Anniversaire de Cody, le neveu de Tommy
Johnny et Sara étaient assis à la cafétéria de l’école lorsque Tommy, un de leurs amis communs, les rejoignit. Tommy semblait heureux et excité. Sara a demandé à Tommy pourquoi il était si excité.
Tommy : C’est l’anniversaire de mon neveu Cody. Le petit bout de chou aura trois ans ce dimanche.
Sara : C’est super. Tu dois l’aimer.
Tommy : Oui, j’aime beaucoup le petit coquin. Chaque fois que je vais chez eux, il me fait un gros câlin et me suit jusqu’à ce que je parte. Je suppose qu’il ne m’aime pas seulement mais qu’il m’admire aussi. Je veux faire quelque chose de spécial pour son anniversaire.
Johnny : Voulez-vous l’emmener manger une glace ou quelque chose comme ça ?
Tommy : Non. Je veux faire quelque chose de plus grand et de plus spécial que ça. L’année dernière, je lui ai acheté une planche à roulettes. Maintenant, il est vraiment bon avec ça. Il y a un mois, nous l’avons emmené dans un skate park. Il a vu des garçons et des filles monter sur différents types de rampes de lancement et de quarts de piques. Il a adoré et voulait essayer mais nous ne l’avons pas laissé faire car il est trop jeune.
Johnny : Alors qu’est-ce que tu prévois ?
Tommy voulait donner des rampes de skate à Cody
Tommy : Vous savez, la famille de Cody vit à la campagne et ils ont une longue allée. Je pense lui acheter quelques petites rampes de skate. Je parie qu’il s’amusera avec eux mais ils doivent être assez petits pour qu’il ne se blesse pas. Il a déjà un casque et il devra le porter aussi.
Sara : Alors c’est quoi le problème ?
Tommy : Si la rampe est très basse, ce ne sera pas amusant pour lui mais si elle est trop haute, il risque de se blesser. J’ai vu une rampe avec un angle d’inclinaison de 10° et la surface inclinée sur le dessus était de 60 centimètres (cm). Celui-ci avait une hauteur de 10,44 cm. Je veux une autre rampe de 60 cm avec une hauteur de 15 cm. Au début, il pouvait utiliser ces deux rampes séparément. Quand il devient vraiment bon, je peux empiler et coller une rampe au-dessus de l’autre pour en faire une très haute. Je ne sais pas quelle sera la hauteur alors. Sara, peux-tu m’aider à comprendre ça ?
Sara : Bien sûr, je peux vous aider. Tout d’abord, regardons les rampes individuelles.
La rampe A a une pente de 10° et une surface inclinée de 60 cm de long.
Maintenant, sin A = sin 10° = 0,174. Cela signifie que la hauteur/hypoténuse = 0,174. Avec une hypoténuse de 60 cm, la hauteur serait de 0,174 x 60 cm soit 10,44 cm. Vous pouvez également en déduire que cos A est √(1 – 0,1742) = 0,985, car sin2 A + cos2 A=1.
Empiler des rampes de planche à roulettes pour obtenir plus de hauteur
Sara : Si vous empilez une rampe d’angle d’inclinaison B au-dessus d’une rampe d’angle A, l’angle total sera A + B. L’hypoténuse restera la même : 60 cm. Nous devons donc trouver le péché (A+B). Le moyen le plus simple sera d’obtenir la valeur du sinus d’un angle à partir d’une calculatrice, mais Johnny ici veut apprendre quelques Trig. Je vais donc utiliser l’une des identités répertoriées dans notre livre Trig.
Johnny : Merci Sara. Je vais rentrer chez moi et étudier les identités.
Sara : Une des identités est : sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
Pour les angles A = 10°, B = 15°,
sin A=0,174, cos A= 0,985, sin B=0,2588, cos B = 0,966.
Alors sin (A + B) = sin (25°) = 0,174 x 0,966 + 0,985 x 0,2588 = 0,4226.
.
Tommy : Je vois que la hauteur de la rampe B empilée sur la rampe A sera de 60 x 0,4226 ou 25,36 cm.
Sara : C’est donc ça ?
Tommy : Non. Je crains que 25,36 cm, soit près de 10 pouces, soit trop haut pour Cody. Le gars ne mesure même pas trois pieds. Quelle serait la hauteur si j’empilais juste deux rampes chacune d’angle A qui est de 10°.
Sara : Vous savez que sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B. Si vous deviez rendre l’angle A égal à B, il deviendrait : sin (2A) = 2 sin A cos A, Parce que pour l’angle A qui est de 10°, sin A = 0,174 et cos A = 0,985, sin (2A) = 0,342 ou la hauteur de deux rampes de 10° qui est une inclinaison de 20° serait de 0,3428 x 60 cm soit environ 20,6 cm ce qui est d’environ 8 pouces.
Hauteur d’une rampe avec la moitié de l’angle
Tommy : Merci Sara. Ça a l’air parfait mais je vais laisser le père de Cody décider. Dis-moi encore une chose. Mon frère qui est le père de Cody peut décider que c’est trop risqué et je devrais prendre les deux rampes chacune avec la moitié de l’angle 15°. Quelle sera la hauteur de ces rampes ?
Sara : Ici, on peut aussi utiliser l’identité : sin (A/2) = ± √((1- cos A))/2.
Car, cos 15° = 0,966, sin A/2 sera de 0,13. Je n’ai pas utilisé la hauteur négative car cela signifierait une rampe creusée pour descendre dans le sol. Ainsi la hauteur de chaque rampe sera de 7,8 cm car 60 x 0,13 = 7,8.
Sara : Nous devons aller en classe maintenant. Tommy, dis-nous ce que tu as décidé et ce que ton neveu pense de son cadeau d’anniversaire.
Tommy : Merci Sara. Je suis tellement excité.
Johnny et Sara ont parcouru leur livre Trig et ont trouvé plusieurs autres identités et ont essayé de les prouver.
Défiez Johnny à vélo sur la colline.
Sara adore taquiner son petit ami Johnny. Aujourd’hui, elle lui a dit : “Johnny, tu penses que tu es un bon cycliste. Disons que tu roules sur une route qui descend à un angle de 15 ° pendant 2 km, puis elle se stabilise (pas de pente) pendant 2 km. km. Après cela, il monte à 15° sur 2 km, puis sa pente augmente encore de 7,5° sur les 2 derniers km. Quelle est la hauteur totale que vous auriez grimpée pendant toute la course à vélo ?” Basez votre réponse sur sin 30° = 0,5.
Solution : Il y a quatre parties de la route, chacune d’une longueur égale de 2 km. Le premier a une inclinaison de -15°, le deuxième 0° et le troisième a une inclinaison de +15°, L’augmentation des hauteurs du premier et du troisième s’annulera et le second n’a pas d’inclinaison. Par conséquent, la seule pente à considérer est la quatrième.
La quatrième route est une pente de 15° + 7,5° = 22,5°. Étant donné sin 30° = 0,5.
Nous utilisons l’identité trigonométrique sin 2 A = 2 sin A cos A comme point de départ, pour obtenir
cos2 2A = cos2 A – sin2 A, et en substituant B = 2A
cos2 B = cos2 B/2 – sin2 B/2 ou sin2 B/2 = (1- cos B)/2 ou sin B/2 = ±(√ (1-cos B))/2,
sin 30° = 0,5. Par conséquent, cos 30° = (√(1 – 0,52))/2 = 0,866.
Donc, pour B= 30°, sin 15° = sin B/2 = ±(√((1- 0,866))/2 = ± 0,2588.
Puisque 15° est dans le premier quadrant, sin 15° = + 0,2588.
En écrivant maintenant C = 2B, nous pouvons répéter les calculs ci-dessus pour montrer que
sin 15°/2 = sin 7,5° = ±(√((1- 0,9659))/2 = ± 0,1305 = + 0,1305 car l’angle est dans le premier quadrant.
L’inclinaison de 22,5° peut être calculée comme un sin de 15° + 7,5° ou un sin de 30° – 7,5°. Allons-y avec ce dernier. Alors sin 22,5° = sin 30° cos 7,5° – sin 7,5° cos 30°.
Parce que sin 7,5° = 0,1305, cos 7,5° = ±(√((1- 0,1305))/2 = 0,9144.
Nous savons déjà que sin 30° = 0,5 et cos 30° = 0,866.
Par conséquent, sin 22,5° = 0,3827.
Par conséquent, le changement de hauteur dû à la quatrième partie de la route =
2 km x 0,0.3827 = 2000 x 0..3827 mètres = 765,4 mètres.
Parce que le changement de hauteur dû aux trois premières parties est nul, le changement total de hauteur est de 765,4 mètres.
Supplémentaire
1. Simplifiez cela oralement en moins de 30 secondes :
sin (170°)/(sin 85° sin 5°)
2 sin 85° cos 85° /sin 85° sin 5° = 2 sin 85° cos 85°/sin 85° cos (90-5°) = 2
2. Montrer que (1-2cos2x)/(sin x. cos x) = tan x – cot x
On sait que sin2 x + cos2 x = 1
Alors (1-2cos2x)/(sin x. cos x) = tan x – cot x = (sin2 x + cos2 x -2cos2x)/(sin x. cos x) =
(sin2 x – cos2 x)/(sin x. cos x) = sin2 x/ (sin x .cos x) – cos2 x / sin x.cos x = sin x/cos x – cos x /sin x = tan x – cot x
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