M. John Power est entré dans sa classe Trig…. content
M. John Power est entré dans sa classe Trig. Il avait l’air très heureux. À ce moment-là, certains étudiants ont senti que M. Power préparait quelque chose. Ils savaient qu’il aimait les défier, et le fait qu’il soit heureux signifiait qu’il avait trouvé un défi difficile à résoudre.
M. Power s’est adressé à la classe : Aujourd’hui, au lieu d’une leçon, vous aurez une question intéressante à résoudre. Pour cela, de nombreux étudiants peuvent travailler ensemble. Vous êtes assis sur trois rangées. Chaque ligne peut former un groupe. Vous avez 20 minutes pour résoudre le problème.
Le problème : Déterminez la valeur de π en utilisant votre connaissance de Trig.
La plupart des élèves étaient impressionnés. Pourquoi M. Power les torturerait-il ainsi ? Ils ne savaient pas comment aborder le problème car il n’en avait jamais parlé en classe. Tout ce dont ils se souvenaient, ce sont les définitions de certaines fonctions Trig et quelques identités qu’ils avaient mémorisées. Il n’est jamais apparu dans aucune des feuilles de travail qu’ils ont faites. Ils se sont juste regardés en se demandant si quelqu’un d’autre allait trouver une réponse.
Une fois les 20 minutes écoulées, il a demandé aux élèves de la rangée 1 qui ont répondu : M. Power, nous n’avons pas encore abordé cela en classe.
À partir de la rangée 2, l’un des élèves a fièrement déclaré : Nous savons que le cos inverse (aussi appelé arccos) de -1 est π radians. Nous avons utilisé nos calculatrices et déterminé la valeur de cos inverse de -1 et obtenu une valeur de 3,14159265359. Donc π = 3,14159265359.
M. Power était frustré parce que c’était presque aussi mauvais que d’obtenir simplement la valeur de π sur Internet, mais il a dit : “Bon effort”.
Puis il s’est tourné vers le troisième groupe et a demandé à Sara : J’espère que votre groupe a fait mieux que ça.
Sara a dit oui, et il l’a appelée au conseil pour lui expliquer ce qu’ils avaient fait.
Sara : En fait, c’était tout le génie de Tommy.
Tommy a dit qu’il avait faim et qu’il souhaitait avoir de la pizza hawaïenne. Cela nous a donné le gros indice sur la façon de procéder. Nous avons eu une courte discussion, mais ensuite nous avons décidé qu’un cercle n’était rien d’autre qu’un polygone à côtés infinis comme une énorme pizza avec beaucoup de tranches. Tommy était plus inquiet à propos de l’ananas et des morceaux de jambon sur la pizza. Nous lui avons juste dit de se taire, sinon il n’obtiendrait rien.
Pour résoudre ce problème, nous avons décidé de commencer avec une pizza 6 parts. Tout d’abord, nous avons examiné une tranche de pizza. Cela partait du centre de la pizza en A. Nous avons tracé une ligne BC pour relier les deux autres coins de la tranche. Au lieu de la tranche, cela nous a donné un triangle ABC. À ce moment-là, nous ne nous inquiétions pas de la petite quantité de nourriture entre la ligne BC et le bord de la pizza. Nous nous sommes disputés mais avons décidé d’agoniser avec cela plus tard.
Nous avons tracé une ligne pointillée verticale à partir de AD. AD est appelé l’apothème de cet hexagone qui ressemble un peu au rayon d’un cercle. Nous avons supposé que AD = r qui est approximativement le rayon de la pizza.
L’angle ABC = 360°/6 puisque les angles de toutes les tranches totaliseraient 360°. L’angle BAD serait la moitié de celui-ci et donc de 30°. Puisque ABC est un triangle isocèle, BD = DC. On a appelé BD =L/2 qui est la moitié de la longueur de la base BC du triangle.
Maintenant L/2/r = tan (BAD) = tan 30° = 0,57735.
Aire du triangle ABC = r x L/2 = 0,57735 r2.
Mais la pizza contenait 6 de ces triangles. Donc l’aire de l’hexagone dans la pizza = 6 x 0,57735 r2 = 3,4641 r2. Cela nous a donné la valeur de π à 3,4641 car l’aire d’un cercle est de 3,4641 r2.
Tommy a dit qu’il avait faim et qu’il souhaitait avoir de la pizza hawaïenne. Cela nous a donné le gros indice sur la façon de procéder. Nous avons eu une courte discussion, mais ensuite nous avons décidé qu’un cercle n’était rien d’autre qu’un polygone à côtés infinis comme une énorme pizza avec beaucoup de tranches. Tommy était plus inquiet à propos de l’ananas et des morceaux de jambon sur la pizza. Nous lui avons juste dit de se taire, sinon il n’obtiendrait rien.
Pour résoudre ce problème, nous avons décidé de commencer avec une pizza 6 parts. Tout d’abord, nous avons examiné une tranche de pizza. Cela partait du centre de la pizza en A. Nous avons tracé une ligne BC pour relier les deux autres coins de la tranche. Au lieu de la tranche, cela nous a donné un triangle ABC. À ce moment-là, nous ne nous inquiétions pas de la petite quantité de nourriture entre la ligne BC et le bord de la pizza. Nous nous sommes disputés mais avons décidé d’agoniser avec cela plus tard.
Nous avons tracé une ligne pointillée verticale à partir de AD. AD est appelé l’apothème de cet hexagone qui ressemble un peu au rayon d’un cercle. Nous avons supposé que AD = r qui est approximativement le rayon de la pizza.
L’angle ABC = 360°/6 puisque les angles de toutes les tranches totaliseraient 360°. L’angle BAD serait la moitié de celui-ci et donc de 30°. Puisque ABC est un triangle isocèle, BD = DC. On a appelé BD =L/2 qui est la moitié de la longueur de la base BC du triangle.
Maintenant L/2/r = tan (BAD) = tan 30° = 0,57735.
Aire du triangle ABC = r x L/2 = 0,57735 r2.
Mais la pizza contenait 6 de ces triangles. Donc l’aire de l’hexagone dans la pizza = 6 x 0,57735 r2 = 3,4641 r2. Cela nous a donné la valeur de π à 3,4641 car l’aire d’un cercle est de 3,4641 r2.
Doublez le nombre de tranches de pizza
Rappelez-vous, notre prémisse était qu’un cercle peut être considéré comme un polygone avec des côtés infinis. Comme prochaine étape vers cela, nous avons examiné une pizza à 12 tranches de la même manière. Mais Tommy n’était pas content car cela lui donnerait moins de pizza par tranche. Nous avons donc dit que la pizza peut être plus grosse mais qu’elle peut être coupée en 12 tranches égales. Tommy était satisfait. Nous avons dessiné un triangle reliant le centre de la pizza et les bords des tranches de la même manière que pour la pizza à 6 tranches. Nous avons également tracé une ligne verticale similaire à partir de A.
Ici BD/AD = L/2/r = tan (360/12 x 2) = tan 15°= 0,26795.
Donc aire du triangle ABC
= 0,26795 r2.
La zone du dodécagone dans la pizza
= 12 x 0,26795 r2 = 3,2154 r2.
Cela nous a donné la valeur de π à 3,2154, ce qui est légèrement inférieur à 3,4641, qui était la valeur que nous avions obtenue de la pizza à 6 tranches.
Nous avons remarqué que la détermination de la valeur de π à partir des polygones des pizzas à 6 et 12 tranches suivait la même équation. L’aire du triangle ABC = tan (360°/2n) x r2 et l’aire du polygone = n tan (360°/2n) x r2 où n est le nombre de côtés.
100 tranches de pizza
Nous avons ensuite pensé à une pizza de 100 tranches. Tommy n’aimait plus l’idée car chaque tranche serait trop petite et il resterait affamé. Alors, nous lui avons dit de ne pas s’inquiéter car cette pizza serait très grande comme la taille de notre salle de classe.
Avec la même équation, l’aire d’un polygone à 100 côtés dans la pizza serait :
100 x tan (360°/200) x r2 = 100 x 0,03142626604 r2 = 3,142626604 r2. Encore une fois, cette valeur était légèrement inférieure aux deux valeurs que nous avions obtenues auparavant.
Pour un polygone de 10 000 côtés, l’aire serait de 10 000 x 0,00031415927 r2 = 3,1415927 r2. Voici les valeurs que nous avons obtenues pour les aires des différentes pizzas : 3,4641 r2 (6 tranches), 3,2154 r2 (12 tranches), 3,142626604 r2 (100 tranches), 3,1415927 r2 (10000 tranches). Nous aurions pu continuer mais les 20 minutes étaient écoulées.
Étant donné que l’aire de Aire d’un cercle = πr2 et que l’aire d’un polygone de 10 000 est de 3,1415927 r2, nous sommes arrivés à π = 3,1415927 environ.
M. Power était ravi de la réponse.
M. Power était ravi de la réponse. Il a dit à la classe que c’était génial mais pas la seule façon. Il a poursuivi en disant que bien qu’ils aient commencé à apprendre Trig en utilisant des triangles à angle droit, ils devraient maintenant savoir que Trig peut être utilisé pour tous les triangles et polygones. Ils devraient également explorer comment Trig peut également être utilisé pour tous les quadrilatères et polyèdres. Il leur a donné plusieurs problèmes du livre Trig comme devoirs.
Johnny, maintenant. aimait les choses incroyables qu’il pouvait faire avec Trig grâce à l’aide de la petite amie qu’il aimait. Il a passé l’examen final avec confiance. En effet, il a obtenu 99% de total au cours. Cette note l’a aidé à garder le vélo car sa moyenne générale sur tous les parcours était bien supérieure à 85 %. Sara a raconté cette histoire à sa Nana (grand-mère) qu’elle aimait beaucoup. Nana a dit: “Je ne suis pas surprise parce que tu es Sarasvati – la déesse de la connaissance. Sara n’est que ton surnom.”
Défiez la longueur de la course à vélo
Johnny entre dans une course à vélo. Sara lui demande: “Combien de temps dure la course?” Johnny, “Je ne sais pas mais d’après cette carte, à partir du point de départ on fait 20 km sur une route allant vers l’Ouest, après quoi le chemin Nord – Est prend un angle de 70°. Nous parcourons 18 kilomètres sur cette route puis bifurquons sur une autre route Est avec un angle de 110° et nous parcourons 15 kilomètres. Après cela, nous prenons une route qui nous ramène directement à notre point de départ.” Sara dit : “Donc, le parcours est un trapèze.” Combien de temps avez-vous calculé pour la course à vélo ?
Solution : On trace un quadrilatère ABCD. Soit : AB = 20 km, BC = 18 km, CD = 15 km, angle ABC = 70°, angle BCD = 110°. Puisque la somme des angles ABC et BCD = 180°, les droites AB et CD doivent être parallèles faisant ainsi du quadrilatère un trapèze. Nous avons besoin de la somme des quatre côtés pour obtenir la distance de la piste cyclable. Les longueurs de AB, BC et CD sont données, mais nous devons déterminer la longueur de DA pour résoudre ce problème.
Nous traçons deux lignes verticales : CE de C à AB et AF de A à CD.
Dans le triangle EBC, angle EBC = angle ABC = 70°.
Par conséquent, CE/BC = sin 70° ou CE = BC sin 70° = 18 x 0,9397 = 16,9146 km.
BE/BC = cos 70° ou BE = BC cos 70° = 18 x 0,342 = 6,156 km.
AE = AB – BE = 20 – 6.156 =13.844 km.
Parce que AB et CD sont parallèles, CE et AF étant perpendiculaires à eux doivent également être parallèles.
Donc AF = CE = 16,9146 km.
et CF = EA = 13,844 km.
Car on nous donne CD = 15 km, FD =15 – 13,844 = 1,156 km. Par conséquent, la distance totale de l’itinéraire cyclable = 20 + 18 +15 + 13,892 = 66,892 km.
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