L’histoire de Nana au coucher pour Sara

Sara voulait une histoire pour l’heure du coucher

Sara était vraiment attachée à sa grand-mère Shanti. Elle l’appelait Nana depuis qu’elle avait pu dire ses premiers mots. Nana racontait souvent une histoire ou chantait une berceuse avant que Sara ne dorme. Même lorsque Sara est devenue adolescente, elle insistait parfois pour que Nana lui raconte une histoire avant de s’endormir. C’était un de ces jours.

Sara : Nana, raconte-moi une histoire s’il te plait, une longue s’il te plait.

Nana : Une histoire sur quoi ? Sara, je t’ai raconté toutes les histoires que je connais.

Sara : N’importe quoi. Raconte-moi une histoire sur toi quand tu étais une petite fille vivant en Inde.

Nana : Une longue histoire sur moi quand j’étais petite fille – laissez-moi réfléchir. Bon, je vais vous raconter une histoire. C’est quand même drôle. Ma mère m’en a dit la plus grande partie.

Sara : J’adore les histoires drôles. S’il vous plaît, dites-le moi déjà.

Histoire quand Nana était petite

Nana : Notre famille n’était ni très riche ni très pauvre quand je suis née. Nous avions de quoi vivre. Nous avions aussi un parent nommé Shah. C’était un cousin de ma mère Sheela. Je l’ai appelé oncle quand j’ai commencé à parler. Il a vécu aux États-Unis. Chaque fois qu’il venait nous rendre visite, il se vantait d’être très riche. Ma mère m’a dit que l’oncle Shah était chez nous quand je suis née.

Shah : Sheela, je suis content que tu m’aies donné une nièce. Je veux lui faire un gros cadeau.

Sheela : Votre présence parmi nous à cette occasion est un grand cadeau pour nous.

Shah : Sheela, s’il te plaît, laisse-moi lui offrir un cadeau. Comment ça sonne 10 000 $?

Sheela : Je ne veux pas que vous donniez 10 000 $, vantez-vous-en de temps en temps et oubliez-nous ensuite. Non, ce n’est pas bien.

Shah : Et si je lui donnais 1 000 $ chaque année pendant les 10 prochaines années ?

Sheela était très intelligente et a dit à son oncle : je vais vous dire quoi, donnez-lui juste un dollar.

Shah : Un dollar ! C’est une insulte à Shanti.

Donnez-lui 1 dollar maintenant et doublez-le chaque année

Sheela : D’accord alors. Donnez-lui un dollar maintenant, puis doublez-le l’année suivante.

Shah : Est-ce que cela signifie deux dollars par an à partir de là ? C’est trop peu.

Sheela : Dieu vous donne toute la richesse. Si c’est trop peu, continuez à le doubler chaque année tant que vous et Shanti vivez.

Shah : Même après son mariage ?

Sheela : Vous ne voulez pas rompre la relation avec elle après son mariage, n’est-ce pas ?

Chah : Je suis désolé. Je lui donnerai le double du montant chaque année tant que Shanti et moi serons en vie.

Sheela : N’oublie pas ta promesse. Que Dieu vous donne de plus en plus afin que vous puissiez tenir votre généreuse promesse.

Oncle Shah ne pensait pas que le cadeau était très généreux étant donné que sa fortune était d’environ un milliard de dollars. Je ne sais pas si mon père était content ou en colère que ma mère n’ait pas pris les 10 000 $ en cadeau de l’oncle Shah. Il ne m’a jamais dit ça.

On me dit que l’oncle Shah m’a donné un dollar et a promis de venir l’année prochaine. Ma mère m’a acheté une tirelire et y a mis ce dollar.

J’avais un an quand il est venu la fois suivante. Je venais de commencer à parler. J’ai joué avec lui et je l’ai appelé mon oncle. Il était très heureux. Il m’a donné deux dollars avant de partir. Maintenant, ma tirelire avait trois dollars – un dollar d’avant plus les deux qu’il m’a donnés le jour de mon premier anniversaire.

L’année suivante, il n’est pas venu mais il m’a envoyé quatre dollars, soit le double de la fois précédente. Je n’avais que deux ans.

Oncle Shah est revenu chez nous quand j’avais trois ans. À ce moment-là, j’ai commencé à comprendre qu’il tenait à moi. J’ai dansé autour de lui toute la journée et j’ai bavardé avec lui. Encore une fois, il m’a donné 8 dollars, soit le double du montant qu’il m’avait donné la dernière fois.

Ensuite, il n’est pas venu pour mes trois anniversaires suivants, mais il a tenu sa promesse. Il m’a envoyé 16, 32 et 64 dollars pour chacune des trois années. Je ne savais pas grand-chose mais ma mère pensait que c’était beaucoup d’argent pour un enfant de 6 ans. Elle m’a dit de ne rien dire à mes amis car ils seraient jaloux et pourraient commencer à me détester.

J’ai entendu ce que ma mère a dit et je suis sorti jouer au stapu avec un de mes amis. Stapu est ce que vous appelez la marelle.

Vous savez, j’avais appris à additionner et à soustraire à cette époque. Je suis rentré à la maison et j’ai commencé à réfléchir. Oncle Shah m’a donné 64 $. A présent, je pouvais calculer ce qu’il me donnerait l’année suivante.

Il m’a donné 128 $, 256 $ et 512 $ lors de mes trois prochains anniversaires. Ici, j’avais 9 ans et ma tirelire était bien plus que pleine. Ma mère n’a pas placé l’argent dans une banque parce que notre banque locale ne traitait pas en devises étrangères. Elle a décidé de mettre l’argent dans ma taie d’oreiller. Ma taie d’oreiller avait tout cet argent et mon oreiller. J’avais l’habitude de dormir avec tout l’argent chaque nuit. Pouvez-vous croire cela (rires) ?

Elle a gardé 8191 $ dans sa taie d’oreiller

Oncle Shah a tenu sa promesse et m’a donné 1 024 $, 2 048 $ et 4 096 $ au cours des trois prochaines années. J’avais maintenant 12 ans – un préadolescent comme vous pourriez dire. J’ai tout compté et j’avais 8191 dollars dans ma taie d’oreiller.

Ma mère a décidé que c’était trop d’argent pour être gardé à la maison. Elle a demandé à mon père de prendre des dispositions. Mon père et moi sommes allés dans une grande ville voisine où mon père a ouvert un compte en dollars américains. Il y a déposé l’argent. La banque ne nous donnerait aucun intérêt sur les devises étrangères. Il pensait toujours que c’était mieux ainsi car une grosse somme d’argent à la maison pouvait attirer des voleurs et ce serait risqué pour nos vies.

Rappelez-vous, à mon prochain anniversaire, j’aurais treize ans. On me dit que je commençais à m’épanouir. J’ai fièrement envoyé ma photo le jour de l’anniversaire à l’oncle Shah. Il m’a envoyé l’argent promis qui était de 8192 $. Mon père l’a déposé à la banque avec l’argent d’avant. Seul mon père a géré tout l’argent. Je n’étais même pas assez vieux pour avoir un compte joint avec lui.

J’ai entendu ma mère et mon père parler d’oncle Shah. Il semble que sa femme, tante Rose, devenait suspecte parce que l’oncle Shah donnait régulièrement tant d’argent à une jeune fille. J’ai même entendu dire que son mariage pouvait être en péril à cause de cela. J’ai dit à ma mère que je me sentais coupable.

Shah donnait régulièrement beaucoup d’argent à une jeune fille

Oncle Shah et tante Rose sont venus chez nous le jour de mon quatorzième anniversaire. Il y avait une grande fête d’anniversaire. Beaucoup de mes amis et certains de nos parents ont été invités. Après le départ des autres, l’oncle Shah m’a remis le prochain montant doublé qui était une grosse somme de 16384 $. J’ai refusé de le prendre parce que je me sentais déjà coupable. Je lui ai dit de le garder. Il s’est mis très en colère et a commencé à parler à ma mère.

Shah : Sheela, qu’est-ce que c’est ? Je pensais que nous avions un accord.

Sheela : Je ne veux plus garder cet accord. Vous lui en avez déjà assez donné.

Chah : Pourquoi donc ?

Sheela : Je pense que votre femme se sent mal à l’aise que vous donniez une grosse somme d’argent à ma belle jeune fille.

Shah : Je vois où cela mène. D’accord, acceptez-le cette dernière fois et pas plus à partir de l’année prochaine.

Tante Rose : Sheela. Ne lui brisez pas le cœur. Dites à Shanti de garder l’argent. Nous pouvons facilement nous le permettre. De plus, je ne me sens pas mal à l’aise.

Sheela : D’accord Rose. Ce serait la dernière fois, et cela aussi à une condition. Pas Shah mais vous remettez l’argent à Shanti pour que cela ne lui semble pas gênant. Tante Rose est alors venue vers moi, m’a fait un gros câlin et l’argent.

Je me suis marié à l’âge de 16 ans et j’ai gardé cet argent dans un autre compte bancaire où ils payaient des intérêts. J’ai encore tout. Je ne le dépense pas parce que ta mère et ton père me donnent assez pour toutes mes dépenses.

Sara a dit à Nana qu’elle devait être une très belle fille pour que tante Rose devienne jalouse. Les souvenirs de cette adolescence ont fait monter les larmes aux yeux de Nana. Sara s’est endormie mais n’arrêtait pas de rêver de l’histoire de Nana au coucher.

Sara a raconté l'histoire à son petit ami

Le lendemain matin, elle se rendit à l’école avec son petit ami Johnny. Elle lui raconta l’histoire. Ce serait un euphémisme de dire que Johnny était dépassé. Après l’école, ils sont allés chez Johnny pour une courte période. Ils adoraient être ensemble.

 Johnny : Est-ce que l’oncle Shah est toujours en vie ?

Sara : Non, il est mort il y a vingt ans.

Johnny : Donc ça veut dire que Nana avait 40 ans à l’époque. Je me demande combien il l’aurait payée l’année dernière si tante Rose ne s’était pas fâchée contre lui, et s’il avait continué à donner l’argent en doublant chaque année. Vous avez dit qu’il avait donné 16384 $ à Nana lorsqu’elle avait 14 ans. Cela signifie qu’il a doublé le montant d’un dollar 14 fois.

Exposants croissants

Sara : Ma mère m’a expliqué que la meilleure façon de comprendre cela est une fonction exponentielle f(t) = a^t qui “a” comme base et la puissance t, Dans ce cas, la base est 2 qui est le rapport par lequel elle augmente avec la puissance t qui est le nombre d’années. Ainsi f(14) = 2¹⁴. Il lui a donc donné 2¹⁴ $ quand elle avait 14 ans et lui aurait donné f(40) = 2⁴⁰ dollars quand Nana avait 40 ans. Selon mes calculs, cela aurait été 1 099 511 627 776 $.

Johnny : C’est beaucoup d’argent. C’est plus d’un millier de milliards de dollars. Aucun des hommes les plus riches n’a autant d’argent. N’importe lequel des hommes riches n’a que moins de cent milliards. Cela signifie que si tante Rose ne s’était pas fâchée, oncle Shah aurait rompu sa promesse. Wow! Donc, oncle Shah, tenir sa promesse n’était qu’un fantasme. Tant que nous faisons cela, pouvons-nous fantasmer qu’il est resté en vie et qu’il aurait continué à payer Nana même maintenant, alors qu’elle a 60 ans. Combien devrait-il payer cette année ?

Sara : Notre livre d’algèbre a cette loi pour les exposants. Elle dit que aⁿ x ​​a^m = a^(n+m).

 Comme 60 = 20 + 40, on pourrait écrire m = 40 et n = 20 et m + n = 60.

Alors 2⁶⁰ = 2⁴⁰ x 2²⁰

Nous savons que 2⁴⁰ = 1 099 511 627 776 $. Ma calculatrice dit que 2²⁰ = 1 048 576. Nous pouvons simplement multiplier ces deux nombres en utilisant mon ordinateur.

Alors 2⁶⁰ $ = 1 099 511 627 776 $ x 1 048 576. Ce serait plus d’un million de milliards de dollars.

Johnny : Je ne pense pas que ma calculatrice puisse gérer ce genre de multiplication et me donner une réponse exacte. Je suis impressionné.

Sara : Voici quelque chose qui vous impressionnerait encore plus. Nous aurions pu faire tout cela sans utiliser de calculatrice. Vous savez que 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32. J’ai multiplié 32 par 32 sur une feuille de papier et j’ai obtenu 1024. Ainsi, 2¹⁰ = 1024, soit environ 1000.

Jonny : Je vois où tu veux en venir. Vous allez utiliser la règle aⁿ x a^m = a^(n+m). En utilisant six fois la même règle pour les exposants, vous écrivez cela parce que 60 =10 + 10 +10 +10 +10 +10,

2⁶⁰ = 2¹⁰ x 2¹⁰ x 2¹⁰ x 2¹⁰ x 2¹⁰ x 2¹⁰ ou environ 1 000 x 1 000 x 1 000 x 1 000 x 1 000 x 1 000 = 1 000 000 000 000 000 000, soit environ 1 099 511 627 776 $ x 1 048 576. C’est bien. Je n’ai jamais pensé à faire comme ça.

Johnny s’arrêta un instant puis dit : Tout ça, c’est de la fantaisie, de toute façon. Je veux dire que l’oncle Shah a eu la gentillesse de dire qu’il donnerait le quadruple de l’argent pour Nana chaque année au lieu de le doubler. Combien d’années lui faudrait-il pour atteindre le même montant qu’il a donné en doublant l’année 14 ?

Sara : Voici une autre règle de notre livre que nous pouvons utiliser. (aⁿ)^m = a^nm . Nous savons que 4 = 2².

Johnny : C’est gentil. Nous pouvons dire (2²)^m = 2^2m ou 4^m = 2^2m or 4⁷ = 2^{2 x 7}. Cela signifie que l’oncle Shah aurait donné à Nana le même montant par la règle du quadruplement après 7 ans qu’il l’a fait après 14 ans par la règle du double.

Johnny était content de comprendre cela mais pas tout à fait satisfait, et a dit : C’était trop facile parce que nous savons que 2² = 4. Alors laissez-moi vous demander combien d’années lui faudrait-il pour atteindre le même montant s’il devait donner le triple le montant chaque année. Alors, comment utilisons-nous cette règle d’exposant là-bas?

Sara : Je suppose que nous utilisons la même règle. (an)m = anm mais nous devons d’abord résoudre pour 2ⁿ = 3. Nous pourrons expliquer comment résoudre n dans ce cas plus tard, mais voyons si la règle fonctionne. Je vais vérifier si quelqu’un sur Internet nous donne cette valeur.

 Ici, c’est 2^1.584963 = 3.

Alors 2¹⁴ = (2^1.584963)^m = 2^1.584963m or 1.584963m = 14 or m =14/1.584963 = 8.833. Cela signifie que cela aurait pris 8,833 ans mais parce qu’il ne lui a donné l’argent que le jour de ses anniversaires, cela signifierait qu’il lui aurait donné moins de 2¹⁴ le 8e anniversaire et plus que cela le 9e. Hé, cela semble juste car ce nombre se situe entre 7 et 14 ans.

Johnny : Tout cela était amusant, mais qu’est-ce que les exposants ont à voir avec la réalité ?

Sarah : Johnny. Je pense qu’il est temps d’appeler ça le jour. Pourquoi ne pas feuilleter notre livre d’algèbre ? Je parlerai aussi à ma mère et à mon père. On pourra en parler une autre fois.

            Sur ce, Sara rentra chez elle mais ils se retrouvèrent le lendemain.

Sara : Johnny, j’ai parlé à mes parents et j’ai regardé dans notre livre d’algèbre. Il existe de nombreuses applications des fonctions exponentielles dans la vie réelle. Ils sont utilisés pour les études de population, y compris la population bactérienne dans les lacs, et dans les études de désintégration radioactive. Cependant, l’application la plus importante est en mathématiques financières. Vous savez comment ils parlent de taux d’intérêt simples et composés. Par exemple, si vous déposez l’argent dans une banque pendant deux ans et que cela vous donne un taux d’intérêt de 10 %. En écrivant un montant de 1 pour le principal et de 0,1 pour les intérêts par an, pour le taux d’intérêt simple, le montant passera à 1 + 0,1 x 2 ou 1,2 mais avec le taux d’intérêt composé, il deviendra 1,12, soit 1,21. Les écarts s’agrandissent avec le nombre d’années. Comme, ma Nana a mis 1000 $ dans un dépôt à long terme à un taux d’intérêt de 10% par an et je peux l’encaisser quand j’aurai 18 ans. Avec le taux d’intérêt simple, cela aurait atteint 1000 + 1000 x 18 x 0,1, soit 2800 $ mais avec le taux d’intérêt composé sera de 1000 x 1.1¹⁸, soit environ 5600 $. C’est une grande différence.

Johnny : Oui, c’est une grande différence. Je suppose que c’est pourquoi les hypothèques coûtent cher.

Sara : Les économistes utilisent également des fonctions exponentielles pour étudier l’inflation. Donc, je suppose que Nana m’a raconté une bonne histoire pour s’endormir.

Défi

Tom et Melissa se fréquentaient en secret et ne voulaient pas que quiconque le sache. Par erreur, Melissa vient d’en parler à Chatty Maddie à l’école à 9 heures du matin. Elle n’avait pas réalisé que Maddie était une machine à rumeurs. En moins d’une heure, Maddie en avait parlé à trois de ses amis. Ces amis ont également aimé partager la rumeur et chacun d’eux en a parlé à trois de leurs amis dans l’heure qui a suivi. La machine à rumeurs a continué de fonctionner de la même manière. Selon vous, combien de personnes étaient au courant à 15 heures lorsque Melissa a quitté l’école pour rentrer à la maison ?

Solution : A 9 heures du matin, lorsque Melissa a dit à Maddy, seules 3 personnes étaient au courant – Tom, Melissa et Maddy. Appelons-le le temps zéro. À 10 h 00, heure 1, 3 personnes de plus étaient au courant, appelons cela 3 x 3¹. Maintenant, à 11 h 00, heure 2, le nombre de personnes qui étaient au courant est passé à 3 x 3². À ce rythme à 15 heures, ce qui serait l’heure 6, le nombre de personnes qui s’attendaient à le savoir était de 3 x 3⁶, soit 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3. Maintenant, parce que 3 x 3 x 3 = 27, vous pourrait rapidement calculer que 3 x 27 x 27 personnes étaient au courant. Cela donne 2187. Eh bien, vous savez combien d’élèves il y a dans votre école. Pensez-vous que la rumeur s’est également propagée à l’extérieur de votre école ? Pouvez-vous imaginer que cela se passe pendant une journée complète, soit 24 heures ? Comprenez-le. Je pense que même la machine à rumeurs de Chatty Maddy devrait ralentir car il n’y a pas beaucoup de monde dans ce monde.

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