Poupée Babouchka

Poupée Babouchka

            Mme Rania Ali a enseigné dans une école située dans un bidonville. Les enfants avaient très peu d’intérêt pour l’apprentissage, Mme Ali était consciente de son défi, mais la grande enseignante a trouvé de nouvelles façons d’attirer l’attention de ses élèves. Aujourd’hui, elle était perdue. Elle ne savait pas comment aborder la prochaine leçon de géométrie jusqu’à ce qu’elle voie quelque chose sur le bureau du principal. Elle a demandé au principal d’emprunter la poupée sur son bureau. Le directeur a accepté mais a demandé à Mme Ali de s’assurer de le rendre.

            Mme Ali est venue dans la classe et a posé la poupée sur la table du professeur. Bien sûr, tous les enfants, garçons et filles, étaient curieux de savoir pourquoi Mme Ali apporterait une poupée à la classe,

            Mme Ali : Classe, j’ai cette poupée spéciale à vous montrer. Certains d’entre vous l’ont peut-être déjà vu dans le bureau du directeur. C’est une poupée babouchka. Cette poupée peut être ouverte.

            Elle ouvrit la poupée Babouchka. Il y avait une deuxième poupée à l’intérieur. Elle le sortit et referma la première poupée. Puis elle ouvrit la seconde et en sortit une troisième poupée. Elle a répété le processus deux fois de plus. Elle posa les cinq poupées sur la table.

Figure…..

            De nombreux étudiants n’avaient jamais vu de poupée Babouchka auparavant et étaient fascinés. Tout le monde dans la classe a aimé l’affichage jusqu’à ce que Barak prenne la parole.

Semblable ou identique ?

            Barak : Mme Ali, les cinq poupées sont identiques.

            Mehak : Non, ils ne le sont pas. Ils sont tous de tailles différentes.

            Cela a suivi une discussion en classe et l’accord était que les cinq poupées étaient similaires parce qu’elles avaient la même forme et le même design. Ils seraient identiques s’ils étaient également tous de la même taille, mais ils ne pourraient pas entrer l’un dans l’autre.

            Mme Ali : Très bonne classe. Si l’une des poupées était allongée et les autres debout. Seraient-elles encore des poupées similaires ?

            Les étudiants ont commencé à chuchoter mais ensuite Taheen s’est levé et a dit : “Je pense qu’ils seraient toujours similaires parce que la poupée est seulement allongée. Elle pourrait facilement se tenir debout.” La classe a convenu que la poupée dans une orientation différente serait toujours similaire aux autres poupées.

Maintenant, formes et cookies

Figure…..

            Mme Ali : Voici une photo de différents cookies. Lesquels d’entre eux sont similaires les uns aux autres.

            Arisha : Ils sont tous de forme différente. Ainsi, aucun cookie n’est semblable à un autre.

Figure……….

            Mme Ali : Très bien Arisha. Voici maintenant une autre photo de différents cookies.

            Arisha : Je pourrais retourner n’importe lequel des cookies et ils se ressembleraient. Les biscuits 1 à 6 sont de la même taille mais 7 et 8 sont plus petits mais toujours de forme similaire.

            Mme Ali : Rehan, vous avez été silencieux. Dites-moi si les cookies 1 à 6 sont similaires et également de même taille, diriez-vous qu’ils sont identiques.

            Rehan : Oui, je pourrais les retourner et les empiler les uns sur les autres. Les cookies 1 à 6 seraient tous exactement les mêmes.

            Mme Ali : En géométrie, on dirait que les triangles 1 à 8 sont semblables mais que les triangles 1 à 6 sont également congruents. Je veux ajouter que les concepts de similitude et de congruence s’appliquent à toutes les formes – pas seulement aux triangles. Voici un exemple avec des quadrilatères. Mehak, dis-moi lesquelles de ces figures sont similaires et lesquelles sont congruentes ?

Figure……..

            Mehak : Mme Ali, les formes de 1 à 4 sont toutes des carrés et donc similaires. La forme 2 est congruente à la forme 1 et la forme 4 est congruente à la forme 3. La forme 7 est similaire et congruente à la forme 5. Je devrais la mesurer pour m’assurer que la forme 6 est également similaire à 5 et 7.

            Taheen : Mme Ali, serait-il juste de dire que tous les triangles équilatéraux sont similaires les uns aux autres, tous les carrés sont similaires, tous les pentagones sont similaires et ainsi de suite dans la mesure où tous les cercles sont également similaires les uns aux autres.

      Mme Ali : Similaires mais non congruents. Je suis impressionné par votre réflexion.

Avantage dans la compréhension de la similitude

      Taheen : Merci Mme Ali mais je ne comprends pas quel est le gros avantage de comprendre l’idée de similarité.

      Mme Ali : J’ai dessiné deux triangles similaires – le triangle 1 et le triangle 2. Ils sont similaires parce que l’angle BAC du triangle 1 est égal à B’A’C’ du triangle 2, l’angle ACB est égal à l’angle A’C’B’ et, par conséquent, le troisième angle CBA = C’B’A’. Maintenant, si le rapport des côtés AB du triangle 1 et A’B’ était de deux, qui peut me dire le rapport de BC à B’C’, et de AC à A’C’ ?

Figure……

      Presque toute la classe a levé la main mais Mme Ali a demandé à Feran.

Feran : 2 parce que si le rapport de l’un des côtés était différent dans un triangle, il changerait son angle et les triangles ne seraient plus similaires.

      Mme Ali : Très bien. D’après le nombre d’étudiants qui avaient levé la main, je pense que tout le monde a eu cette idée. Téhéran, donc l’avantage est que vous n’avez pas à mesurer les trois côtés, leurs rapports seront les mêmes. Bien que j’aie utilisé des triangles pour montrer les rapports constants des côtés, l’idée s’applique à toutes les formes.

La cloche a sonné et les élèves ont disparu sans que Mme Ali n’ait congédié la classe.

Défi

      ABCD est un carré. Montrer que AD est perpendiculaire à BC.

      Solution : Étant donné que ABCD est un carré ou ses côtés AB=BD=CD=AC, et CD est parallèle à AB et AC est parallèle à BD.

      Le triangle ABD est un triangle isocèle car AB = BD. Par conséquent, les angles DAB et ADB sont égaux. Les triangles AEB et DEB sont congrus car AB = BD (donné), le côté EB est commun aux deux et les angles DAB et ADB sont égaux. Donc, angle AEB = angle BED, Mais angle AEB = angle AEC et angle CED et angle AEB (angles opposés). Donc les angles AEB = angle BED = angle DEC = angle AEC. Ensemble, ces angles forment une révolution complète = 360°. Donc chacun des angles est de 90°. La ligne AD est donc perpendiculaire à BC.

Supplémentaire

       ABC est un triangle rectangle, ACB étant un angle droit. Dessinez un rectangle de côté NL parallèle à AC et ML parallèle à AC tel que L touche AB. Soit les segments de droite AN de 7 unités de long et BM de 12 unités. Déterminer l’aire du rectangle.

      Dessinez le triangle ABC et le rectangle LMCN comme indiqué. Soit les côtés du rectangle           CM = ML = a, et CN = ML = b.

      Notez que les angles à chaque coin du rectangle sont de 90⁰.

      Puisque les angles sur une ligne droite sont de 180⁰, ∠ANL = ∠LMB = 90⁰.

AC et LM sont parallèles étant des côtés opposés d’un rectangle. Par conséquent, l’angle correspondant ∠NAL = ∠MLB.

      De même, ∠ALN = ∠LBM.

      Puisque les angles correspondants de ANL et LMB sont tous égaux, les triangles ANL et LMB sont similaires et leurs côtés ont les mêmes rapports.

      Donc, le rapport a/7 = 12/b , Ceoss multipliant les deux côtés donne ab = 84.

Par conséquent, l’aire du rectangle = ab = 84 unités.

Déterminer le rayon d’un demi-cercle inscrit à partir du côté le plus long d’un triangle dont les côtés mesurent 3, 4 et 5 unités.

Puisque les longueurs des côtés sont 3, 4 et 5, Pythagore déclare que c’est un triangle rectangle avec l’hypoténuse BC car 52 = 42 + 32 soit 25 = 16 +9.

La figure montre le triangle ABC et le demi-cercle sur BC qui y sont inscrits. Tracez une perpendiculaire DE à partir du centre du cercle sur AC et EF sur AB.

Soit le rayon r. Alors DE = AF et EF = AD = r. Aussi FB = 4-r et CD = 3-r.

Puisque DE est parallèle à AB, ∠DEC =∠EBF.

Puisque CDE et EFB sont des triangles rectangles, ∠BEF est également égal à ∠DCE. Par conséquent, ce sont des triangles similaires et leurs côtés correspondants ont les mêmes rapports :

DC/DE = (3-r)/r = EF/FR = r/(4-r).

(3-r)/r = r/(4-r).

La multiplication croisée des deux membres des équations par donne :

(3-r)(4-r) = r 2 ou 12 + r 2 -7r = r 2 ou r = 12/7. C’est le rayon du demi-cercle.

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