La relation de deux ans de Sara et Johnny
Johnny appartenait à une famille de la classe moyenne supérieure. Il était très sociable et bien habillé. Une chose unique chez lui était son penchant pour différents types de vélos. Quand Johnny avait 18 mois, ses parents lui ont offert un petit tricycle pour bébé. Il l’aimait. Il a joué avec la plupart de ses autres nouveaux jouets pendant de courtes périodes, mais il adorait jouer avec le tricycle. Il le transportait et le promenait partout dans la maison. Cela a duré un peu plus d’un an lorsqu’il a vu des vélos dans un magasin de jouets. Il en voulait vraiment un. Ainsi, à son troisième anniversaire, il a reçu un vélo à deux roues stabilisatrices. Il décorait le vélo avec des autocollants fantaisistes et le faisait rouler partout. Il a même insisté pour qu’il soit autorisé à le monter à l’extérieur. Ainsi, il a été autorisé à emmener le vélo dans la cour. Cela a duré une autre année quand il a voulu retirer les roues d’entraînement. On lui a dit qu’il devrait porter un casque. Il a accepté et les roues d’entraînement se sont détachées – une roue puis quelques semaines plus tard l’autre. Johnny a eu son prochain vélo quand il avait sept ans. Il a fait du vélo partout dans le quartier. Il a été autorisé à le faire parce que leur maison était dans une rue sans issue. Au fur et à mesure qu’il grandissait et grandissait, il recevait de nouveaux vélos de ses parents ou grands-parents une fois tous les deux ou trois ans. Il les aimait. Maintenant, Johnny est au lycée. Il a développé une véritable obsession pour les vélos et leurs technologies les plus récentes – les matériaux avancés avec lesquels ils sont construits, leurs nuances cinétiques et les cloches et sifflets que ces vélos accompagnent.
Johnny avait aussi une petite amie nommée Sara. Sara et Johnny s’aimaient. Sara était la fille de Vijay et Sonia, deux ingénieurs en logiciel qui ont quitté l’Inde pour l’Amérique du Nord. La vie était difficile au début, mais ils ont travaillé dur et se sont bien installés. Sara a pratiquement été élevée par sa Nana (grand-mère) qui vivait avec eux. C’était une étudiante brillante – une fille mince avec des cheveux mi-longs, elle s’habillait bien mais modestement. Sara et Johnny étaient ensemble depuis presque deux ans maintenant. Ils vivaient dans le même quartier. Ils se rendaient souvent visite et la plupart du temps, ils se rendaient à l’école à pied ensemble.
Johnny voulait un nouveau vélo mais n’avait pas d’argent
Un jour, alors qu’il navigue sur Internet, Johnny voit une publicité pour un vélo qu’il pense être parfait pour lui. Vouloir un vélo, c’était bien, mais avoir les 2800 $ à payer n’était qu’un rêve.
Quand Sara est arrivée, Johnny lui a parlé du vélo et de son prix.
Sara : De quoi est-il fait ? De l’or ? Pourquoi est-ce si cher?
Johnny: Le vélo a un cadre en titane solide et est très léger. Il a un excellent design aérodynamique et de grandes caractéristiques technologiques. Il dispose d’un gyroscope qui vous indique de combien de degrés votre vélo a tourné. Regardez cette fonctionnalité, vous pouvez même calculer de combien de mètres vous vous êtes déplacé Nord/Sud et combien de mètres Est/Ouest. Ne voyez-vous pas? C’est merveilleux. Je l’aime. Normalement, il coûte environ 7 000 $, mais il est en vente à 2 800 $.
Sara : Avez-vous ce genre d’argent ?
Johnny : Non, mais je peux en rêver. Je ne peux pas ?
Sara : As-tu demandé à ton père ?
Le père de Johnny se trouvait à proximité et a entendu Sara. Il a dit : Me demander quoi ?
Johnny a dit : Rien papa. Nous parlions justement de ce beau vélo. J’adore ça mais ça coûte 2800 $.
Johnny pensait que c’était la fin de cette conversation jusqu’à plus tard dans la soirée quand son père lui a dit : « J’ai parlé à ta mère du vélo. Nous obtiendrons le vélo pour vous, mais à une condition. Ce semestre, vous devrez obtenir une moyenne supérieure à 85 %. Si vous ne le faites pas, vous devrez travailler l’été pour nous rembourser la totalité du montant. Considérez cela comme une incitation à bien réussir le semestre à venir.
Sara, tu m’aideras à avoir un A en Trig ?
Johnny a accepté la condition de son père même s’il n’avait pas si bien réussi dans le passé. Il pensait qu’il serait d’accord avec les autres matières mais il était inquiet pour la trigonométrie (Trig). Il n’avait toujours que des notes médiocres en cours de maths mais il savait que Sara était une pro des maths. Il se demandait à quel point elle pouvait l’aider. Alors, il a raconté toute l’histoire à Sara, puis a dit : « Sara, tu m’aideras à obtenir un A en Trig ? Sinon, je devrai peut-être payer le vélo.
Sara a pensé à toutes les fonctionnalités technologiques du vélo, en particulier au gyroscope. Elle avait déjà jeté un coup d’œil sur leur livre Trig. Elle a conçu un plan dans sa tête et a ensuite dit: “Johnny, je t’aime. Je ferai n’importe quoi pour toi. Je ferai même de toi un as du Trig.”
Johnny : Génial ! Je l’aime bien.
Johnny est allé avec son père et ils ont acheté le vélo. Il pensait que la moto était bien meilleure que ce à quoi il s’attendait. Il aimait aussi toutes ses fonctionnalités. Il a téléphoné à Sara et lui a demandé de venir. Sara est venue vêtue de son t-shirt à manches mi-longues et de sa jupe habituelles, mais Johnny a pensé qu’elle était vraiment sexy aujourd’hui. Elle était venue en souriant parce qu’elle partageait le bonheur de son petit ami pour le nouveau vélo. Puis Johnny lui a montré le vélo. Sara ne connaissait pas grand-chose aux vélos mais elle aimait que Johnny soit heureux.
Johnny : Pourquoi étais-tu si sûr de pouvoir faire de moi un as du Trig ?
Sara : Vous verrez. C’est une belle journée. Allons à l’école. Tu fais du vélo et je te retrouverai là-bas.
Johnny : D’accord. On se voit à l’école.
Le bâtiment scolaire rond
Sara had drawn this picture for Johnny. The school building had a circular road around it. On this road, you could ride the bike or walk around the school building. Inside the school, you could also walk across from the front to the back which would be from South to North. There was another walkway from the Eastern end of the building to the Western end. You could walk from the center of the school to the circular road on these paths and in any direction it was 100 meters to the road.
Sara and Johnny went to the East side of the building (see arrow). Johnny had his bike in his right hand and his left arm was wrapped around Sara’s waist. What more could he ask for? He had all he wished – his lovely bike and the beautiful girlfriend he loved. Johnny reset his bike so that it showed zero for both – the distance moved and the rotation. They were walking slowly like two little lovebirds. Johnny was surprised when Sara asked him to stop. He looked at the bike – the rotation angle had reached 45°. He read from the bike meter that they had gone 70.7 meters towards North. After this Sara walked home and Johnny went for a bike ride.
Sara avait dessiné cette image pour Johnny. Le bâtiment de l’école était entouré d’une route circulaire. Sur cette route, vous pouvez faire du vélo ou marcher autour du bâtiment de l’école. À l’intérieur de l’école, vous pouvez également traverser de l’avant vers l’arrière, du sud au nord. Il y avait une autre passerelle de l’extrémité est du bâtiment à l’extrémité ouest. Vous pouviez marcher du centre de l’école à la route circulaire sur ces chemins et dans n’importe quelle direction, c’était à 100 mètres de la route.
Sara et Johnny sont allés du côté est du bâtiment (voir flèche). Johnny tenait son vélo dans sa main droite et son bras gauche était enroulé autour de la taille de Sara. Que pouvait-il demander de plus ? Il avait tout ce qu’il souhaitait – son beau vélo et la belle petite amie qu’il aimait. Johnny a réinitialisé son vélo pour qu’il affiche zéro pour les deux – la distance parcourue et la rotation. Ils marchaient lentement comme deux petits tourtereaux. Johnny a été surpris quand Sara lui a demandé d’arrêter. Il regarda le vélo – l’angle de rotation avait atteint 45°. Il a lu sur le vélomètre qu’ils avaient parcouru 70,7 mètres vers le nord. Après cela, Sara est rentrée chez elle et Johnny est allé faire une balade à vélo.
Plus tard chez Johnny, Sara a dessiné quelques lignes sur la vieille photo. Elle indiquait le point de départ et la rotation de 45° qu’ils avaient effectuée. Elle a également tracé une ligne reliant le centre du bâtiment A à leur position actuelle C. Comme la route était circulaire, cette ligne aurait également une longueur de 100 mètres. Puis elle a tracé une autre ligne de A vers la flèche. Puis à partir de C, elle a tracé une ligne perpendiculaire à cette ligne. Or, l’angle BAC était de 45° et l’angle CBA était de 90°.
Sara a dessiné un triangle sur la photo de l’école
Johnny : Pourquoi as-tu dessiné le triangle sur la vieille photo ?
Sara : Trig, c’est des triangles, en fait c’est surtout des triangles à angle droit. Johnny, pouvez-vous distinguer où nous avons commencé à marcher et où nous nous sommes arrêtés et avons fait le BAC à 45 ° ?
Johnny : Oui, je peux. Soit dit en passant, l’angle ACB sera également de 45° car tous les angles d’un triangle doivent totaliser 180°. Je m’en souviens de mon cours de géométrie. Cela en ferait un triangle isocèle et les côtés AB et CB seraient égaux.
Sara l’embrassa puis lui dit : Johnny, tu es un génie. Vous souvenez-vous du théorème de Pythagore du cours de géométrie ?
Johnny : En quelque sorte. Je me souviens que sa preuve était difficile. Aussi qu’il s’agissait de triangles rectangles.
Sara : Oui. D’après le théorème de Pythagore AC2 = AB2 + CB2 car AC est l’hypoténuse du triangle rectangle et AB et CB sont les deux autres côtés.
Johnny : Mais nous avons déjà dit que AB = CB. Alors AC2 = 2AB2 = 2CB2.
Sara : Cela signifie AB = CB = AC/√2. Rappelez-vous AC = 100 mètres. Alors AB = CB = 100/√2 soit 70,7 mètres. Vous avez parcouru 70,7 mètres vers le Nord et vers l’Ouest vous avez parcouru 100 moins 70,7 mètres soit 29,3 mètres.
Johnny : Wow, ce sont les lectures réelles de mon vélo. Je suis allé à 70,7 mètres au nord et à 29,3 mètres à l’ouest de notre position de départ du côté est de l’école.
Sara : Cela signifie que les relevés de votre vélo correspondent à nos calculs.
Johnny : D’accord, c’est super, mais où y a-t-il un Trig là-dedans ?
Sara : Trig est à la géométrie ce que l’algèbre est à l’arithmétique.
Sara : Trig est à la géométrie ce que l’algèbre est à l’arithmétique.
Johnny : Qu’est-ce que ça veut dire ?
Sara : Pour un triangle rectangle d’angle BAC (ou angle A), on peut écrire ces expressions en géométrie et en trigonométrie
En Géométrie En Trig
Hauteur/Hypoténuse Sinus A ou Sin A
Base/Hypoténuse Cosine A ou Cos A
Hauteur / Base Tangent A ou or Tan A
hypoténuse / Hauteur 1/Sin A ou Cosec A
hypoténuse /Base 1/Cos A ou Sec A
Base/ Hauteur 1/tan A ou Cot A
Johnny : Quel est le problème d’écrire toutes ces conversions ?
Sara : Tout d’abord, je veux voir si vous faites attention. Qu’est-ce que le tan 45° ?
Johnny : Nous avons dit que pour un triangle rectangle avec un angle de 45°, la hauteur est la même que la base. Donc, bronzage 45° = 1.
Sara : Génial. Vous devenez un as du Trig. L’avantage est que nous pouvons écrire une expression géométrique sous une forme beaucoup plus courte et plus facile à suivre, tout comme vous pouvez résoudre des problèmes arithmétiques plus complexes en utilisant l’algèbre.
Le téléphone de Sara sonna. Son père voulait qu’elle rentre à la maison pour le dîner. Sara a dit au revoir à Johnny et est partie.
Johnny a obtenu son livre Trig pour passer en revue les significations des différentes fonctions Trig. Il devenait plus confiant et zélé pour en savoir plus. Il a été impressionné par la façon dont Sara avait utilisé les gadgets (bien que ce ne soit pas comme ça qu’il les appelait !) sur son vélo pour lui apprendre Trig. Il était tellement happy.
Défi Mountedge Terra Park
Johnny et Sara ont décidé de monter le Mountedge Terra Park. D’où ils se tenaient, il y avait deux façons de monter – prendre une route ou un escalier. Sara voulait monter les escaliers. La passerelle et les escaliers étaient tous dans la même direction. Le panneau indiquait qu’elle devait d’abord marcher 320 mètres, puis monter 600 marches – chaque marche mesurant 30 cm horizontalement et 25 cm verticalement. Johnny a fait du vélo sur la route à partir du même point et a rencontré Sara. Bien sûr, Johnny est arrivé plus vite et attendait que Sara atteigne le sommet. Johnny a demandé à Sara ce qu’elle pensait être l’angle d’inclinaison de la route par laquelle il était venu. Sara souffle encore et souffle d’avoir grimpé les 600 marches ? Pouvez-vous comprendre cela pour Johnny?
Solution : Le parcours de Sara consiste en une marche horizontale droite de 320 mètres plus un mouvement horizontal dans les escaliers qui est de 30 centimètres x 600 = 18000 centimètres = 180 mètres. Il s’agit d’un déplacement horizontal total de 500 mètres. Les escaliers comprennent également un mouvement vertical de 25 centimètres x 600 = 15000 centimètres ou 150 mètres. Si x est l’angle d’inclinaison de la route pour atteindre le même objectif, tan x = mouvement vertical divisé par le mouvement horizontal vers le même objectif. Par conséquent, tan x =150/500 = 0,3. L’angle d’inclinaison de la route est arctan 0,3 = 16,7° (valeur obtenue à l’aide d’un calculateur).
Challenge Carrés Pistache Noix
La mère de Joe tient une boulangerie. Ils vendent ces délicieux carrés de noix de pistache pour un dollar par pièce – ils les appellent des carrés mais ce sont en fait des triangles. Elle découpe d’abord la pâte en morceaux de 50 cm de long et 2,5 cm de large. Ensuite, elle coupe chaque long morceau en morceaux carrés et fait la coupe finale pour en faire des triangles rectangles avec une base de 2,5 cm et un angle de 45° opposé à l’angle droit. De cette façon, elle obtient 40 pièces de chaque pièce de 50 x 2,5. Les bénéfices sont en baisse car le matériel pour fabriquer la pâtisserie est désormais plus cher. La mère de Joe pense que les enfants aiment le prix d’un dollar par pièce et ne veut pas changer cela. Elle ne veut pas changer la recette ni l’épaisseur des morceaux de pâte. Joe suggère qu’elle coupe les morceaux de 50 cm de long et 2,5 cm de large en rectangles de 2,5 cm de large, puis coupe les triangles de sorte que l’angle opposé à l’angle droit soit de 41° et l’angle opposé à la base soit de 49°. Cela lui donnerait plus de pièces et même le design pourrait sembler un peu plus sophistiqué.
Solution 2. L’épaisseur des pièces ne change pas et la largeur reste également constante. Pour une pièce triangulaire avec un angle de 45° opposé à l’angle droit, la hauteur sera de 2,5 tan 45° = 2,5 x 1 soit 2,5 cm. Donc, à présent, elle coupe le long morceau de 50 cm x 2,5 cm en 20 morceaux carrés et coupe chacun en deux pour obtenir 40 morceaux. La suggestion de Joe, de changer l’angle opposé au triangle rectangle à 41°, conduira à des pièces triangulaires d’une hauteur de 2,5 tan 41° ou 2,5 x 0,859 ou 2,173 cm. Ainsi, il suggère de couper la pièce de 50 cm x 2,5 cm en rectangles de 2,173 cm de hauteur et 2,5 cm de largeur. A partir d’un morceau de 50 cm x 2,5 cm, cela donnera 50/2,173 soit 23 rectangles. Elle coupera ensuite chaque rectangle en deux pour obtenir 46 morceaux du même matériau, au lieu des 40 qu’elle avait auparavant. Doit-on l’appeler Trigmaster Joe ou Trickmaster Joe ?
Défi : fonctions trigonométriques
Montrer que : sin (90°- x) = cos x, tan (90°- x) = cot x, sec (90°- x) = cosec x, sin (90°- x) = cos x.
Solution : Somme de tous les angles d’un triangle = 180°. Donc, pour un triangle rectangle (Fig. 10.2) si l’angle BAC = x, l’angle ACB = 90° – x.
sin (90° – x) = AB/AC = cos x.
tan (90° – x ) = AB/BC = cot x.
sec (90° – x) = AC/BC = cosec x.
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