On dit à Johnny d’apprécier Sara
Johnny a très bien réussi à l’école le dernier semestre. Il y avait deux raisons principales à cela. La première raison était que ses parents lui avaient acheté un vélo cher mais qu’il aurait dû le payer s’il n’obtenait pas une moyenne supérieure à 85 %. La deuxième raison, et peut-être la plus importante, était que Sara, sa petite amie de deux ans, a utilisé son intérêt pour le vélo pour faire de lui un as du Trig.
La mère de Johnny aimait Sara et lui a dit de faire quelque chose pour montrer son appréciation de sa petite amie intelligente. Sa mère était persistante et lui a demandé ce qu’il allait faire. Elle espérait que c’était quelque chose de spécial pour la fille qui l’avait tant aidé. Johnny n’a pas vu comme un gros problème que sa petite amie traîne avec lui, et dans le processus l’a aidé avec Trig. Maman a insisté pour qu’il fasse quelque chose – peut-être emmener Sara à un rendez-vous ou un voyage romantique. Elle lui a même proposé d’emprunter sa voiture.
Enfin, Johnny a parlé à Sara de leur départ pour un voyage dans un endroit romantique. Sara lui a dit que sa Nana ne la laisserait partir que pour une excursion d’une journée – pas de nuitée même si elle savait qu’ils se voyaient depuis deux ans.
Où aller pour un rendez-vous galant ?
Ensuite, Johnny et Sara ont dû décider où aller. Ce devait être une conduite décente. Peut-être pourraient-ils dîner et passer du temps ensemble, mais où ? Ils ont commencé à chercher des restaurants. Il y avait toutes sortes de restaurants avec différents types d’aliments. Il était difficile d’en choisir un. Soudain, Sara fit une grimace idiote.
Sara : C’est bizarre. Je ne crois pas qu’il y ait ce restaurant qui s’appelle Johnny and Sara’s Place. Le lieu porte notre nom. C’est assez romantique. Il doit être bon même s’il n’y a pas d’avis. C’est dans une impasse sur McLinton Road. Ce devrait être à une courte distance en voiture d’ici. Quand voulez-vous aller?
Johnny : Ça a l’air romantique – un restaurant qui porte notre nom.
Johnny a vérifié auprès de sa mère pour voir quand il pouvait emprunter sa voiture, puis a demandé à Sara si le lendemain ça allait. Sara a accepté. Ils ont décidé qu’il viendrait chercher Sara chez elle à 17 heures le lendemain.
Le lendemain, Johnny s’est rendu chez Sara et a rencontré sa grand-mère. Après cela, ils sont partis. Sara avait un nouveau téléphone intelligent à la main. Son père le lui avait donné en récompense de sa réussite du dernier semestre. La moyenne de Sara était de 98 %.
Sara : J’ai apporté ce téléphone portable parce qu’il contient un GPS. Nous pouvons surveiller tous nos mouvements avec lui, comme vous pourriez le faire avec votre vélo. Je sais que la voiture de ta mère a un GPS. J’ai quand même apporté ça car avec ça je peux sauvegarder nos coordonnées et envoyer les données sur mon ordinateur portable.
Bientôt, ils tournèrent sur McLinton Road et continuèrent. Sara a touché plusieurs fois l’écran du téléphone pour enregistrer les coordonnées GPS.
Chez Johnny et Sara
Au bout de la route, il y avait un petit restaurant avec une pancarte qui disait “Johnny and Sara’s Place”. Johnny gara la voiture et ils entrèrent. L’endroit était minuscule. Il y avait quatre tables pour accueillir un maximum de 16 personnes.
Ils se sont assis et une dame est venue avec les menus. Elle a dit: «Bienvenue chez Johnny et Sara. Je suis Sara et je serai ravie de prendre vos commandes.
Dans une conversation ultérieure, la serveuse a déclaré: «Quand j’ai terminé le lycée, mon petit ami Johnny et moi avons ouvert ce restaurant. J’assiste au front et Johnny cuisine. Nous aimons la vie au rythme lent car le restaurant n’est jamais trop occupé.
Le menu comportait principalement des hamburgers, des sandwichs et de la soupe du jour. Ils ont commandé la soupe et deux hamburgers. La nourriture était délicieuse. Ils ont bavardé et mangé. La serveuse est venue leur parler des desserts.
Serveuse : Johnny fait un très bon strudel aux pommes.
Sara : Merci, nous allons le prendre. Nous voulons aussi du thé. Au fait, je suis Sara et voici mon petit ami Johnny. Nous étions à la recherche d’un court rendez-vous romantique et avons découvert cet endroit. Quoi de plus romantique que Johnny et Sara allant chez Johnny et Sara.
Serveuse : C’est magnifique. Le strudel est offert par la maison.
Le strudel est à la maison
La serveuse apporta le dessert et le thé. Elle a également amené le cuisinier qui était son mari et l’a présenté en disant: «Johnny, voici Johnny et Sara. Ils sont venus ici parce que c’est chez Johnny et Sara. Le cuisinier les accueillit et les invita à revenir car c’était leur place.
Johnny et Sara ont apprécié ce rendez-vous. Johnny a ramené Sara à la maison. Ils se sont embrassés pour se souhaiter bonne nuit et Sara a dit qu’elle viendrait le lendemain.
Données GPS du mouvement de la voiture
Comme promis, Sara est venue chez Johnny le lendemain. Cette fois, elle avait son ordinateur portable avec elle. Elle avait enregistré les données GPS à chaque intersection principale qui avait un feu de circulation. Le graphique montrait combien de kilomètres ils avaient parcourus vers l’Ouest et vers le Nord (Fig.C1).
Johnny : Sara, cela ressemble à ce que nous avons fait avec le vélo. Essayez-vous de m’apprendre Trig à nouveau ?
Sara : Non. McLinton Road n’est-il pas beau ? Il va plus à l’ouest qu’au nord au début mais à la fin il va plutôt au nord sans aller beaucoup vers l’ouest.
Johnny : Pourquoi n’avez-vous pas tracé une ligne continue reliant les points pour montrer la route ?
Sara : La route n’était pas continue. Il y avait beaucoup de virages à différents endroits. Vous ne pouvez pas les voir sur cette petite carte.
Sara a obtenu la carte de la route sur Internet, en a agrandi de petites parties et l’a ensuite montrée à Johnny.
Sara : Tu vois, il y a beaucoup de virages sur la route. Il n’y a pas de continuité.
Johnny : Mais personne ne va tomber ou même heurter quoi que ce soit juste à cause des petits virages.
Sara : Pour des raisons pratiques, vous avez raison, mais pour décrire la forme de la relation de mouvement Nord-Ouest par une fonction continue, il ne peut y avoir de virages ou de ruptures.
Johnny : Si quelqu’un adoucissait les virages, pourriez-vous l’écrire comme une fonction continue ?
Sara : Je suppose que pour l’instant nous pouvons dire que la fonction est continue mais nous devrions lire attentivement ce concept.
A quelle fonction correspondait le mouvement ?
Johnny : Quelle serait la relation Nord-Ouest si le mouvement de l’Ouest était x et le mouvement du Nord était y ?
Sara : J’ai moi-même eu du mal avec ça. Puis ma mère m’a aidée. Elle a trouvé la meilleure fonction pour s’adapter à cette relation de paire x-y. Voir l’image (Fig.C1.2).
Johnny : Vous avez enlevé les points. Est-ce parce que nous l’appelons maintenant une fonction continue décrite par l’équation y = x2/10 ?
La mère de Johnny est venue demander leur rendez-vous. Après avoir écouté leur visite dans ce petit restaurant bon marché, elle n’a pas été impressionnée. Elle avait oublié qu’il y a longtemps, elle rêvait d’avoir un chez-soi avec le père de Johnny. C’est peut-être pour ça qu’elle n’a pas vu l’aspect romantique de leur rendez-vous.
Sara avait beaucoup de temps libre. Elle avait un travail bénévole pour aider les enfants réfugiés avec leurs compétences linguistiques et sociales, mais cela commencerait dans environ deux semaines. D’ici là, quoi de mieux que de rendre visite plus souvent à son copain ? Alors elle a fait exactement cela. Cette fois, elle avait à nouveau son ordinateur portable.
Sara : Johnny, souviens-toi du graphique que je t’ai montré hier. Il suivait la fonction y = x2/10. J’ai fait une dernière chose avec les relevés GPS que nous avions.
Johnny : Qu’est-ce que c’est ?
La dérivée – pente de la fonction
Sara : Tout d’abord, dites-moi si la courbe était y = x2 et que notre voiture s’est déplacée d’un tout petit peu dans la direction de x, quel sera notre ratio de mouvement y sur x ?
Johnny : Combien déménageons-nous ?
Sara : Dites, la longueur d’une fourmi. Appelons ça un pour la fourmi. Nous étions à x et maintenant nous sommes à x + a, à droite. La fonction reste y = x2.
Johnny : Donc y serait maintenant à (x+a)2 au lieu de x2. Ainsi, la variation de y sera (x+a)2 moins x2. Si vous divisez cela par a, vous obtiendrez la pente.
Sara : Est-ce que ça va si j’écris x2 +2ax + a2 au lieu de (x+a)2 ?
Johnny : Bien sûr, le mouvement y sera x2 +2ax + a2 – x2. Le plus et le moins x2 s’annuleront et nous aurons 2ax + a2 comme différence. Nous le divisons par ‘a’ qui est le mouvement dans la direction x. La pente sera donc 2x + a, n’est-ce pas ? Mais si la valeur de x est de 10 kilomètres, ne pouvons-nous pas simplement oublier la longueur de la fourmi (qui est vraiment minuscule par rapport à 10 km) et dire simplement que la pente est de 2x.
Sara : Non. En mathématiques, vous ne pouvez pas ignorer la longueur à moins qu’elle ne soit nulle. Si nous avions utilisé l’exemple d’un grain de sable plus petit que la fourmi, nous ne pourrions pas l’ignorer. Cela revient à la question de la continuité. Si la fonction est continue, nous pourrions supposer que l’incrément de x atteigne zéro, puis dire que la pente est de 2x. La longueur d’une fourmi ou d’un grain de sable ne peut pas être nulle. En fait, toute longueur que vous pouvez mesurer n’est pas nulle. En termes livresques, nous aurions pu écrire le changement de y sous la forme δy et le changement de x sous la forme δx.
Alors δy/δx = ((x+ δx)2-x2)/ δx
et on obtient δy/δx = 2x + δx
Alors on pourrait dire que lorsque δx tend vers zéro, la limite de δy/δx devient dy/dx = 2x.
C’est ainsi que nous définissons la pente d’une fonction continue en calcul et vous l’appelez une différentielle ou une dérivée de y par rapport à x ou dy/dx. C’est ce qu’est Calculus ; montée divisée par chute qui est la pente d’une variable par rapport à une autre.
Johnny : Mais nous avons dit que McLinton Road suivait la fonction y = x2/10, et non y = x2.
Sara : Nous pourrions faire le calcul pour y = x2 fois une constante et voir ce qui se passe. Je pourrais écrire δy/δx = ((x+ δx)2-x2)/ δx x c puis obtenir la pente à (2x + δx) x c et dy/dx à 2x x c.
Ici c =1/10 donc la pente serait de 2x/10. C’est ce que j’ai dessiné pour dy/dx à différentes valeurs de x. Sa pente instantanée à toute valeur donnée de x est 2x/10 ou x/5.
Figure……
Johnny : Cela devient déroutant. Ce graphique est une droite.
Sara : Oui. C’est une ligne droite dont la pente Nord/Ouest augmente avec la distance croissante vers l’Ouest. C’est ce que j’ai dit auparavant, “Regardez comment McLinton Road va plus à l’ouest qu’au nord au début, mais à la fin, il va principalement au nord sans aller beaucoup vers l’ouest.” La fonction décrivant McLinton Road était y = x2/10, sa première dérivée était x/5. La pente de cette droite en un point donné est x/5. C’est la même valeur que vous avez obtenue lorsque vous avez fait le calcul pour dy/dx.
Johnny : Nous en avons donc terminé avec la dérivée de y = x2/10. D’accord. Je suppose que nous pourrions également obtenir la dérivée de y = x/5.
La dérivée seconde
Sara : N’oubliez pas que le graphique y = x/5 est une ligne droite. La pente d’une droite ne change pas avec x. C’est constant. Dans ce cas, vous pouvez voir que ce sera 1/5.
Johnny : Comment appelez-vous la pente d’une pente d’une fonction ?
Sara : C’est ce qu’on appelle la dérivée seconde ou d2y/d2x.
Johnny : Cela signifie d2y/d2x = 1/5 qui est une ligne sans aucune pente ou vous pouvez dire avec une pente de zéro. Cela signifie-t-il que pour la courbe de McLinton Road y = x2/10, la pente de la pente de la pente ou la dérivée troisième d3y/d3x sera nulle ? Wow, c’est chouette.
Johnny s’arrêta un moment comme pour tout digérer mais posa ensuite d’autres questions.
Johnny : Et si la fonction était une somme d’expressions, comment détermineriez-vous les dérivées ? Comme en algèbre, nous avons appris l’équation quadratique y = ax2 + bx + c.
Sara : C’est simple. Nous pouvons prendre la dérivée de chaque partie et ensuite les additionner. dy/dx pour ax2 vaut 2ax, pour bx c’est b et dy/dx pour c vaut zéro. Nous pouvons additionner les dérivées de chacune des trois composantes pour obtenir dy/dx = 2ax + b + 0.
Johnny : Quelle est la dérivée de y = x3 ?
Sara regarda dans le livre et dit : Pour toute valeur de n, la dérivée de y = xn est nxn-1. En voici une intéressante, le livre dit que dex/dx = ex.
Johnny : Quoi, est-ce que e est la constante d’Eurler ici ?
Sara : Nous pourrions le prouver en utilisant e comme la somme d’une série infinie, mais laissons cela pour l’instant.
Sara pensait que Johnny était impressionné mais semblait quelque peu perdu quant à la signification de tous les dérivés. Elle réfléchit quelques minutes avant de dire quoi que ce soit.
Que signifient les dérivés ?
Sara : Rappelez-vous quand on monte en voiture, on lit la distance parcourue sur le compteur kilométrique. Ensuite on parle aussi de la vitesse de la voiture qui est la distance parcourue par heure ou la dérivée première de la distance parcourue par rapport au temps. La dérivée seconde est l’accélération qui est la vitesse à laquelle votre vitesse augmente. Certains constructeurs automobiles annoncent à quelle vitesse ils peuvent augmenter leur accélération. Ce serait la troisième dérivée.
Johnny : Maintenant, c’est logique. Sinon, vous m’aviez perdu.
Sara : Voici une blague que j’ai lue sur Internet à propos des produits dérivés.
“Le président américain Richard Nixon, lors de sa campagne pour un second mandat, a annoncé que le taux d’augmentation de l’inflation diminuait, ce qui a été noté comme” la première fois qu’un président en exercice a utilisé la troisième dérivée pour faire avancer son cas de réélection .”
Johnny : C’est marrant. Le gars était un escroc. Maintenant que vous avez mentionné la troisième dérivée, j’ai lu dans le journal aujourd’hui : « La baisse du rythme des ventes de maisons dans la région de Vancouver semble s’être accélérée de façon significative… ».
Défi
La voiture de Johnny est garée. Lorsqu’il le démarre et appuie sur la palette des gaz, après le temps t il aurait parcouru la distance (d) donnée par d = 0,5 at2 où a vaut 3 mètres/sec2. La vitesse de la voiture après le temps t est donnée par la dérivée première (ds/dt). À quelle vitesse la voiture se déplacera-t-elle 10 secondes après son démarrage ?
Solution : d = 0,5 at2. Par conséquent, ds/dt = 0,5 a x 2 t = at
Avec a = 3 mètres/sec2 et t = 10 sec, ds/dt = 30 mètres/sec soit 108 km/heure.
Math Stories For You 