Faire une forme en utilisant la ficelle de 100 mètres de long
Perimetras (nom fictif) était un roi généreux en Grèce. Son peuple l’aimait parce qu’il pensait qu’il était un bon protecteur. Cela a aidé qu’il ne perçoive pas d’impôts très élevés. L’une de ses qualités uniques était que Perimetras aimait les intellectuels et qu’il tenait une cour tous les mois. Il était aussi très généreux. Un jour, il appela les intellectuels Acusilas, Eginette, Domophon et Menaechmus.
King Perimetras : Je vous donnerai à chacun une ficelle de 100 mètres de long et le nombre de piquets dont vous aurez besoin. Vous devrez créer une forme à l’aide de cette ficelle et des chevilles. Chacun d’entre vous devrait créer une forme différente. La personne qui réalise la forme avec la plus grande surface recevra en prix une maison et 10 chèvres. Acusilaus, prends la ficelle et autant de chevilles que tu veux pour faire une forme.
Triangle, carré et un hexagone
Acusilaus ne connaissait pas beaucoup de formes mais un carré. Il a donc pris 4 piquets et a fait un carré avec un paramètre de 100 mètres de sorte que chaque côté soit de 25 mètres. La superficie du carré était de 25 x 25 = 625 mètres2.
Figure…..
Acusilaus : Votre Altesse, j’ai fait un carré. Il est magnifique et a une superficie de 625 mètres2. Roi Perimetras: Domophon, maintenant c’est ton tour. Vous ne pouvez pas faire un carré car cela a déjà été fait.
Domophon a fait un triangle dont chaque côté représente un tiers du périmètre de 100 mètres. Ainsi chaque côté mesurait 33,3 mètres.
Roi Perimetras : Domophon, je vois que tu as fait un triangle équilatéral. Quelle est sa superficie ?
Le rapport surface/périmètre augmente avec le nombre de côtés
Menaechmus : Je suis mathématicien et au courant des travaux de Pythagore. Ce triangle aurait une base de 33,3 mètres et une hauteur de 28,83 mètres. Par conséquent, l’aire du triangle ABC sera de base AB x hauteur CD/2 ou 33,3 x 28,83/2 ce qui équivaut à 480,16 mètre2. Votre Altesse, je peux aussi vous donner une preuve de ce domaine.
King Perimetras : Donc encore plus petit que le carré. Aeginetta, maintenant c’est au tour.
Aeginetta : Votre Altesse, j’ai besoin de 6 chevilles et je vais faire un hexagone – une forme avec 6 côtés égaux. La corde mesure 100 mètres de long. Ainsi, chaque côté mesurera 16,67 mètres de long.
Menaechmus : Je peux vous dire l’aire de cette forme. Cette forme est la somme de 6 triangles équilatéraux ayant chacun une base de 16,67 mètres (100/6). La hauteur de chaque triangle sera de 14,42 mètres. La surface totale de la forme sera de 6 x 16,67 x 14,42 /2 mètres2, ce qui équivaut à 720,25 mètres2.
King Perimetras : C’est la meilleure forme jusqu’à présent. Encore une fois, je suppose que vous pouvez donner une preuve. Menaechmus, cela signifie-t-il que l’hexagone remporte le prix ?
Menaechmus : Votre Altesse, comme vous le voyez, la forme à 3 côtés avait la plus petite surface, la forme à 4 côtés avait une surface plus élevée, mais la forme à 6 côtés était la plus élevée jusqu’à présent. Le rapport de l’aire au périmètre augmente avec le nombre de côtés de la forme. Je vais créer une forme à côtés infinis qui est un cercle. Le cercle aurait une circonférence de la longueur de la corde (100 mètres), ce qui signifie que son rayon serait de 100/(2π) ou 15,92 mètres. L’aire de ce cercle sera de π x rayon2, ce qui donne 795,77 mètres2. C’est la plus grande zone que vous pouvez obtenir avec la corde de 100 mètres de long.
Roi Perimetras : Vous gagnez le prix. Je suis impressionné par la façon dont vous m’avez montré que plus vous avez de côtés dans une forme, plus le rapport de la surface au périmètre est grand.
Preuves
Aire du triangle équilatéral : Le triangle ABC aurait une base de 33,3 mètres. Tracez une droite CD perpendiculaire à AB. Les angles ADC et BDC sont tous les deux des angles droits, l’angle A et l’angle C sont égaux car c’est un triangle isocèle. Le côté CD est commun aux triangles ACD et BCD. Les deux triangles sont donc congruents. D’où AD = BD =33,3/2 =16,65 mètres
ACD est un triangle rectangle dont la base est de 16,65 mètres et l’hypoténuse de 33,3 mètres. Par conséquent, la hauteur sera de 28,83 mètres car selon Pythagore hypoténuse2 = base2 + hauteur2. Par conséquent, l’aire du triangle ABC sera la base AB x la hauteur CD/2 ou 33,3 x 28,83/2 qui équivaut à 480,16 mètre2.
Aire de l’hexagone : L’hexagone est une forme à 6 côtés égaux. Tracez des lignes reliant les coins – chaque angle sera de 360/6 ou 60°, Tous les angles d’un triangle totalisent 180° et donc chacun des autres angles de ce triangle isocèle sera (180-60)/2 ou 60° . Les trois angles étant égaux, c’est un triangle équilatéral. Cette forme est donc la somme de 6 triangles équilatéraux ayant chacun une base de 16,67 mètres (100/6). Encore une fois, on peut prouver en utilisant le théorème de Pythagore que la hauteur de chaque triangle sera de 14,42 mètres. Chacun des triangles équilatéraux aura une aire de 16,67 x 14,42/2 mètres2 soit 120,04 mètres2. La superficie totale sera donc de 6 x 120,04 mètres2 ou pour être exact de 720,25 mètres2.
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