Le pique-nique de la classe de 12e année
La classe de 12e année a décidé qu’ils devraient aller ensemble pour un pique-nique. Wendy, la représentante de classe, avait pris cette décision en discutant avec quelques-unes de ses amies. C’est peut-être la dernière chance pour eux de se réunir comme ça car après l’année scolaire, tout le monde pourrait aller dans des directions différentes – collèges, universités, travail ou stages – qui savaient. Un avis a été placé sur le panneau d’information de l’école où n’importe qui pouvait mettre un avis. Le site et la date du pique-nique ont également été indiqués. Le pique-nique aurait lieu un week-end car ce n’était pas un pique-nique organisé par les autorités scolaires. Wendy et ses amis pensaient que les élèves de la classe étaient suffisamment mûrs pour prendre leurs propres décisions. Toutes les dépenses seraient à la charge des étudiants. Ils devraient également être responsables de leurs propres manèges. Wendy a également demandé aux étudiants de la contacter s’ils voulaient y aller.
Il y avait 150 élèves dans la classe mais seulement 25 voulaient y aller. D’autres pensaient que c’était trop proche des examens finaux ou qu’ils avaient d’autres responsabilités. Johnny avait demandé à sa mère de lui emprunter sa voiture. Il a également proposé à sa petite amie Sara de faire un tour. Il emmènerait également deux autres amis avec lui. Au pique-nique, il y avait un repas-partage. Tout le monde avait transporté un petit objet ou deux pour que beaucoup de gens puissent le partager. Ils ont également eu beaucoup de plaisir et de jeux, après quoi il y a eu du temps libre. Il a été décidé que tout le monde pouvait faire le tour et revenir en une heure. Après leur retour, ils pourraient prendre un verre ou de l’eau avant de dire au revoir à tout le monde.
Promenez-vous le long du lac près des aires de pique-nique
Johnny et Sara se sont promenés le long du lac à côté des aires de pique-nique. C’était un immense lac avec une plage de galets. Il y avait un petit chemin autour pour se promener. Il était protégé par de grands arbres qui fournissaient de l’ombre. Les tourtereaux marchaient en se tenant la main qui se balançait d’avant en arrière. Pendant qu’ils s’amusaient, ils virent un grand panneau d’information qui disait :
“ATTENTION : S’il vous plaît, ne pique-niquez pas très près du lac. L’eau peut monter brusquement. En 2007, il y a eu une pluie soudaine de plusieurs heures au cours de laquelle le niveau de l’eau dans le lac est monté rapidement à raison de 1 centimètre par minute. Des photographies aériennes ont montré que la superficie du lac augmentait également au rythme de 1 mètre carré par minute. L’eau atteignait près du chemin. Beaucoup de gens ont dû nettoyer rapidement parce qu’ils étaient assis et profitaient trop près du lac.
Johnny et Sara ont décidé de retourner à pied vers les terrains de pique-nique. Ils ont dit au revoir à tout le monde et sont repartis.
L’énigme de Johnny
À la maison, Johnny était assis dans une profonde réflexion.
Sara : Qu’est-ce qu’il y a Johnny ? Tu as l’air perdu.
Johnny : Je pense encore à ce qu’on a lu dans la notice au bord du lac. J’essaie de déterminer la quantité d’eau ajoutée au lac au plus fort des précipitations.
Sara : La vitesse d’élévation n’était-elle pas de 1 centimètre par minute et l’augmentation de la superficie du lac n’était-elle pas de 1 mètre carré par minute ?
Johnny : Oui, mais ça ne me dit pas combien d’eau. Dois-je simplement multiplier 1 centimètre par minute par 10 000 centimètres carrés (1 mètre carré) et dire que c’était 10 000 centimètres cubes par minute ?
Sara : Ce n’est pas la bonne méthode. Je pense que vous devez utiliser la règle du produit.
Johnny : Qu’est-ce que c’est ?
Formule de produit pour la différenciation
Sara : Ce sont les deux fonctions du temps. Disons que la montée du niveau d’eau est f1(t) et l’augmentation de la surface est f2(t). Le taux de changement de f1(t) sera f ‘1(t) et le changement de f2(t) sera f ‘2(t). Si la variation de la quantité d’eau est fw(t), alors selon la formule du produit :
f ‘w(t) = f1(t) . f ‘2(t) + f2(t) . f ‘1(t).
Johnny : Pourquoi s’embêter avec ce truc compliqué ? Quel est le problème avec la façon dont je l’ai fait?
Sara : Il y a beaucoup d’informations que vous pourriez manquer. Disons que lorsque la pluie a commencé, le lac avait une superficie plus petite et son niveau d’eau a augmenté de 1 centimètre par minute et aussi plus tard au cours de cette période, le taux d’augmentation était encore de 1 centimètre par minute lorsque le lac était devenu plus grand. Alors le f ‘w(t) serait beaucoup plus grand quand le lac était plus large qu’au début. Cette formule de produit vous oblige à penser à une telle possibilité.
Johnny : Donnez-moi d’autres exemples où la formule du produit devrait être appliquée.
Sara a navigué sur Internet pendant une minute, puis a dit, en voici un :
“Jack cueille des baies sauvages dans la vallée de la Tinka et les vend ensuite en ville pour gagner sa vie. Il est inquiet. De nombreux lotissements continuent d’arriver dans la vallée chaque année, de sorte que la zone de croissance de la baie diminue au rythme de Un mètre carré par an. En même temps, la pollution dans la vallée augmente chaque année de sorte que la croissance des baies à l’état sauvage diminue au rythme de G par kilomètre carré par an. Quelle est la diminution nette des baies disponibles pour collection de la vallée?”
Applications de la formule du produit
Johnny : Y a-t-il d’autres exemples ?
Sara : Beaucoup d’entre eux. Ils concernent l’économie, les affaires, l’ingénierie, la médecine et l’écologie.
Johnny : C’est intéressant. Je sais que l’avis au lac nous a donné les valeurs des taux d’augmentation du niveau d’eau et de la superficie du lac, et nous avons calculé le taux d’augmentation de la quantité d’eau du lac en utilisant
f ‘w(t) = f1(t) . f ‘2(t) + f2(t) . f ‘1(t).
Mais s’ils nous ont donné les taux d’augmentation de la quantité d’eau f ‘w(t) et d’élévation du niveau f ‘1(t), aurions-nous également pu déterminer le changement du taux d’augmentation dans la zone de le lac f ‘2(t).
Sara : Oui, notre livre dit que nous pouvons alors utiliser la règle du quotient qui serait
f ‘2(t) = (fw(t)/ f1(t))’ = (f1(t). f ‘w(t) – fw(t).f ‘1(t)/(f1t)2
En fait, le livre a écrit les deux formules générales comme
Règle produit : d(uv)/dx = vdu/dx +udv/dx
Règle du quotient : d(u/v)/dx = (v(du/dx) – u(dv/dx))/v2
Johnny : Je plains les gars qui ne sont pas allés au pique-nique parce que c’était trop proche des examens finaux. En fait, ça m’a aidé. Je pourrais même réussir mon calcul. Merci à vous et au pique-nique qui a amené ces problèmes.
Défiez les notes de Johnny
Les notes de Johnny en classe 8 étaient vraiment mauvaises. Puis il a rencontré Sara. Sara était non seulement intelligente et avait de bonnes notes, mais aussi gentille avec Johnny. Elle l’aimait et lui a également donné des conseils pour améliorer ses notes. Johnny a également commencé à étudier davantage. Son professeur de mathématiques lui a dit que ses notes s’étaient améliorées au fil des ans avec le temps avec la fonction G(t) = (t-.006t3)(1+0.5t) où t est le temps en nombre de semestres. Johnny est maintenant avec Sara depuis 6 semestres. Pouvez-vous lui dire si ses notes devraient s’améliorer après ce semestre si cette tendance se poursuit ?
Solution : Les notes de Johnny suivent la tendance G(t) = (t-.006t3)(1+0.5t)
Ce qu’il doit savoir si dG/dt est positif à t =6.
Vous pouvez soit simplifier d’abord la fonction et différencier, soit utiliser la règle du produit. Utilisons la règle du produit
G(t) = (t-.006t3)(1+0.5t)
dG/dt = (1-.018t2)(1+0.5t) + (t-.006t3) x 0.5
dG/dt = At t = 6, dG/dt = (1-.018×62)(1+0.5×6) + 0.5(6-.006x 63) = 1.408 + 2.352 = 3.76
Ainsi dG/dt est positif à t = 6 et Johnny peut sourire car ses notes continueront de s’améliorer.
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