32 =1024 que nous avons arrondis à 1000.

Johnny ; Je comprends. 2¹⁰ ≈ 1000. Donc, log (2¹⁰) = log (1000) ou 10 log 2 ≈ 3 ou log 2 =3/10 ≈ 0,3. Wow, c’est comme ça que tu calcules la première ligne sur le papier millimétré magique ?

Sara : Je viens de vérifier à l’aide de ma calculatrice que la valeur réelle du log 2 est de 0,3010. Alors tu as raison, génie.

Johnny : Maintenant, pour log 3, je pourrais écrire log (32) = log 2⁵ ou 5 log 2. Par conséquent,

log (32) = 5 x 0,3010 = 1,505, puis log 3,2 = 1,505 -1 = 0,505. Donc log 3 sera légèrement inférieur à 0,505. Quelle est sa valeur réelle ?

Sara : le log 3 est 0,4771. Vous étiez donc très proche. Pour 4 c’est facile 4 = 2²

Donc log 4 = 2 log 2 = 0,6020. Maintenant, comment allez-vous déterminer le log 5 ?

Johnny : Je ne suis pas nul. On m’a appris dans mon jardin d’enfants que

5 x 2 = 10. Donc, j’irai log 5 + log 2 = log 10 = 1 ou log 5 = 1 – 0,3010 ou 0,6990.

Sara : log 6 sera aussi facile car 6 = 3 x 2. Donc log 6 = log 3 + log 2.

Johnny : Je suis impressionné que nous puissions les comprendre. Les mathématiciens ayant des années d’expérience doivent être capables de les comprendre avec plus de précision.

Sara : Alors, c’est ça ?

Johnny : Quelque chose me dérange. Il n’y a pas de zéro sur l’échelle semi-log.

Sara : Je pense que je peux l’expliquer. Voyons, log 10 = 1, log 1/10 = -1, log 1/100 = -2 et ainsi de suite. Donc log 0 = log (1/10)^infini = moins l’infini. Vous aurez donc besoin d’un papier semilog infiniment long pour afficher log (0).

Johnny : Tous les logs que nous avons faits étaient pour la base 10. Comment fonctionneraient-ils sur une base différente et comment les convertiriez-vous en log10.

Sara : C’est facile à faire avec log 2. Par définition log₂ 2 = 1 car 2¹ =2. Nous venons de comprendre que log10 = 0,3010. Donc pour tout nombre m, on pourrait écrire que log10 m = 0,3010 log2 m. Vous pourriez la même chose en général et dire

log_n m = log₁₀ m = log_n m x log₁₀ n.

Johnny : Il y avait un mot appelé logarithme naturel dans le livre. Qu’y a-t-il de si naturel chez eux ?

Sara : Lorsque la base est une constante appelée e, le logarithme est appelé naturel. Je ne sais pas ce qui est naturel à propos de e mais cela s’appelle la constante d’Euler et a une valeur légèrement supérieure à 2,7.

Johnny : As-tu demandé à ta mère ?

Sara : Oui mais elle a dit que ce serait mieux de l’apprendre plus tard quand on étudierait les binômes dans notre cours d’algèbre.

Johnny : Je suis sûr qu’il y a encore beaucoup à apprendre, mais je pense que j’ai les bases maintenant. Merci Sara.

Sara est rentrée chez elle pour le dîner de famille. Il était facile pour Johnnay et Sara de suivre les leçons sur le journal de la classe et de faire tous les devoirs.

Challenge: les doubler jusqu’à ce que tous les carrés soient remplis ?

Défi

M. Johnson était fier de ses connaissances de base en arithmétique et se moquait souvent de ses enfants pour ne pas avoir ces compétences jusqu’au jour où sa fille qui était au lycée lui a posé cette question. Il y a 64 cases sur un échiquier. Approximativement, combien d’argent auriez-vous besoin de mettre dans le dernier carré si vous deviez mettre un dollar dans le premier carré, deux dans le suivant et continuer à les doubler jusqu’à ce que tous les carrés soient remplis ?

M. Johnson a déjà lutté avec le problème pendant deux heures, pouvez-vous aider Lisa à la place ?

Solution : Dollars dans le carré 1 = 1 = 2⁰

                   Dollars dans le carré 2 = 2 = 2¹

Dollars dans le carré 3 = 2 x 2 = 2²

Poursuivant cette série dollars dans le carré n = 2^(n-1)

Pour le dernier carré n =64 et les dollars qu’il contient seront 2⁶³.

Pour une réponse rapide, log 2⁶³ = 63 log 2 = 63 x 0,3010 = 18,963 ou arrondi à 19.

Ainsi, le montant en dollars dans le dernier carré sera l’inverse log 19 = 10¹⁹ =

10 x 1 000, 1 000, 1 000, 1 000, 1 000, 1 000.

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