Les oiseaux d’amour se promènent jusqu’à la tour du réservoir d’eau

Balade nocturne un jour d’été

La plupart du temps, Sara et Johnny marchaient ensemble juste pour aller à l’école. À certaines occasions, ils aimaient aussi se promener le soir. C’était un de ces jours. La journée avait été chaude mais la chaleur était tout à fait supportable après le coucher du soleil. En fait, la brise fréquente le rendait très confortable. C’était la période de l’année où les arbres étaient verts et où il y avait des fleurs colorées. Sara a suggéré qu’ils devraient aller se promener jusqu’à la tour du réservoir d’eau de la ville. Le château d’eau était au centre de la ville et beaucoup de gens y allaient et aimaient simplement s’asseoir sur des bancs dans le parc à côté. Ce n’était pas si loin de chez Johnny et Sara. Même alors, Johnny a pris son nouveau vélo avec lui. Il aimait tellement le vélo et l’emmenait partout. Étonnamment, Sara avait une petite boîte à la main. Johnny se demanda ce que c’était et pourquoi elle le portait.

Johnny : Sara, qu’y a-t-il dans la boîte ?

Sara : En fait, la boîte appartient à mon père. Mon grand-père le lui a offert en cadeau quand mon père était adolescent. Mon père le chérit mais il m’a laissé l’emprunter pour aujourd’hui.

Johnny : Qu’est-ce qu’il y a dedans ? Le suspens me tue.

Sextant – un instrument pour mesurer les angles

Sara : La boîte contient un Sextant – un instrument que les ingénieurs civils utilisent pour mesurer les angles. Mon grand-père pensait que mon père pouvait le devenir. Au lieu de cela, mon père est allé pour le génie logiciel. C’était une bonne chose parce que c’est là qu’il a rencontré ma mère.

Johnny : Qu’est-ce qu’on va en faire ?

Sara : Nous l’utiliserons en regardant la tour du réservoir d’eau.

Johnny : Quelle est la hauteur du château d’eau ?

Sara : C’est l’une des choses que nous allons découvrir.

Johnny : Même si j’ai escaladé la tour, comment vais-je mesurer sa hauteur ? Je n’ai même pas de ruban à mesurer.

Sara : C’est pourquoi j’ai apporté le sextant de mon père. Allons à la base de la tour, puis éloignez-vous d’elle.

Johnny : Jusqu’où ?

Mesurer la hauteur de la tour

Sara : 150 mètres, vous pouvez le mesurer avec votre vélo de fantaisie.

Ils ont tous les deux continué à marcher jusqu’à ce que le vélo de Johnny indique qu’ils s’étaient déplacés de 150 mètres à l’ouest de la tour. Sara a mesuré deux angles à partir de là. L’un était l’angle entre la base de la tour et le sommet du réservoir d’eau. Elle a appelé cet angle X, et c’était 35°. Le deuxième angle qu’elle a mesuré était Y qui était du bas du réservoir d’eau à la base de la tour. Cet angle était de 30°. Sara les nota et ils continuèrent à profiter de la soirée. Johnny commençait à s’agiter. Comment pouvait-elle mesurer la hauteur de la tour avec ça, se demanda-t-il.

Ils sont retournés chez Sara où ils ont bu quelque chose, puis Sara a fait un dessin (Fig. 3.1). À ce moment-là, Johnny avait développé suffisamment de confiance en Trig pour comprendre le sens de cette image. Bientôt, il réalisa ce que Sara était en train de faire.

Johnny : Allons-nous utiliser les angles pour déterminer la hauteur de la tour ? Ça devrait être facile. Pour l’angle X, la hauteur du sommet de la tour divisée par la distance à la base sera tan X.

Sara : Oui, l’angle X = 35° et ma calculatrice indique que tan 35° vaut 0,7. Cela signifie donc que le rapport DC/AB (hauteur à la base) = 0,7.

Johnny : J’ai mesuré avec mon vélo que la longueur de la base (AB) était de 150 mètres. Cela signifie pour la hauteur DC, DC/150 = 0,7 ou DC = 105 mètres. Wow, la tour mesure 105 mètres de haut.

Sara : Oui, et vous l’avez compris sans vraiment l’escalader.

Capacité du réservoir d’eau

Johnny : Sans le réservoir, l’angle n’est que de 30° et tan 30° = 0,577. Ainsi, sans le réservoir, la tour ne mesurerait que 86,55 mètres (150 x 0,577) de haut. Ainsi, le réservoir ajoute une hauteur de 18,70 mètres à la tour. C’est un gros réservoir. Il peut contenir beaucoup d’eau.

Sara : Le réservoir ressemble à une sphère. Son rayon serait la moitié de sa hauteur, disons environ 9,35 mètres. J’ai vérifié en ligne que le volume d’une sphère est égal à 4πr3/3 où r est son rayon. Ce volume serait d’environ 3200 mètres cubes ou 3,2 millions de litres.

Johnny : C’est beaucoup d’eau. Je ne peux boire qu’environ 3 litres d’eau par jour. Il me faudrait un million de jours pour tout boire. Voici le site internet de la ville. Il répertorie le réservoir d’eau à 105 mètres de haut avec le réservoir. C’est ce que nous avons calculé. Il dit que le réservoir peut contenir 2,9 millions de litres d’eau.

Sara : Nous avons surestimé la capacité du réservoir car nous n’avons mesuré que les dimensions extérieures du réservoir et n’avons pas tenu compte de l’épaisseur de la paroi du réservoir.

Johnny : Cela signifie donc que nous pouvons mesurer la hauteur de n’importe quelle tour de cette façon – Statue de la Liberté à New York, C.N. Tower à Toronto, Tour Eiffel à Paris ou encore Qutab Minar à Delhi.

Sara : Oui, si on peut y aller avec le sextant de mon père et ton vélo. Cependant, nous pouvons certainement rechercher les hauteurs de ces lieux et estimer les angles à partir de différents endroits dans les villes en utilisant les distances de la carte entre eux.

Johnny pensait que cette idée de trouver des hauteurs pouvait s’appliquer à n’importe quoi – tours, falaises, gratte-ciel, montagnes, etc. Il était à la fois excité et impressionné par les nouveaux pouvoirs qu’il avait développés. Il découvrit chez lui que le livre soutenait amplement cette pensée. Il en a parlé à son père, d’autant plus que l’entreprise de son père a construit de grands bâtiments. Il y avait beaucoup de questions dans le livre utilisant ces idées. Il a fait beaucoup plus de questions de ce type dans les prochains jours. Oui, en tant que génie du Trig, il était en avance sur les leçons enseignées dans la classe. De nombreux camarades de classe sont venus voir Johnny pour demander de l’aide pour leurs devoirs Trig. C’était une nouvelle expérience pour lui.

Défi : conception de l’aéroport

La ville de Crapstone ne possède pas d’aéroport et souhaite en concevoir un sur le seul terrain qui lui est disponible au nord de la ville. Une piste ne peut pas être conçue dans le sens est-ouest en raison de nombreux problèmes géographiques et, par conséquent, une piste nord-sud doit être envisagée. La ville compte plusieurs immeubles de grande hauteur à 3 kilomètres de l’extrémité sud de la piste possible – le plus haut mesurant 100 mètres de haut. Le nord de l’aéroport est hors de question à cause d’une montagne. Serait-ce un problème étant donné que l’angle de descente lors de l’atterrissage est de moins 3° et que l’angle de montée est prévu à 8° ?

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Solution : Tracer un triangle rectangle partant de l’extrémité sud de la piste (A) jusqu’au bâtiment de 100 mètres de haut (BC) à risque à 3 km (3000 mètres) (Fig. 10.4).

Soit : AB = 3 km = 3000 mètres.

Question : Quelle est la valeur de l’angle de CAB (x) ?

tan x = BC/ AB = 100/3000 = 0,0333. Arctan (.03333) = 1,91° soit moins de 3° ou 8°. La hauteur de l’avion en B sera de 3000 x tan (3°) = 157,2 mètres pendant la descente et

3000 tan (8°) = 421,6 mètres en montée.

Les avions ne s’écraseront pas sur le bâtiment lors de la montée ou de la descente.

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