La mère de Sara devait raconter une histoire maintenant
Nana racontait souvent une histoire ou chantait une berceuse pour endormir Sara. Parfois, même adolescente, Sara insistait. Cette fois, Nana s’est absentée quelques jours pour rendre visite à des proches. Quand Sara ne pouvait pas dormir, elle est allée voir sa mère et lui a demandé de raconter une histoire qu’elle n’avait jamais entendue auparavant. Maman n’y était pas habituée car c’était le travail de Nana mais Sara ne bougeait pas. Finalement, maman a cédé et c’est ce qui s’est passé.
Maman : C’est une ancienne histoire indienne que j’ai lue dans un magazine quand j’étais au lycée. Je ne sais pas si c’est vrai.
Sara : Dis-moi déjà, s’il te plait même si tout est inventé.
Maman : Il était une fois, en Inde, un roi qui aimait les cadeaux uniques. Un jour, un homme offrit au roi un tapis au design unique. J’adorais ce dessin et j’ai demandé à mon père de me faire une photocopie du magazine. C’est ici. Je l’ai eu de ma chambre quand tu m’as demandé de te raconter une histoire.
Sara : Maman, cette photo de tapis ressemble à un code-barres ou quelque chose comme ça.
Maman : C’est peut-être le cas. L’homme avait utilisé le concept des valeurs de placement des nombres dans le système décimal, son intellect et l’aide d’un habile fabricant de tapis. Il écrivait des nombres sur le tapis de manière à ce qu’il y ait la même distance entre 1 et 10 qu’entre 10 et 100, et entre 100 et 1000. Ce serait une nouvelle façon de présenter les nombres. Cependant, le roi était tellement habitué à ce que la distance entre 1 et 2 soit la même qu’entre 2 et 3, et une distance beaucoup plus longue entre 1 et 10. Il a simplement renvoyé l’homme en disant que cela confondrait la personne moyenne. Il n’encouragea pas davantage l’homme, mais étant un bon roi, il lui donna une petite récompense. L’affaire s’est arrêtée là.
Ce système a été réinventé au XVIe siècle en Écosse par un mathématicien du nom de John Napier.
Sara : Merci pour l’histoire, maman. N’utilisons-nous pas le concept d’augmentation des décennies chaque jour lorsque nous parlons de millilitres, centilitres, décilitres et litres ?
Sara s’endormit mais le lendemain elle raconta cette histoire à Johnny.
Johnny : Ta mère et ta grand-mère te racontent de bonnes histoires. Après tout, ta mère est la fille de ta grand-mère.
Sara : Non, elle ne l’est pas. C’est la belle-fille de ma Nana. Peu importe, vous avez dit que vous étiez frustré hier. Qu’est-il arrivé?
Représentation graphique de données exponentielles
Johnny : Souviens-toi de l’histoire de ta grand-mère à propos de l’oncle Shah. Le montant d’argent que l’oncle Shah a donné à Nana était la fonction exponentielle f(t) = Cinitial x 2t . Il avait commencé avec un dollar et avait continué à le doubler chaque année jusqu’à ce que Nana atteigne l’âge de 14 ans. Je voulais juste voir à quoi ressemblerait le graphique de cette fonction. J’ai donc compilé les montants de l’histoire, puis j’ai essayé de les représenter graphiquement.
Tout d’abord, j’ai utilisé un papier quadrillé normal et tracé le nombre d’années sur l’axe des X et les montants en dollars sur l’axe des Y. J’ai réglé l’axe X de 0 à 14 et l’axe Y de 0 à 20 000. Les points pour Y supérieur à 1000 pouvaient être marqués facilement mais il était difficile de savoir où marquer les points pour de très petites valeurs de Y. J’ai changé l’échelle Y en partant de 0 et en terminant à 20. Maintenant, je pouvais facilement marquer le points jusqu’à 16 mais il n’y avait pas d’espace pour les points avec les valeurs les plus élevées. J’étais frustré en pensant qu’aucune échelle ne tiendrait compte de tous les points.
Sara : Johnny, voici la meilleure partie de l’histoire de maman. Elle m’a donné un papier millimétré magique basé dessus. Ce papier magique, Johnny boy, est la prière pour mettre fin à votre frustration graphique. Dans votre papier millimétré, les axes X et Y sont linéaires. Par exemple, dans votre papier millimétré, sur l’axe Y, la même distance entre 1 000 et 10 000 dollars est environ 1 000 fois la distance entre 1 et 10 dollars. Le papier graphique magique est conçu pour montrer que la distance entre 1 et 10 est la même que celle entre 1000 et 10000. Ainsi, la distance entre chaque décennie est la même. Elle l’a appelé un papier semi-logarithmique ou un papier semi-log pour faire court. C’est semi car un axe est linéaire comme dans le papier millimétré que vous utilisiez et l’autre axe est logarithmique. Sur ce, j’ai commencé l’échelle avec 1 à 100000 et tracé les données pour les 14 années.
Johnny : C’est chouette. Remerciez votre mère de ma part mais j’ai une question, “Comment calculez-vous la distance entre un et deux dollars ?”
Sara : Ici, les lignes sont marquées, mais nous devrons comprendre comment elles ont créé ces lignes. J’ai une idée cependant.
Johnny : Je vois que tu as fait trois graphiques.
Sara : Oui, le premier que j’ai fait à la main et c’est un peu salissant. Ceci est le graphique de l’argent que l’oncle Shah a donné à Nana chaque année jusqu’à ses 14 ans. Vous pouvez voir l’argent pour toutes les années dans ce graphique.
Jonnhy : Qu’en est-il des deux autres graphiques ?
Sara : Johnny, vous avez créé de nombreux graphiques à l’aide d’un programme informatique. J’ai fait la même chose mais j’ai remarqué que le programme informatique de mon ordinateur portable vous permet de choisir le type d’axe – linéaire ou logarithmique. Pour l’axe X, j’ai choisi linéaire et l’axe Y logarthimique. Ensuite, j’ai représenté graphiquement les mêmes données.
Johnny : Wow, ces graphiques sont des lignes droites avec des pentes positives. Je vois que le troisième a une pente négative.
Sara : Le troisième graphique montre qu’Ashley avait 128 g de bonbons et qu’elle pouvait manger la moitié des bonbons restants n’importe quel jour. Ce sont toutes les deux des fonctions exponentielles mais avec un exposant montant pour l’un et un exposant décroissant pour l’autre. Sur les graphiques semi-logarithmiques, ils viennent tous les deux avec des lignes droites mais la pente est positive pour l’exposant montant et négative pour les endroits où il y a une chute.
Johnny : C’est super mais j’ai encore ma question sur la façon dont ils ont trouvé les lignes pour 2, 3, 4 et ainsi de suite.
Sara : Nous devrons lire à ce sujet. Je pense que nous avons un chapitre sur les logs dans notre livre. Pourquoi ne pas faire ça une autre fois ?
Défi : le graphique de Tony Gordito
Tony Gordito, un élève de 10e année, était assis à la cafétéria de l’école avec ses amis et appréciait la nourriture. Chelsea a déclaré qu’elle allait participer à la course de 5 km ce week-end-là pour collecter des fonds pour la Fondation du cancer. Tony a dit qu’il devrait peut-être courir aussi. Tout le monde riait en pensant que Tony ne pouvait pas courir. Chelsea a demandé: “À quelle vitesse?” Tony a répliqué, “Combien de minutes prenez-vous pour la course de 5 km?” Chelsea a dit “22 minutes”. Tony a déclaré qu’il courrait l’année prochaine et a battu son temps de 22 minutes. Maintenant qu’il avait fait la déclaration, “Tony est allé sur les pistes pour commencer l’entraînement.” Il a marché aussi vite qu’il le pouvait avec des joggings occasionnels entre les deux et a parcouru les 5 km en 60 minutes. Il a pensé qu’il pouvait s’entraîner 2 à 3 jours par semaine et que chaque semaine, il prendrait 2% de temps en moins que la semaine précédente. Si Tony reste déterminé à le faire, pensez-vous qu’après 52 semaines, il pourrait relever le défi de courir 5 km en moins que les 22 min de Chelsea ? Tony a raconté cette histoire à Mme Clémentine, la prof de maths. Elle a dit : « Une image vaut mille mots. Pourquoi ne dessinez-vous pas votre calendrier toutes les quatre semaines sur un papier quadrillé ? Oh oui, assurez-vous de tracer une ligne droite appropriée avec une règle.
Solution : Tony a couru le 5 km en 60 min le week-end. Après chaque semaine, il prendra 2% de temps en moins que la semaine précédente. Par conséquent, le temps après n semaines sera de 60 x (1- 0,02)n ou 60 x 0,98n. Afin d’obtenir une ligne droite, Tony a dû tracer le temps d’exécution de 5 000 sur une échelle logarithmique. Il a obtenu un papier semi-logarithmique à cycle unique et a représenté graphiquement les données comme indiqué. Clairement, il a battu le temps de Chelsea de 22 minutes comme le montre le graphique avec une flèche.
Haut de page et index du site
Math Stories For You 