Priya profite de l’amitié de Sara
Priya travaille dur pour sa mère Jenna à la boutique de t-shirts. Elle a du mal à jongler entre le travail et l’école. Heureusement, elle s’est liée d’amitié avec Sara. Cette fois, elle a approché Sara pour l’aider à faire ses devoirs dans son cours de statistiques. Elle avait assisté au cours mais ne comprenait pas ce qui s’y passait.
Priya : J’ai une faveur à vous demander. Tu m’expliques si bien les choses qu’elles me restent dans la tête. J’ai lu mon livre de statistiques mais rien n’avait de sens pour moi. J’espérais que tu pourrais m’aider avec les devoirs pour mon cours de statistiques.
Sara : D’accord, je vais essayer.
Priya : La première question est simple, et même moi je peux le faire. Quelles sont les chances d’avoir face quand vous lancez une pièce ? Ma réponse est qu’il y a deux possibilités égales – une tête ou une queue. Donc, les chances pour une face sont de 1/2, et il en est de même pour une pile.
Sara : Exact.
Histoire drôle sur Leslie et Linda
Priya : Je sais que je dois finir mes devoirs mais je dois te raconter une histoire amusante. Je n’arrive pas à le sortir de ma tête. Vous allez l’adorer. Vous souvenez-vous de Linda et Leslie de notre lycée ? Ils traînaient toujours ensemble. Un jour, Leslie a donné une pièce à Linda et lui a demandé de la lancer. Leslie embrasserait Linda sur les lèvres si c’était une tête et Linda embrasserait Leslie sur la joue si c’était une queue. C’était à l’arrière de l’école ! Ils sont bizarres. Linda a regardé la pièce et elle avait une tête d’un côté et une queue de l’autre. Alors elle l’a jeté. C’était une tête alors Leslie a embrassé Linda.
Sara : C’est ça ?
Priya : Non, non, il y en a plus. Linda a lancé la pièce quatre fois. Devinez quoi – Leslie a embrassé Linda sur les lèvres à chaque fois. Certains d’entre nous les regardaient jouer à ce jeu. Ensuite, ils ont décidé que Leslie devrait lancer la pièce. Deux fois de plus et c’était une tête – à chaque fois et Linda a été embrassée sur les lèvres. D’autres étudiants ont commencé à regarder mais Linda et Leslie s’en fichaient.
Lorsque les têtes sont venues pour un total de 8 fois de suite, Joe leur a demandé de faire de vrais paris. Ils lui ont dit de s’occuper de ses affaires.
Jim a dit à Joe : “Je parierai avec toi. Ce sera la prochaine queue. Il était temps.”
Sarah : Que s’est-il passé ?
Priya : Joe est parti sans parier mais pensez-vous que Jim avait raison ?
Sara : Non, Jim avait tort. Les chances du tirage au sort restent égales pour les têtes ou les queues parce que la pièce était juste. Ils ne dépendent pas de ce qui s’est passé la dernière fois. S’ils avaient jeté la pièce 1000 fois, je pense que Linda aurait embrassé Leslie 500 fois et il en va de même pour Leslie embrassant Linda. De toute façon, c’est beaucoup de baisers idiots.
Priya : La question suivante sur le devoir est qu’il y a deux pièces – disons un nickel et un centime. Quelles sont les chances d’obtenir une tête lorsque vous les mélangez ?
Sara : Pensez à toutes les différentes possibilités.
Une possibilité est qu’il y ait une tête pour le nickel et une tête pour le sou, la seconde est une tête pour le nickel et une queue pour le dime, la troisième est une queue pour le nickel et une tête pour le dime, et le le quatrième est pile pour les deux pièces. Parmi ceux-ci, il existe deux possibilités pour une tête, car peu importe que la tête soit pour le sou ou le nickel. La réponse est donc 2/4 = 1/2. Si la question était d’au moins une tête, la réponse serait 3/4. C’est pourquoi vous devez lire attentivement les questions.
Priya : La question suivante portait sur l’obtention d’un total de 7 si vous lancez deux dés à 6 faces. Je connais celui-ci – il suffit de compter toutes les possibilités et de choisir celles où le total est de 7. La réponse est 6/36 ou 1/6. Mais je ne peux pas oublier cette histoire de l’école.
Joe et Jim jouaient avec un tirage au sort et un lancer de deux dés.
Joe lançait d’abord les dés, puis lançait la pièce. Jim s’en fichait.
Il lança les dés d’une main et lança la pièce de l’autre. Cela ferait-il une différence?
Sara : Non, car les cotes des deux ne dépendent pas l’une de l’autre. De plus, votre professeur pourrait vous demander de réfléchir à ces problèmes en créant des arbres. Vous avez toutes les possibilités du tirage au sort, puis à partir de chacune d’entre elles, vous créez des branches de toutes les possibilités avec un dé, puis à partir de là, les branches pour l’autre dé. Jetez un oeil à une vidéo youtube qui explique l’idée de l’arbre. Il provient de Belcastro Math (https://www.youtube.com/watch?v=cogQtPFyZCA).
La question suivante de Priya concernait un problème de tombola. Joe a acheté 4 billets pour une tombola sur les 40 billets qui ont été vendus pour trois prix. Un billet serait tiré pour le premier prix, parmi les billets restants, un serait tiré pour le deuxième, puis il en serait de même pour le troisième prix. Il espérait remporter les trois prix. Quelles sont ses chances ?
Sara a fait l’hypothèse juste que la victoire de chaque prix était indépendante. Elle a donc regardé chaque prix séparément. Les chances qu’il remporte le premier prix étaient d’environ 4/40 ou 1/10 ou 0,1 car il détenait 4 billets sur 40.
Parce qu’il a remporté le premier prix, il resterait 39 billets. Il en aurait encore 3. Ainsi, ses chances de gagner le deuxième prix seraient de 3/39.
Après avoir remporté le deuxième prix, les chances pour le troisième prix seraient de 2/38.
Ainsi, les chances qu’il remporte les trois prix étaient de 4/40 x 3/39 x 2/38 ou 0,00405 sur 1. On pourrait également dire que ses chances de gagner les trois prix étaient de 1:2470 car 1/2470 = 0,00405 .
La disposition des sièges
Priya: C’était toutes les questions du devoir mais j’en ai une de plus juste par curiosité. Il y a un dîner ce soir à 19h au restaurant Southern Gourmet, et je vous y invite. J’espère que les personnes présentes seront vous, moi et trois autres. Si les sièges étaient aléatoires, combien de places assises sont possibles ?
Sara : Ce sont deux questions distinctes. Tout d’abord, merci pour l’invitation et je serai heureux de venir. Pour la deuxième question, vous devez me dire si nous sommes assis en rang ou en cercle.
Priya : Est-ce que ça fait une différence ?
Sara : Oui. Si nous étions assis dans une rangée avec Priya d’un côté et Sara de l’autre, elles ne seraient pas l’une à côté de l’autre ? Au contraire, dans un cercle, nous serions ensemble.
Sara : Si nous étions assis dans une rangée et que vous arriviez en premier, vous auriez le choix entre 5 chaises différentes. La personne qui suivrait n’aurait que 4 choix car vous seriez déjà assis dans un.
Priya : Oui, la personne suivante aurait 3 choix, et la suivante 2 et la dernière n’en aurait qu’un. Puis-je les traiter comme des choses indépendantes comme nous l’avons fait pour le tirage au sort ?
Sara : Oui, parce que nous avons dit qu’ils étaient aléatoires.
Priya : Donc, il y aurait 5 x 4 x 3 x 2 x 1 ou 120 possibilités.
Sara : En mathématiques, vous auriez écrit ceci sous la forme d’un factoriel 5 ou 5 ! De plus, si vous étiez assis en cercle, le nombre de possibilités sera de (5-1) ! = 4 ! = 24.
Priya : C’était juste par curiosité. Je veux m’asseoir entre toi et ma mère. Rendez-vous au dîner.
Défi Gourmet du Sud
Le restaurant Southern Gourmet veut faire un grand panneau qui montre les lettres brouillées de Southern de toutes les manières possibles, écrivez-les les unes sur les autres, puis écrivez Gourmet déchiffré en grosses lettres à côté. Quel est le nombre de possibilités ? Ils ont changé d’avis. Écrivez Southern en clair en grosses lettres mais les lettres Gourmet doivent être brouillées à la place. Quel est le nombre de possibilités maintenant ? Quel est le nombre total de possibilités s’ils veulent que les lettres de l’un ou l’autre des deux mots soient brouillées mais que les lettres du mot soient brouillées ? Que pensez-vous de l’un des trois plans?
Solution : SUD a 8 lettres – toutes différentes. Il y a donc 8P8 possibilités différentes. 8P8= 8!/0! = 8 ! = 40320. Le signe sera donc composé de 40320 rangées pour ce mot et d’une rangée pour le mot GOURMET. Les lignes pour SOUTHERN seront trop petites pour être lues.
GOURMET contient 7 lettres – toutes différentes. Il y a donc 7P7 différentes possibilités. 7P7= 7!/0! = 7 ! = 5040. Le signe sera donc composé de 5040 lignes pour ce mot et d’une ligne pour SUD. Les rangées pour GOURMET seront trop petites pour être lues.
Les arrangements possibles lorsque les lettres de l’un des deux mots sont brouillées et que les lettres de l’autre mot ne sont pas brouillées seront le produit de chacune des deux réponses ci-dessus, soit 40320 x 5040 = 203 212 800.
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