Quads scolaires : salle de réunion, cours de sciences, cours de trigonométrie et cafétéria
Prenez une glace et promenez-vous jusqu’à l’école
C’était une autre belle journée d’été avec des températures modérément élevées rendues confortables par une brise occasionnelle – le type de journée où la plupart des adolescents aiment sortir dans les salons de crème glacée et traîner. Johnny a téléphoné à Sara et lui a demandé s’ils pouvaient aller chercher une glace. Ils sont allés ensemble et ont pris la glace. Bien sûr, Johnny a emporté avec lui son nouveau vélo dont il était si fier. Après cela, ils ont décidé de ne pas traîner là-bas mais d’aller faire une autre promenade autour de leur école. On pourrait deviner que Johnny avait aimé leur dernière visite à l’école. De cette expérience, Johnny était sûr que sa petite amie n’allait pas gâcher cette chance de le pousser plus loin pour devenir un as du Trig. Que pouvait-il demander de plus – être avec son amant sexy et sa belle nouvelle moto. Sara l’aimait et voulait toujours être avec lui. Ils firent la même promenade sur la route circulaire autour de leur école que la fois précédente.
Sarah : Johnny. Savez-vous que vous pouvez obtenir des tableaux de valeurs pour les fonctions Trig pour différents angles ? Vous pouvez également obtenir ces valeurs en utilisant la plupart des calculatrices. J’ai donc apporté ma calculatrice avec moi. Nous vérifierons la précision de votre vélo dans les distances Nord-Sud et Est-Ouest.
Johnny : Ne doutez pas de mon beau vélo. C’est sexy. Vous ne pensez pas ?
Sara a dit d’une manière ludique : Plus sexy que moi ? Tu n’oses pas dire oui, tais-toi. Commençons au même endroit que la dernière fois. Rappelez-vous, nous avons commencé sur la route circulaire autour de l’école à la porte nord-est de l’école. Chaque fois que vous me direz notre angle de rotation en degrés depuis votre vélo, je vous dirai les distances attendues et vous pourrez les faire correspondre sur votre vélo.
Ils ont commencé à marcher puis Johnny s’est arrêté.
Mon vélo indique une rotation de 30° depuis le démarrage d’origine
Johnny : Mon vélo indique une rotation de 30 ° par rapport au départ d’origine.
Sara : Ma calculatrice dit que sin 30° est 0,5 et cos 30° est 0,866. Comme l’hypoténuse est à 100 mètres, nous sommes allés 50 (100 fois 0,5) mètres Nord et 13,4 mètres Ouest (100 – 100 cos 30° soit 100 – 86,6 mètres).
Johnny : Ouais. C’est ce que dit mon vélo. Donc le truc du péché et du cos a fonctionné.
Johnny a continué mais il s’est arrêté et a dit 90°. Il a demandé les valeurs du péché et du cos.
Les valeurs sont évidentes pour sin 90° ou cos 90°
Sara éclata de rire. Quand Johnny lui a demandé ce qu’il y avait de si hilarant dans le 90°, elle a dit : Je n’ai pas besoin de ma calculatrice pour ça. Nous sommes allés aussi loin que possible vers le nord, là où la hauteur est la même que l’hypoténuse du triangle, ce qui signifie que leur rapport est de 1, soit sin 90°. Nous avons également parcouru 100 mètres vers l’ouest. Nous sommes exactement au nord du centre de l’école ce qui signifie que cos 90° vaut 0.
Johnny avait l’image de l’école et de cette route dans son esprit et se rappelait où la carte lui montrerait sur la partie la plus au nord de la route. Il a compris la situation dans une certaine mesure et a continué. Des choses amusantes ont commencé à se produire. Sa distance vers le nord a commencé à diminuer mais la distance vers l’ouest a encore augmenté. Il l’a montré à Sara qui lui a expliqué avec cette photo.
Que se passe-t-il autour de 90° ?
Sara : Rappelez-vous qu’en algèbre, l’origine est l’endroit où l’axe X et l’axe Y se croisent. La ligne Est-Ouest sera alors l’axe horizontal ou l’axe X et la ligne Nord-Sud sera l’axe vertical ou l’axe Y. La hauteur atteint son maximum en haut de l’axe Y qui est un angle de 90°, puis elle commence à diminuer. La diminution signifie que vous n’allez plus vers le nord mais que vous avez commencé à vous déplacer vers le sud. Cependant, vous continuez à vous déplacer vers l’ouest.
Johnny : Maintenant, le vélo donne une rotation totale de 150°.
Sara : N’oubliez pas qu’un angle de 150° vous donnera la même hauteur qu’un angle de 30° mais dans le deuxième quadrant. Ici, les valeurs de hauteur sont positives mais celles de la base sont négatives car vous êtes allé du côté gauche de l’origine.
Johnny : C’est déroutant. Cela signifie-t-il que sin 150° serait le même que sin 30° ?
Sara : Oui, mais cos 150° ne sera pas la même chose que cos 30°.
Johnny : Je comprends, ce sera pareil mais en négatif. Cos 30° = 0,866. Donc, cos 150° = – cos 30° = – 0,866. Tu vois, je ne suis pas idiot. La valeur de tan change-t-elle aussi de signe ?
Sara : Oui génie. Maintenant, dites-moi, si vous divisez l’école en quatre quadrants, où se trouve la salle de réunion et qui y va ?
Johnny : Ce serait dans le premier quadrant. Nous y allons tous pour l’assemblée – les étudiants et les professeurs.
Sara : Votre classe de sciences est dans le deuxième quadrant et la classe Trig est dans le troisième.
Johnny : La cafétéria est dans le quatrième quadrant. C’est mon endroit préféré. Rappelez-vous, c’est là que nous nous sommes rencontrés il y a deux ans.
Sara : Tous vont positivement à l’Assemblée (premier quadrant) – sin, cos et tan. Seul sin est positif dans le quadrant Science (deuxième), seul tan est positif dans le quadrant Trig (troisième) et cos dans le quadrant Cafétéria (quatrième).
Johnny : C’est une belle façon de se souvenir.
Sara : Je suppose que l’école de mon père n’était pas aussi ronde que la nôtre. Il a dit que leur professeur leur avait dit de se rappeler, “Cinéma après l’école” pour tous, péché, bronzage et cos. Si vous n’aimez pas aller au cinéma, vous pouvez également dire “Chocolats après l’école” ou “All Silver Tea Cups”. Il y a encore une chose. La plupart des professionnels ne parlent pas des angles en degrés. Ils utilisent des radians. L’idée est que faire le tour d’un cercle complet est de 2π radians au lieu de 360°. Rappelez-vous, nous avons appris en géométrie que π est le rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre. Il a une valeur approximative de 22/7. Un radian vaut donc 2π/360 ou environ 57°. Dans ce système, le premier quadrant va de 0 à π/2, le second de π/2 à π, le troisième de π à 3π/2 et le quatrième de 3π/2 à 2π.
Graphiques des fonctions trigonométriques
Je suppose que c’était une leçon compliquée. Pourtant, Sara lui a montré les graphiques pour les valeurs de sin x, cos x et tan x pour différentes valeurs de x.
Johnny a remarqué que les valeurs de sin x et cos x dans les graphiques ne variaient que de 0 à 1. Cela avait du sens car la hauteur ou la base d’un triangle rectangle ne peut pas dépasser la longueur de l’hypoténuse. De plus, il était intéressant de noter que sin x n’était positif que dans les deux premiers quadrants et cos x dans les premier et quatrième. Il a également remarqué que cos x diminuait avec l’augmentation de sin x. Cela avait également du sens car sin2x + cos2x =1 ou sin2x = 1 – cos2x.
Le plus intrigant était le graphique pour tan x. Il ne s’est pas arrêté à 1 comme les graphiques sin x et et cos x, mais sa valeur a continué d’augmenter. De plus, il était positif juste avant 90°, puis du coup il a pris une valeur négative très importante. La même chose s’est produite à environ 270°. Cela lui rappelait un gars qui serait extrêmement heureux un moment et puis se mettrait soudainement à pleurer.
Johnny a trouvé facile de comprendre le professeur Trig et de faire ses devoirs. Johnny et Sara avaient fait tous les devoirs correctement. Ils ont tous les deux obtenu 100% à l’examen de mi-session Trig aussi. Johnny sautait de joie et emmena Sara dîner.
Défi : grande roue
Johnny and Sara were just talking and watching TV when they saw a picture of the High Roller Ferris Wheel in Las Vegas. The wheel has a diameter of 520 feet (158.5 meters) and 28 seating boxes spaced apart equally. It rotates around once in 30 minutes. Marvelling at the site, they imagined where they would sit if they were to go there together. Because it is expensive, they would go only for one rotation. They decided that Sara would sit first and then after the wheel had rotated a little bit, Johnny would sit 7 boxes away. When they reached the same height, they would say hi to each other. It would be fun. At what height would that happen? Sara knows it, see if you do.
Solution: There are 28 boxes in the full rotation (360°) of the wheel (Fig.10.3). Sara (S) has already travelled to 7 boxes away (360° x 7/28 = 90°) when Johnny (J) sits in his box. Radius of the wheel is half of the diameter or 158.5 /2 =79.25 meters. Draw a vertical line from C the center of the wheel. S and J will be at equal heights only when the angle SCV = angle VCJ but we know that angle SCV + angle VCJ = 90° and hence the angle VCJ = 45°. Drawing a perpendicular from CJ onto the line CV gives the right angle triangle CVJ with the angle VCJ being 45°. Therefore CV = 79.25 cos 45° = 79.25 x 1/√2 = 56.04 meters. So the total height will be height to the center plus 56.04 meters = 79.25 + 56.04 meters = 135.3 meters.
Note that they could also reach the same height again if they had paid for more than one rotation. Figure this out for yourself.
Johnny et Sara parlaient et regardaient la télévision lorsqu’ils ont vu une photo de la grande roue High Roller à Las Vegas. La roue a un diamètre de 520 pieds (158,5 mètres) et 28 places assises également espacées. Il tourne autour une fois en 30 minutes. Émerveillés par le site, ils imaginèrent où ils s’assiéraient s’ils s’y rendaient ensemble. Parce que c’est cher, ils n’iraient que pour une rotation. Ils ont décidé que Sara s’assiérait en premier, puis après que la roue aurait tourné un peu, Johnny s’assiérait à 7 cases de distance. Arrivés à la même hauteur, ils se disaient bonjour. Ce serait amusant. A quelle hauteur cela arriverait-il ? Sara le sait, voyez si vous le savez.
Solution : Il y a 28 cases dans la rotation complète (360°) de la roue (Fig.10.3). Sara (S) a déjà voyagé à 7 box de distance (360° x 7/28 = 90°) quand Johnny (J) est assis dans sa box. Le rayon de la roue est la moitié du diamètre ou 158,5/2 =79,25 mètres. Tracez une ligne verticale à partir de C le centre de la roue. S et J seront à des hauteurs égales uniquement lorsque l’angle SCV = angle VCJ mais nous savons que l’angle SCV + l’angle VCJ = 90° et donc l’angle VCJ = 45°. Dessiner une perpendiculaire de CJ sur la ligne CV donne le triangle rectangle CVJ avec l’angle VCJ de 45°. Donc CV = 79,25 cos 45° = 79,25 x 1/√2 = 56,04 mètres. Ainsi, la hauteur totale sera la hauteur au centre plus 56,04 mètres = 79,25 + 56,04 mètres = 135,3 mètres.
Notez qu’ils pourraient également atteindre à nouveau la même hauteur s’ils avaient payé plus d’une rotation. Calculez cela par vous-même.
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