La vieille amie Olivia a rendu visite à Sara
Nana a dit à Sara qu’Olivia avait téléphoné et voulait venir lui rendre visite samedi. Olivia était avec Sara de la sixième à la huitième année, mais les parents d’Olivia ont déménagé dans un autre quartier de la ville et les deux amis ont fini par aller dans des écoles différentes. Même s’ils étaient de bons amis, d’une manière ou d’une autre, ils ne se sont pas connectés après cela, même si Olivia avait toutes les informations de contact de Sara. Cela faisait presque deux ans qu’ils ne s’étaient pas vus. Nana avait aussi de bons souvenirs de cette fille.
Sara : Merci Nana. C’est l’Olivia Sanchez de ma huitième année ?
Nana : Oui, et je lui ai dit qu’elle pouvait venir samedi matin. J’aurais des samoussas prêts pour elle. Elle les aimait.
Sara : Oui, elle les aimait. Savez-vous qu’elle les appelait empanadas indiennes ? Je ferai en sorte de rester à la maison samedi pour être avec Olivia toute la journée si elle le souhaite.
Olivia est venue comme prévu. Elle avait un peu grandi comme prévu, mais rien d’anormal. Elle avait toujours une silhouette courte, rebondissait beaucoup et était toujours aussi gazouillante. Les deux amis étaient si heureux de se voir. Ils se souvenaient comme s’ils étaient ensemble hier. Ils avaient tellement de souvenirs à partager sur chaque garçon et chaque fille de ce collège et ils avaient aussi des questions sur où tout le monde était maintenant, ce qu’ils faisaient et avec qui ils sortaient. Bien sûr, en tant qu’adolescentes, elles étaient toutes les deux intéressées à parler des garçons. Olivia avait quelques garçons comme amis, mais aucun qu’elle pensait être un petit ami. Elle était ravie d’apprendre que Sara avait trouvé Johnny.
Olivia : Alors, comment vous êtes-vous rencontrés avec Johnny ?
Sara : Il habite à proximité sur le chemin de l’école et se rend à l’école en vélo tous les jours. Il m’a vu quelques fois sur le chemin de l’école, est descendu de son vélo et a commencé à marcher avec moi. Puis nous nous sommes revus à la cafétéria. Une chose en a entraîné une autre et maintenant nous allons à l’école ensemble tout le temps. Je suppose qu’il a aimé ce qu’il a vu.
Olivia : Est-il mignon ?
Sara : Écoute, je n’ai pas vu ta nouvelle école. A quelle distance est-ce?
Olivia : A un peu moins de trois kilomètres d’ici mais tu n’as pas répondu à ma question sur Johnny.
Sara : Je n’ai pas répondu parce que c’était une question idiote. Dites-vous quoi. Je veux voir ta nouvelle école. Nous ferons l’aller-retour à pied. Je vais demander à Johnny s’il veut venir. De cette façon, vous pourrez le rencontrer et me donner la réponse à votre propre question.
Sara a appelé Johnny. Il était plus qu’heureux de venir se promener avec eux. Ils marchèrent ensemble jusqu’à l’école d’Olivia. Bien sûr, Johnny est venu avec son nouveau vélo qui avait tous les gadgets. Comme l’école était à environ trois kilomètres, la promenade a donné aux deux filles un peu plus de temps pour bavarder et se découvrir.
L’école d’Olivia était triangulaire
Lorsqu’ils arrivèrent à l’école d’Olivia, Sara et Johnny furent émerveillés par la forme du bâtiment. Le lycée de Sara et Johnny avait un bâtiment circulaire mais celui-ci avait une base triangulaire. La façade de l’école allait d’est en ouest. Le mur latéral gauche était incliné et le côté droit était si étroit qu’il n’y avait presque pas de mur.
Sara : Quelle est la taille de cette école, quelle est sa superficie ?
Olivier : Je ne sais pas. Je n’y ai jamais pensé.
Johnny était tout excité. Il avait un nouveau projet pour son vélo – trouver la zone de l’école et il en parla à Sara et Olivia.
Olivia : Vous ne pouvez pas mesurer la longueur du mur du fond de l’école. Il y a une clôture qui vous empêche d’accéder à l’arrière. De l’autre côté de la clôture, il y a une grande entreprise avec des serrures de haute sécurité sur la porte de leur complexe.
Sara sourit comme si elle savait quelque chose
Sara sourit comme si elle savait quelque chose et dit à Olivia de ne pas s’inquiéter. Johnny a utilisé son vélo pour mesurer la longueur du mur avant à 100 mètres. Il a également constaté que l’angle entre les murs avant et latéraux était de 105° et que la longueur du mur latéral était de 70 mètres. Il pensait que c’était tout ce qu’il pouvait mesurer à cause des différentes restrictions mais Sara lui a dit que c’était suffisant. Ils ne pouvaient pas entrer à l’intérieur de l’école parce qu’elle était fermée parce que c’était un samedi. Ils décidèrent donc de retourner chez Sara. Sara et Olivia ont continué leur bavardage. Après tout, ils avaient beaucoup à rattraper après les deux ans. Johnny n’était pas vraiment dans cette conversation, mais il avait ensuite son vélo pour le garder engagé et heureux.
Les trois d’entre eux sont revenus à la maison de Sara. Bien sûr, Nana leur avait préparé les samoussas. Ils savouraient les collations quand Olivia les interrompit et leur demanda comment ils allaient trouver le quartier de son école.
Johnny a dessiné cette image (Fig. 5.1) et a dit : La base de l’école est un triangle avec le mur avant de 100 mètres, un mur latéral de 70 mètres et l’angle de 105° entre les deux murs. Sara, qu’est-ce qu’on fait ensuite ? Vous avez dit que c’était assez d’informations.
Sara a peaufiné la photo de Johnny
Sara : Modifions un peu votre image. D’abord, étiquetons-le. AB est le mur avant de l’école, AC est le mur latéral et BC est le mur arrière. L’angle BAC est de 105°. Je vais tracer une ligne hypothétique pour prolonger le front jusqu’en D, et tracer une ligne verticale à partir de C pour le croiser en D tel que l’angle ADC soit de 90° (Fig. 5.2).
Johnny l’a interrompu dès que Sara a dessiné ces lignes pointillées : Maintenant, c’est très simple. À partir de cette image, nous pouvons trouver à la fois – la longueur du mur du fond et la superficie de l’école.
Olivier : Je pense que oui. Angle DAC= 75° car il est complémentaire de l’angle BAC qui est de 105°. En utilisant les longueurs des côtés :
CD/CA = sin 75° et DA/CA = cos 75°. Quelles sont les valeurs du sin et du cos pour 75°.
Johnny : sin 75° = 0,9659 et cos 75° = 0,2588. Cela signifie CD = 0,9534 x CA = 0,9659 x 70 ou 67,61 mètres et DA = 0,2588 x CA = 0,2588 x 70 = 18,12 mètres.
Olivia : C’est chouette. Nous avons deux triangles à angle droit – L’un est DAC fait sur le côté gauche de l’école. Il a une hauteur de 67,61 mètres et une base de 18,12 mètres. Le second est le plus grand triangle DBC avec la même hauteur mais une longueur de 100 + 18,12 = 118,12 mètres.
Dimensions de l’école
Sara : Vous vous souvenez donc que l’aire de tout triangle est hauteur x base/2.
Johnny : Oui, je m’en souviens de mon cours de géométrie. Ainsi, la superficie du bâtiment scolaire est de 67,61 x 100/2 (hauteur x mur avant/2), soit 3380,7 mètres carrés. Voilà donc c’est fait. Olivia, je t’ai dit que Sara nous aiderait à comprendre ça. Maintenant, qu’en est-il du mur du fond.
Olivia : C’est facile. Rappelez-vous le théorème de Pythagore de la géométrie.
Johnny : Je m’en souviens et aussi Sara me l’a rappelé il y a deux semaines. Il est:
Hypoténuse2 = base2 + hauteur2. Pour le triangle DBC, ce serait
BC2 = DB2 + DC2 ou BC2 = 118,122 + 66,74 2 ou BC =136,1 mètres.
Ainsi, le mur du fond mesure 135,67 mètres de long.
Olivia : Je suis si heureuse et j’ai envie de sauter de joie. Je vais parler au bureau du directeur et afficher les longueurs des murs sur le tableau d’affichage de l’école. J’espère que ça ne vous dérange pas. Je vous en donnerai tout le crédit.
Johnny : Ne mentionnez pas nos noms, s’il vous plaît. Pourquoi des étudiants extérieurs viendraient-ils dans votre école pour ce type de mesures ? En plus, je n’ai fait que m’amuser avec mon vélo. De toute façon, je dois rentrer à la maison parce que ma mère doit m’attendre,
Sara : Olivia, vous avez fait tous les calculs, vous seul auriez pu les faire si nous n’étions pas là. Je n’ai dessiné que les pointillés. Johnny a raison. Ne mentionnez pas nos noms. Cependant, il y a encore une chose que vous devriez faire avant de parler aux gars de votre école.
Olivia : Qu’est-ce que c’est ?
Sara : Quelle sera votre réponse si le professeur de mathématiques vous demande pourquoi vous n’avez donné qu’un seul angle et pas les trois ?
Olivia : Parce que nous n’en avons mesuré qu’un.
Déterminer tous les angles
Sara a montré à Olivia le livre Trig pour montrer comment elle pouvait obtenir tous les angles de ce triangle. Olivia l’a lu avec de grands yeux comme si elle ne croyait pas qu’elle pourrait obtenir les deux autres angles. Elle a lu la règle appelée la loi des sinus : sin A/a = sin B/b = sin C/c et a dessiné cette image. Sur cette image, l’angle A était de 105° comme Johnny l’avait mesuré et le côté a = 136,1 mètres.
Comme sin A = sin 105° = 0,9659, la valeur de sin A/a = 0,007097. Ensuite, les valeurs de sin B/b et sin B/b doivent également être de 0,007097. avec c =70 mètres, sin B = 0,007097 x 70 = 0,4968 ou angle B = 29,8°. Sin C/c = 0,007097 = 0,7097 car c = 100 mètres ou angle C = 45,2°. Parce que 105 + 29,8 + 45,2 = 180 qui devrait être la somme de tous les angles d’un triangle, la réponse a été vérifiée.
Olivia : Merci Sara. Je vais maintenant afficher une note sur le tableau d’affichage avec les longueurs des trois côtés et des angles pour l’école.
Sara : Alors tout va bien. Tu ne m’as pas dit ce que tu penses de Johnny.
Olivia : Ne me rends pas jalouse. Il est mignon, intelligent et t’aime. J’aimerais avoir un petit ami comme lui.
Olivia a vu le directeur de l’école et a demandé la permission de mettre une note sur ce qu’elle avait découvert sur l’école. Le directeur lui a demandé de vérifier l’information auprès de son professeur de mathématiques. Elle l’a fait et a ensuite écrit une note sur ces faits intéressants sur l’école : la forme triangulaire obtuse, la longueur des murs, les angles entre eux et la superficie du bâtiment de l’école. Olivia a reçu de bons éloges de ses camarades de classe. Certains d’entre eux étaient curieux de savoir comment elle avait déterminé tout cela. Elle leur a tout dit. Bien sûr, seuls ses amis proches ont été au courant de sa visite avec Sara et des détails sur le mignon petit ami de Sara.
Défi – Le drone de Johnny
Comme Johnny avait si bien réussi à l’école le semestre précédent, ses parents lui ont offert un drone avec une télécommande. Il voulait le piloter et a demandé à Sara de l’accompagner au parc. Bien sûr, Sara a accepté parce qu’elle adorait être avec lui. Elle a également apporté le sextant de son père. Johnny pilotait le drone et l’avait immobile et a dit à Sara qui était assise à côté de lui : “Je me demande à quelle distance se trouve le drone.” Sara a mesuré que le drone était à un angle de 45° par rapport au sol d’où elle se trouvait. Elle a marché environ 20 mètres vers le drone et maintenant l’angle avec le sol était de 60°. Elle aurait dû marcher encore plus loin pour être sous le drone. À partir de là, Sara a dit à Johnny à quelle distance le drone était de lui. Pouvez-vous comprendre ce que cette fille prodige a fait ?
Solution : Dessinons un triangle à partir de la première position de Sara en A, de la deuxième position à 20 mètres en B et du Drone en C .
Prolongez la ligne AB vers D.
Soit : Distance AB = 20 mètres, angle CAB = 45°, angle CBD = 60° (notez que Sara devrait marcher plus loin vers le point D pour être sous le drone.
Maintenant, dans le triangle ABC, angle A = 45°, angle B = 180° – 60° = 120° (angle complémentaire), et angle C = 180°- 45°-120° = 15° (somme de tous les angles de un triangle fait 180°).
Selon l’identité trigonométrique appelée loi des sinus :
péché A/a = péché B/b = péché C/c.
Côté opposé à l’angle B = b (AC), et opposé à l’angle C = c (AB = 20 mètres).
D’après la loi des sinus, sin B/b = sin C/c ou sin 120°/b = sin 15°/20 ou 0,866/b = 0,259/20 ou
b/0,866 = 20/0,259 ou b = 0,866 x20/0,259 = 66,9 mètres.
Le drone de Johnny est à environ 66,9 mètres de lui.
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