Johnny pourrait résoudre des problèmes d’intégration simples
Johnny était heureux de pouvoir désormais résoudre des problèmes d’intégration simples. En fait, il était excité et a trouvé plusieurs problèmes en ligne et les a essayés. Certains d’entre eux étaient simples et il les passa en revue. Il y en avait d’autres avec qui il était coincé. Il en parlait à Sara car il savait qu’elle avait toujours deux longueurs d’avance sur lui.
Johnny : J’ai fait beaucoup de problèmes en ligne sur l’intégration. J’étais content de pouvoir les faire mais certains d’entre eux étaient difficiles et je ne savais pas comment les aborder.
Sara : L’astuce consiste à utiliser davantage ce que vous avez appris sur les produits dérivés. On peut parler de deux approches. Tout d’abord, vous souvenez-vous de la règle de la chaîne dans la différenciation ?
Johnny : Rappelez-vous Sara, j’ai obtenu un A plus en Calcul I. Bien sûr, je me souviens de la règle de la chaîne. C’est ici:
dy/dx = (dy/du). du/dx
Substitutions basées sur la règle de la chaîne
Sara : Hé, c’est bien. Tout comme la règle de chaîne pour les dérivés, vous pouvez également utiliser une substitution similaire dans l’intégration. C’est intéressant et parfois difficile parce que vos compétences résident dans la recherche d’un remplaçant. Le but est de convertir un ∫y/dx plus compliqué en un ∫udu plus simple. Voici un exemple:
Comme il pourrait être compliqué de résoudre ∫3x2 (x3+5)9 dx, nous pouvons utiliser l’intégration par substitution. On peut faire la substitution u = x3+5 car du/dx = 3×2 ou du = 3×2 dx.
Puis ∫3x2 (x3+5)9 dx = ∫ (x3+5)9 3x2dx = ∫ u9 du = u10/10 + c = (x3+5)10/10 + c.
Johnny : J’ai compris. Donnez-m’en un à faire maintenant.
Sara : D’accord, celui-ci est peut-être plus difficile. Que vaut ∫(tan x . sec x)dx ?
Johnny réfléchit quelques minutes puis dit : laisse-moi essayer de réécrire u = cos x.
Alors du/dx = -sin x ou du = -sin x.dx. Donc,
∫(tan x .sec x)dx = ∫ (sin x)/(cos2 x)dx =∫ – 1/u2 du = 1/u + C = 1/cos x + c = sec x + c
Sara a vérifié la réponse pour toutes les erreurs. Il n’y en avait pas. Elle a fait un gros câlin à Johnny parce que si le gros luge pouvait penser à cette solution compliquée, il se dirigerait certainement vers un A plus en Calcul 2.
Johnny : Je pensais que tu allais dire deux types de méthodes, quelle est la seconde ?
Substitutions basées sur la règle du produit
Sara : Oh oui, le deuxième. Vous souvenez-vous de la règle du produit pour la différenciation.
Johnny : Oui, c’était d(uv)/dx = udv/dx + vdu/dx
Sara : Alors vous pouvez aussi écrire ∫d(uv)/dx = ∫udv/dx + ∫vdu/dx ou uv = ∫udv/dx + ∫vdu/dx ou uv = ∫udv/dx + ∫vdu/dx ot ∫ udv/dx = uv- ∫vdu/dx
Johnny : Oui, vous pouvez mais montrez-moi comment l’utiliser pour l’intégration.
Sara : Faisons cette intégrale
∫xcos(x)dx
Remplaçons u = x et dv = cos x dx pour avoir à intégrer udv
Alors du/dx =1, et v = sin x, uv = x sinx, et ∫vdu = cos x
∫udv = uv- ∫vdu = x sin x + cos x + c où c est une constante.
Johnny : On devrait laisser le reste pour demain parce que je dois rentrer maintenant.
Johnny a essayé quelques questions pratiques supplémentaires du livre Calculus 2. Il pensait que c’était difficile mais il aimait ça. Le lendemain, comme d’habitude, Sara et Johnny se sont réunis pour travailler sur ce que Johnny avait trouvé le plus difficile.
Défi d’intégration
Résoudre pour ∫x2sin(10x)dx
Solution : Substituons u = x2 et dv = sin (10x)dx
Alors du/dx ou du = 2x et v = – cos (10x) / 10 x
∫x2sin(10x)dx = ∫uvdx and ∫udv/dx = uv- ∫vdu/dx =
– x2cos (10x) / (10 x) +((1/5)(xsin(10x) /10)-(1/10) ∫sin(10x)dx) + c =
– x2cos (10x) / 10 x +((1/5)(xsin(10x) /10)+1/100 cos(10x)) + c =
– x2cos (10x) / 10 x + (xsin(10x)) /50+ (cos(10x))/500+ c
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