McLinton Road

Opérations inverses

Les examens étaient terminés et il n’y avait pas de cours. Sara et Johnny ont dû attendre une semaine avant que leurs emplois d’été ne commencent. Sara a demandé à Johnny s’ils pouvaient aller se promener. Johnny a accepté facilement et ils sont allés dans un parc voisin. C’était relativement calme et ils parlaient et parlaient de tout. Au moment de partir, Sara lui a demandé de venir chez elle. Chez Sara, ils ont grignoté des collations que Nana leur avait préparées.

 Sara a alors soudainement demandé à Johnny s’il savait qu’en mathématiques, la plupart des opérations ont des contraires. Johnny a donné plusieurs exemples comme la soustraction par rapport à l’addition, la division par rapport à la multiplication, le sinus d’un angle par rapport à l’angle pour le sinus inverse (arc sinus) et ainsi de suite. Puis il lui a demandé pourquoi elle avait soulevé cela.

Sara : Nous allons prendre Calculus 2, et la conversation d’hier avec ta mère m’a rappelé que nous devrions commencer à travailler dessus.

Johnny : Je me souviens de ce que tu as fait pour lui remonter le moral. Maman regardait une diminution du nombre d’heures qu’elle et papa ensemble par an et vous avez additionné au fil des ans et montré comment leur temps total passé ensemble augmentait. C’était intelligent. C’était comme dire la distance totale que j’ai parcourue avec mon vélo dans une course plutôt que la vitesse.

Calcul 1 – dérivés, Calcul 2 – anti-dérivés

Sara : Souvenez-vous que dans Calculus 1, nous avons appris les produits dérivés qui vous ont donné les taux. Dans Calculus 2, nous allons en apprendre davantage sur les primitives. En calcul, la différenciation consiste à obtenir des taux, mais l’intégration consiste à obtenir des anti-dérivés, ce qui revient à additionner ou à obtenir des aires sous les courbes.

Johnny : C’est ça. Vous faites ce son très simple. Tout ce que vous avez fait hier a été d’ajouter le nombre d’heures par an sur chaque année pour obtenir les sommes cumulées. Vous venez d’écrire cette série pendant un nombre d’années différent, puis vous avez simplement résumé. Par exemple:

Heures cumulées dans l’année de leur rencontre et les 4 années suivantes = Heures dans l’année 0 + heures dans l’année 1 + heures dans l’année 2 + heures dans l’année 3 + heures dans l’année 4.

J’ai vu ça quelque part en algèbre où ils ont résumé une série et l’ont écrit comme suit :

_i=n

∑ h  dans l’annéei = h dans l’année 0 + h  dans l’année 1 + h  dans l’année 2  …..+ h dans

ⁱ⁼⁰

année n.
             

Sara : Vous pouvez aussi le faire pour votre course de vélo, et aussi pour à peu près n’importe quoi. Ce sont des exemples de sommation de valeurs discrètes. N’oubliez pas que nous avons parlé de fonctions et de continuité. L’intégration consiste davantage à additionner les valeurs de fonctions continues pour obtenir des aires sous les courbes. Vous souvenez-vous du chemin McLinton ?

Johnny : Oui, c’était courbé. La courbure de cette route était y = x²/10 et nous avons dit que cela signifiait que la pente de la courbure était x/5 (voir l’histoire Dinner Date).

Sara : Si nous connaissions seulement la pente de la courbure, nous pourrions écrire l’équation de courbure comme étant

y = ∫ pente dx = ∫ (x/5) dx = x²/10 + constante, ici ∫ est le symbole de l’intégrale ou de la primitive. Donc en différenciation on est passé de la courbe à la pente et en intégration on revient en arrière. La seule chose est que nous ne savons pas s’il y avait une pente même à x = 0 et ce taux ne fait qu’ajouter à cette pente. Nous avons donc ajouté une constante à l’intégrale.

Johnny : Je me souviens aussi que v = ds/dt où v est la vitesse et s est la distance.

Sara ; Cela signifie que vous pouvez aussi écrire s = ∫vdt. Ici, le symbole ∫ est pour une intégrale qui est la même qu’une anti-dérivée. Cependant, il y a un problème. Ce type d’intégrales a sont des intégrales indéfinies car nous n’avons fixé aucune période de temps. Cette intégrale inclut toute la distance parcourue sauf mention contraire. Rappelez-vous que la dérivée d’une constante est nulle.

Par conséquent, pour une intégrale indéfinie, nous écrivons

 s = ∫vdt + c où est une constante.

Johnny : D’accord, j’ai compris. À partir de ce que nous avons fait en Calcul 1, nous pouvons également dire quoi faire en Calcul 2.

dx3/dx = 3x². Donc ∫3x² = x³ + c,

d(ax²+bx+c)/dx = 2ax + b. Donc ∫(2ax + b)dx = ax²+bx+c,

d (sin x)/dx = cos x. Donc ∫(cos x)dx = sin x + c.

Je pourrais passer à côté de tout ça. Est-ce tout?

Sara : Lover boy, tu es vif. Embrasse-moi.

Johnny l’a embrassée puis a demandé à Sara : Vous avez dit que c’étaient des intégrales indéfinies, y en a-t-il d’autres ?

Sara : Je vois que tu écoutais. Oui, il y a aussi les intégrales définies.

Après cela, il a dû partir parce que son père voulait qu’il rentre à la maison. Sara a également eu une séance de bavardage avec Nana. Plus tard, elle a raconté à sa mère sa conversation de la veille avec la mère de Johnny.

Johnny a rappelé Sara le lendemain. Hé, il n’y avait pas d’école ! Johnny est allé chez Sara.

Sara a dit : Disons que vous faisiez du vélo sur la route McLinton et que vous vouliez savoir à quelle distance vous alliez vers le nord lorsque vous parcouriez vers l’ouest de 5 km à 10 km. Ensuite, vous utiliserez les intégrales définies. Rappelez-vous, pour l’intégrale indéfinie, nous avons écrit

y = ∫ pente dx = ∫ (x/5) dx = x²/10 + c

Pour intégrale définie vous écrivez

Pour intégrale définie vous écrivez

10

∫ (x/5)dx = (x²/10 + c lorsque x=10) – (x²/10 + c lorsque x=5)

5

En cela, le terme c s’annulera pour devenir (x²/10 à x=10) – (x²/10 à x=5)

soit 100/10 – 25/10 = 7,5 kilomètres (voir photo).

Johnny : Wow, je dois vérifier avec mon vélo. N’oubliez pas qu’avec le vélo, je peux mesurer les distances vers l’ouest et vers le nord. Je vous parie que la valeur de cette intégrale définie est beaucoup plus élevée pour les 5 prochains kilomètres.

15

∫ (x/5)dx = (x²/10 at x=15) – (x²/10 at x=10) = 225/10 -100/10 =12.5 km.

10

C’est chouette. Je vais vérifier les intégrales pour quelques fonctions supplémentaires.

Sara : Nous n’avons pensé à l’intégrale que pour déterminer la distance parcourue dans le temps si nous connaissions la vitesse. L’intégration peut également être utilisée pour déterminer l’aire sous une courbe, le volume d’un cube, d’une sphère, d’un cône, d’un cylindre, etc. Je suppose que nous verrons de nombreux autres exemples d’applications d’intégrales dans notre cours.

Cela a mis fin à la journée et les deux sont rentrés chez eux.

Blague sur le calcul

John et Jim étaient dans un restaurant lorsqu’ils ont commencé à se disputer. John a dit: “La plupart des gens connaissent suffisamment les mathématiques pour se débrouiller”, mais Jim n’était pas d’accord.

Peu de temps après, Jim est allé aux toilettes. John a appelé la serveuse, lui a donné un pourboire de dix dollars et lui a dit: “Quand mon amie viendra, je te poserai une question et je dirai simplement x cube.”

Jim est revenu. John a appelé la serveuse et lui a demandé : « Quelle est l’intégrale de trois x carré ?

La serveuse a dit “x cube” et a commencé à s’éloigner.

Après quelques pas, elle se retourna, sourit et dit : « Plus une constante !

Défi distance à vélo

Johnny peut faire du vélo avec la vitesse V(t) = 1 + 4t + 10t² mètres/minute où t est le temps depuis son départ. Quelle distance peut-il parcourir dans les 10 premières minutes ?

Solution          V(t) = ds/dt = 1 + 4t +10t² mètres /minute.

La distance parcourue dans les 10 premières minutes sera

10

∫ (1 + 4t +30t²)dt = (t + 2t² + 10t³ at t =10) -= (t + 2t² +10t³ at =0)

0

=(10+200+10000) – 0 =10210 mètres où 10.21 kilomètres.

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