Introduction aux équations quadratiques
Mme Clementine : Kwong, maintenant que vous avez fait ressortir le concept d’une relation quadratique dans votre projet d’expo-sciences, peut-être que toute la classe devrait l’apprendre. J’allais l’enseigner plus tard, mais cela semble être le bon moment. Parce que, la classe a déjà participé à cette enquête, peut-être que tout le monde peut aussi en parler. Sara, voudriez-vous donner à la classe une idée de base d’une relation quadratique ?
Sara : Je peux essayer, mais seulement l’idée de base.
Mme Clementine: S’il vous plaît, venez devant alors.
Sara a dit : “Salut tout le monde. Comme vous tous, je dois encore apprendre ce domaine. Vous souvenez-vous quand nous avons appris la relation linéaire y = a + bx ? Par exemple, lorsque vous marchez, votre position dépend de où vous avez commencé et à quelle vitesse vous marchez multiplié par combien de temps vous avez marché. Je pense que tout le monde en classe s’en souvient.
Ce n’est pas toujours aussi simple. Toutes les relations ne sont pas linéaires. Kwong vous a montré un graphique courbe. Supposons que les élèves puissent faire bon usage des téléphones pour apprendre. Peut-être qu’en utilisant les téléphones intelligents, ils peuvent obtenir plus de ressources pour apprendre ou peut-être s’expliquer les uns les autres. On s’attendrait alors à un effet positif de l’utilisation du téléphone portable sur les universitaires. Mais alors, quelqu’un pourrait dire que le temps que vous passez au téléphone est soustrait à votre temps d’étude. Si tel est le cas, l’utilisation du téléphone réduira votre temps d’étude ou la quantité d’attention que vous pouvez accorder à vos études. L’utilisation excessive du téléphone aura des résultats négatifs comme Mme Clémentine l’a fait remarquer à la classe. Avec une équation quadratique, vous seriez capable d’expliquer les deux effets ensemble. Il aura la forme générale de y = ax2 + bx + c. Dans l’exemple de Kwong, c’était y = -2,4x2 +9,6x + 76,8. Je suppose que Mme Clémentine nous en apprendra plus à ce sujet.
Mme Clémentine : Tout le monde, vous savez qu’une fonction quadratique s’écrit y = ax2 + bx + c. Typiquement, on vous demandera de déterminer les valeurs de x lorsque
ax2 + bx + c = 0.
Résolution des équations quadratiques
Je peux penser à quatre façons différentes de résoudre l’équation : tracer un graphique, factoriser, compléter les carrés et utiliser la formule quadratique. Chaque méthode sera présentée par un groupe différent d’étudiants. Le cours suivant portera sur les deux premières méthodes, et le cours suivant portera sur les troisième et quatrième méthodes. Après cela, un groupe présentera le concept de sommet. Les autres étudiants viendront préparés à rendre compte des relations quadratiques dans quelque chose de leur expérience ou de leur intérêt. Je posterai la liste des étudiants et leurs sujets.
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Mme Clementine : Faisons la présentation du premier groupe. Kathy : Nous avons utilisé l’équation de Kwong pour les performances académiques par rapport à l’utilisation du smartphone, comme le montre cette image. Parce que nous voulions résoudre l’équation -2,4x2 +9,6x + 76,8 = 0, nous avons tracé un graphique continu sur plus de valeurs et sur un plus grand domaine de x que Kwong nous avait montré (Fig. 7.3). Nous avons ensuite recherché les valeurs de x où y =0. Le graphique a montré que y = 0 lorsque x = -4 ou x = +8. Utiliser le téléphone moins de 4 heures par jour n’avait aucun sens. Les marques négatives dans les graphiques n’avaient aucun sens pour nous non plus. Par conséquent, nous avons conclu qu’il est possible d’obtenir une note moyenne de zéro si vous utilisez le téléphone pendant 8 heures par jour. Quand mangez-vous, dormez-vous, jouez-vous à des jeux et étudiez-vous si vous utilisez le téléphone 8 heures par jour ?
Mme Clémentine : Merci pour une présentation claire. Le groupe 2 est le suivant.
Joe : Nous avons aussi résolu l’équation de la fonction quadratique de Kwong mais par factorisation. L’équation quadratique était -2,4x2 + 9,6x + 76,8 = 0. Au début, nous étions perplexes quant à la façon de factoriser cette équation avec toutes les décimales, mais quelqu’un nous a ensuite aidés. Merci Sara. Sara nous a dit que le problème devient très facile si nous divisons les deux côtés de l’équation par -2,4. Ce faisant, l’équation est devenue x2 – 4x -32 = 0. Maintenant, 32 = 4 × 8. Aussi 8 – 4 = 4, et 4 est le moyen terme à gauche. Par conséquent, l’équation factorisée devient (x-8) (x+4) = 0. Cela signifie soit
x – 8 = 0 ce qui donne x = 8 ou x + 4 = 0 ce qui donne x = -4. Nous avons donc obtenu la même réponse que le premier groupe mais nous n’avons pas beaucoup réfléchi à la signification des valeurs négatives de x.
Mme Clémentine : Très bien. Vous avez la même réponse pour la même équation. Je vais vous donner une feuille avec 6 équations différentes. Chacun doit les faire selon les deux méthodes présentées par Kathy et Joe, et remettre les réponses au cours suivant.
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Groupes 3 et 4 présentés au cours suivant.
Jonathan : Nous lisons dans le livre que, en complétant le carré, l’idée est de réorganiser les termes de l’équation quadratique de sorte que vous n’ayez qu’un seul terme contenant x et que l’autre terme soit une constante. Comme l’autre groupe, nous avons également divisé l’équation de Kwong par -2,4. Cela a rendu les choses beaucoup plus faciles. Ensuite, nous avons eu x2 – 4x -32 = 0. Nous avons donc commencé à penser à travailler avec x2 – 4x pour créer un terme au carré.
Nous avons dit que (x – 2)2 = x2 – 4x + 4. Par conséquent, x2 – 4x = (x -2)2 – 4.
Par conséquent, nous avons réécrit x2 – 4x -32 = 0 comme (x – 2)2 = 32 + 4 = 36.
Cela nous a donné x -2 = ±√36 ou x – 2 = ± 6. Cela nous a donné x = -4 ou +8. Même réponse que les autres groupes.
Mme Clémentine : Très bien. Vous avez la même réponse que les autres. Maintenant, le groupe 4 présentera.
Sara : Nous étions censés dériver la formule généralisée pour résoudre les équations quadratiques. Notre groupe a utilisé la même méthode que le groupe 3 – complétant le carré.
L’équation générale est ax2 + bx + c = 0. Comme les autres groupes, nous avons divisé les deux côtés par a, pour obtenir : x2 /a + xb/a + c/a = 0 ou x2 /a + xb/a = – Californie.
Ensuite, nous avons complété le carré en ajoutant (b/2a)2 des deux côtés.
Cela nous a donné x2 /a + xb/a + (b/2a)2 = – c/a + (b/2a)2 ce qui revient au même que :
(x + b/2a)2 = – c/a+(b/2a)2.
En prenant la racine carrée des deux côtés, on obtient :
x + b/2a = ±√(- c/a+(b/2a))2 = ±(√(b2-4ac))/2a
Cela nous a donné x = (-b ± (√(b2-4ac)))/2a
Dans cette méthode, vous pouvez simplement écrire les valeurs de a, b et c et obtenir les valeurs de x lorsque y = 0.
L’équation de Kwong est -2,4x2 + 9,6x + 76,8=0. Nous avons utilisé : a = -2,4, b = 9,6 et c = 76,8 et obtenu la réponse x = 2 ± 6. Surprise, surprise. C’est la même réponse que tout le monde.
Mme Clémentine : Très bien. Sara, vous avez rendu cette dérivation très simple.
Carmen a levé la main : que se passe-t-il lorsque b2 – 4ac est négatif ?
Mme Clémentine : On reprendra cette question dans un autre cours. Veuillez patienter jusque-là.
Bon cours, rappelez-vous la feuille que je vous ai donnée avec 6 équations différentes dans le dernier cours. Chacun doit les résoudre selon les méthodes montrées par Jonathan et Sara, et remettre les réponses au cours suivant.
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Sommet
Mme Clementine : La présentation du groupe 5 va commencer maintenant.
Jun : Je suis Jun et je parlerai au nom du groupe 5. Vous avez tous vu le graphique passionnant de Kwong qui correspondait à l’équation y = -2,4x2 + 9,6x + 76,8.
Tout le monde a résolu pour x quand y = -2,4x2 + 9,6x + 76,8 = 0.
Je sais que je ne veux pas obtenir une moyenne pondérée cumulative de zéro, ce qui est y ici. Je veux obtenir la meilleure note possible. Donc assez de résolution pour y = 0 (elle l’a dit d’une manière provocante).
Le groupe 1 nous a donné un graphique dans lequel la valeur y augmente d’abord, puis commence à diminuer. Dans ce graphique, il y a une valeur de x à laquelle il n’y a ni augmentation ni diminution de y. C’est ce qu’on appelle le sommet.
Dans le graphique, ce pic se produit à x = 2. Maintenant, si x = 2, la valeur de y devient -2,4 × 22 + 9,6 × 2 + 76,8, soit 86,4. On dit donc que le sommet est en x = 2 et y = 86,4 ou en 2, y = 86,4. Il existe une autre façon de procéder. Pour y = ax2 + bx + c, la pente du graphique est 2ax + b. Au sommet, la pente qui est 2ax + b = 0. Cela signifie que le sommet est à x = -b/2a. Nous avons posé la question de cette façon et avons obtenu la valeur de x à -9,6/(-2,4×2), soit 2. De là, nous obtenons également la valeur de y à 86,4. Ainsi, le graphique de Kwong montre que pour obtenir les meilleurs résultats, utilisez le téléphone pendant 2 heures/jour et améliorez votre moyenne pondérée cumulative de près de 10 %. Bravo Kwong.
Mme Clementine : Merci pour la présentation optimiste Jun. Vous souvenez-vous d’avoir parlé des sommets en géométrie ? Un sommet est un point où deux droites se rencontrent. De la même manière, pour une parabole, le sommet est un point où la montée et la descente se rencontrent. Il peut s’agir du moment où une valeur maximale ou minimale se produira. Cette fois, vous aviez une parabole dans laquelle vous aviez un maximum. Vous pouvez également obtenir une parabole qui diminue initialement puis commence à augmenter. Dans ce cas, le sommet de cette parabole sera le minimum de la courbe. Ainsi, le concept de sommet peut être utilisé pour obtenir des maxima ou des minima.
Bon, maintenant nous aurons des exemples de relations quadratiques à partir de l’expérience et des intérêts des gens. S’il vous plaît, allez un par un dans le même ordre dans lequel je vous ai assigné ce sujet.
Expérience et intérêt des étudiants
Ashley : Je suis la capitaine de l’équipe de cheerleading de l’école. Il y a deux situations dans lesquelles les quadratiques peuvent s’adapter. La première ressemble un peu à l’équation de Kwong. Les juges donnent des scores plus élevés si vous commencez avec une acclamation facile, rendez la suivante plus difficile et continuez à le faire avec autant d’acclamations que vous le pouvez. Augmenter les acclamations vous donne des scores supplémentaires, mais chaque acclamation supplémentaire diminue la performance globale de l’équipe pour toutes les acclamations. Cela peut être dû au fait que les membres de l’équipe ont du mal à apprendre trop d’acclamations ou parce qu’il y a une contrainte de temps. Cela donnerait donc une relation quadratique entre les scores et le nombre d’acclamations. Mon amie Kim vous dira l’autre.Kim: Nous faisons une acclamation de lancer de panier. Nous jetons une petite fille en l’air et nous l’attrapons tous. Si on en jette un tout petit peu, tout le monde hue. Si nous lançons très vite, nous avons peur que la tête de cette fille ne heurte le toit qui ne fait que 12 mètres de haut. Donc, je dois déterminer à quelle vitesse la lancer pour que sa tête n’atteigne qu’une hauteur de 11 mètres pour être en sécurité. Sara m’a dit que ce serait aussi un problème de relation quadratique.
Dino : Ma mère adore le potager. Dans un rang de 20 mètres de long, elle a 20 plants qui lui donnent 1000 tomates soit 50 tomates par plant. Nous nous sommes disputés sur le fait qu’elle pourrait obtenir plus de tomates si elle avait plus de plants dans la même rangée de 20 mètres. Nous avons demandé à une serre et ils nous ont dit que pour chaque plante que nous ajoutons, le rendement de chaque plante diminuera d’une tomate. Je pense que c’est aussi un problème quadratique dans lequel je dois trouver le sommet.
Tom : C’est quelque chose qui s’est passé dans la boutique de mon père. Une dame est arrivée avec un portrait avec un rapport hauteur/largeur de 4/3. Elle voulait que l’image soit agrandie à 192 pouces carrés et voulait savoir quelle serait la hauteur et la largeur de l’image agrandie. Mon père est vraiment intelligent, et il m’a dit qu’il l’avait trouvé en utilisant une équation quadratique.
Jorge : Je joue au basket mais je ne suis pas très grand. Je dois sauter pour plonger le ballon afin que mes pieds soient à 2,5 pieds au-dessus du sol. L’entraîneur m’a dit que son professeur de kinésiologie lui avait appris l’équation pour sauter à la hauteur de 16t2 -12t où t est le temps en secondes pendant lequel je suis en l’air. Combien de temps devrai-je être en l’air pour pouvoir plonger ?
Mme Clémentine : Parfait. Alors maintenant, vous savez comment les problèmes de mots liés aux équations quadratiques surviennent. Il y en a beaucoup dans votre livre. Votre devoir est d’en faire six avant le prochain cours.
Défi : Aidez Kim, Dino, Tom et Jorge.
Le problème de Kim : Nous faisons une acclamation de lancer de panier. Nous jetons une petite fille en l’air et nous l’attrapons tous. Si on en jette un tout petit peu, tout le monde hue. Si nous lançons très vite, nous avons peur que la tête de cette fille ne heurte le toit qui ne fait que 12 mètres de haut. Donc, je dois déterminer à quelle vitesse la lancer pour que sa tête n’atteigne qu’une hauteur de 11 mètres pour être en sécurité. Sara m’a dit que ce serait aussi un problème de relation quadratique.
Le problème de Kim peut être divisé en deux parties. La première partie concerne le temps qu’il faudra à la cheerleader pour atteindre la hauteur de 11 m. La deuxième partie concerne la vitesse à laquelle la lancer. Ces deux éléments sont plus faciles à saisir en se demandant combien de temps il lui faudra pour atteindre le sol après être tombé d’une hauteur de 11 m. Nous écrirons donc la relation
Distance = ut + at2/2
Ici, la vitesse initiale u = 0 car lorsque la fille lancée atteint le sommet, sa vitesse doit être nulle car elle ne monte ni ne descend à ce moment-là. En écrivant a = accélération due à la gravité terrestre qui est de 9,81 m/sec2
Alors 11 = 0 + 9,81 t2/2 ou t2/2 = 11/9,81 ou t2 = 22/9,81 sec2 = 2,2425 sec2 ou t = 1,4975 sec.
La vitesse v avec le mouvement vers le bas augmentera de la relation
v = u + at ou v = 0 + 9,81 x 1,4975 m/sec = 14,6908 m/sec.
Pour vérifier que c’est la bonne réponse, écrivons la relation pour la fille projetée avec cette vitesse initiale, mais notez que le mouvement de la fille va maintenant décélérer et utilisera donc la valeur négative de a
Distance = ut + at2/2 ou
Distance = 14,6908 m/s x 1,4975 s – (9,81 m/s2 x (1,4975 s)2 )/2 ou
Soit 22 – 11 = 11 mètres – la hauteur que Kim veut que la fille atteigne.
Le problème de Dino : Ma mère adore le potager. Dans un rang de 20 mètres de long, elle a 20 plants qui lui donnent 1000 tomates soit 50 tomates par plant. Nous nous sommes disputés sur le fait qu’elle pourrait obtenir plus de tomates si elle avait plus de plants dans la même rangée de 20 mètres. Nous avons demandé à une serre et ils nous ont dit que le rendement de chaque plante diminuerait d’une tomate pour chaque plante que nous ajoutons. Je pense que c’est aussi un problème quadratique dans lequel je dois trouver le sommet.
Supposons que la mère de Dino ajoute x plantes. Ensuite, elle aura 20 + x plantes. Le rendement de chaque plant était de 50 tomates par plant mais maintenant il va diminuer. Chaque plant ajouté diminuera le rendement d’une tomate par plant ou le rendement sera de 50 – x.
Donc rendement (y) = (20 + x) x (50-x) = 1000 + 50x – 20x -x2
y = – x2 + 30x+ 1000
Jun a dit dans la classe que sommet = 2ax + b = 0 pour y = ax2 + bx + c
En utilisant cette relation sommet = -2 x + 30 = 0 ou x = 15.
L’ajout de 15 plants donnera (20 + 15) x (50 – 15) = 1225 tomates.
Au sommet, les valeurs peuvent être minimales ou maximales. Évidemment, ce n’est pas une valeur minimale car le rendement de 1225 tomates est supérieur au rendement actuel de 1000 tomates.
Le problème de Tom : C’est quelque chose qui s’est passé dans la boutique de mon père. Une dame est arrivée avec un portrait avec un rapport hauteur/largeur de 4/3. Elle voulait que l’image soit agrandie à 192 pouces carrés et voulait savoir quelle serait la hauteur et la largeur de l’image agrandie. Mon père est vraiment intelligent, et il m’a dit qu’il l’avait trouvé en utilisant une équation quadratique.
Disons que la largeur est de x pouces. Ensuite, la hauteur sera de 4x/3 et la surface sera de 4x2/3. Donc,
4×2/3 = 192 ou x2 = 144 ou x = ±12 pouces dont seulement x = 12 pouces a du sens.
Ainsi, la largeur de l’image serait de 12 pouces et sa hauteur serait de 12 fois 4/3 ou 16 pouces. Vérification de la zone, 16 pouces x 12 pouces = 192 pouces carrés.
Le problème de Jorge : Je joue au basket mais je ne suis pas très grand. Je dois sauter pour plonger le ballon afin que mes pieds soient à 2,5 pieds au-dessus du sol. L’entraîneur m’a dit que son professeur de kinésiologie lui avait appris l’équation pour sauter à la hauteur de 16t2 -12t où t est le temps en secondes pendant lequel je suis en l’air. Combien de temps devrai-je être en l’air pour pouvoir plonger ?
Ceci est similaire au problème de la pom-pom girl Kim, sauf pour les unités. Tout est donné ici en pieds. La relation deviendra 16t2 -12t = 2,5 ou 16t2 -12t – 2,5 =0.
Pour une équation quadratique ax2+ bx + c = 0, x = (-b ± (√(b2 -4ac))/2a
Donc t = ((12 ± √ ( 122 – 4 x 16 x (-2.5)))/2 x 16 = 0.92 ou moins 0.17 sec. Être en l’air pendant un temps négatif n’a pas de sens. Donc Jorge devra sauter être en l’air pendant 0,92 seconde pour pouvoir plonger.
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