Johnny a gardé un secret pour Sara
Sara est amoureuse de Johnny. Ils sortent ensemble depuis près de quatre ans. Sara et Johnny ont même organisé une grande fête de fin d’études secondaires pour leurs amis proches bien avant la fin de l’année scolaire. Ils se racontent tout sur les événements de leur vie, enfin presque tout. La vie a continué comme d’habitude mais c’est la seule fois où ils se sont disputés quand Sara est venue chez Johnny après l’école et ils étaient assis et discutaient.
Johnny : Je suis heureux d’avoir très bien réussi à l’école, et c’est en grande partie grâce à vous. Je vous ai dit que mon père voulait que j’aille à XYU et aussi que j’ai été admis.
Sara : Oui, je sais. Je voulais aussi entrer dans un programme scientifique à ZYU et j’ai reçu une lettre d’admission de leur part la semaine dernière. Tu le sais. Je vous ai aussi dit il y a longtemps que Nana m’avait donné de l’argent et que mes parents avaient mis de l’argent dans un fonds de bourses d’études. Ensemble, cela devrait couvrir au moins 70% du coût, mais Nana participerait si j’en avais besoin. Je pourrais aussi obtenir une bourse d’excellence de l’université.
Johnny : Oui, tu m’as parlé du fonds de bourses d’études il y a presque deux ans. À cette époque, je vous ai également dit que mes parents avaient un fonds de bourses d’études similaire pour moi. J’ai aussi un fonds secret dont je ne vous ai pas parlé.
Sara s’est fâchée contre Johnny
Sara : Depuis quand avons-nous commencé à nous cacher des secrets ? Je vous ai toujours tout dit sur moi – où je veux aller à l’université, qui va la financer, comment mes parents se sont rencontrés, sur ma Nana et tout le reste. Pourquoi me caches-tu des secrets ? Je vais à la maison.
Sara était assez en colère et est partie. Johnny a essayé de l’appeler au téléphone mais elle l’a coupé. Elle ne savait pas pourquoi Johnny avait été secret. Habituellement, elle était assez stable et bien équilibrée, mais elle ne pouvait pas supporter que Johnny lui cache des secrets. Elle pensa : « Qu’est-ce qu’il gardait secret d’autre ? S’il a des amies secrètes, il peut aller en enfer. Les jours passaient et elle ne parlait pas à Johnny. Elle a même pris un chemin différent vers et depuis l’école pour ne pas le rencontrer.
Quelques jours plus tard, Sara était à la maison et la sonnette retentit. C’était Johnny. Nana l’avait laissé entrer. Johnny avait un bout de papier à la main.
Johnny : Sara, je suis désolé. J’aurais dû vous en parler beaucoup plus tôt. Voici ce que je ne vous ai pas dit.
Sara : Pourquoi tu ne m’en parlerais pas ? Il dit que vous avez beaucoup plus d’argent que dans votre fonds de bourses d’études. Alors Johnny, tu penses que j’aurais été jaloux de toi ? Je suis très content pour toi mais pourquoi me le cacher ?
Johnny : Parce que je suis stupide. Je ne comprends pas ce qu’il dit.
5 % d’intérêts annuels composés en continu
Sara : Il est dit qu’au moment de votre naissance, quelqu’un vous a fait un cadeau de 10 000 $ qui était de l’argent déposé dans une banque qui vous donnerait 5 % d’intérêts annuels composés en continu jusqu’à ce que vous retiriez l’argent.
Johnny : C’est ce que je ne comprends pas “intérêt composé en continu”. Jamais entendu cela. C’est pourquoi je me suis senti stupide de vous en parler.
Sara : Viens ici mon amour.
Sara a donné un long baiser à Johnny, puis a dit : Une fois, mon père m’en a parlé. Je ne comprends pas très bien, mais nous allons le découvrir ensemble.
Johnny se sentit soulagé de ne pas être si stupide après tout. C’était quelque chose que même son as des maths idole Sara ne savait pas, et elle avait une moyenne pondérée cumulative de 98 %. Il n’était pas seul. Ils ont bavardé et se sont embrassés pendant un moment, puis Johnny est rentré chez lui. Le lendemain matin, Sara n’a pas évité Johnny et ils sont allés à l’école ensemble. Sara a dit à Johnny qu’elle avait parlé à son père qui lui avait tout expliqué. Cela prendrait du temps et ils pourraient en parler après l’école. Après l’école, Sara est allée avec Johnny chez lui où ils ont grignoté et bu des boissons gazeuses, puis ont commencé à parler du mystère “continuellement composé” de Johnny.
Sara : La façon dont papa me l’a expliqué impliquait un peu d’algèbre de base et certaines des choses dont nous avons parlé lorsque nous avons planifié notre fête de remise des diplômes.
Johnny : Quoi ? Qui inviter parmi nos 100 amis ou qui est assis à côté de qui ?
Développement binomial
Sara : Les deux, principalement à propos des combinaisons, mais commençons par quelque chose que vous connaissez. Que vaut (a + b)2 ?
Johnny : C’est simple – vous multipliez a + b par a et par b, puis additionnez les deux ensemble comme
(a + b) x a = a2 +ab, (a + b) x b = ab +b2, puis additionnez-les pour obtenir
(a+b) x (a +b) = a2 + 2ab + b2.
Sara : Nous pouvons déterminer les coefficients des termes a2, ab et b2 en considérant différentes combinaisons de b. Parce que des combinaisons de b peuvent se produire avec a ou avec b, il y a un total de deux types de choix mais aucun d’eux ne donne a2. Alors le coefficient du terme a2 peut être écrit comme 2C0 qui est 2!/(2!0!) ou 1. Le terme ab vient d’un choix – combinaison de b avec a. Par conséquent, le coefficient de ab pourrait être écrit comme 2C1 qui est 2!/((2-1)!(2-1)!) ou 2/(1 x 1) qui est 2. Pour le terme b2, vous devez utiliser b deux fois sur le total deux fois et ainsi son coefficient devient 2C2 ou 2!/(0!2!) ou 1.
Johnny : Pourquoi jouer avec tout ça, alors que je peux obtenir la réponse comme je l’ai fait ?
Sara : Johnny boy, je fais ça pour développer un patron. Maintenant, qu’est-ce que (a+b)3 ?
Johnny : Faites la même chose – multipliez (a+b) par a+b deux fois et obtenez la réponse
ou je pourrais le faire en sachant que (a+b)2 = (a2+ 2ab + b2)
(a2+ 2ab + b2) x a = a3 + 2a2b +ab2
(a2+ 2ab + b2) x b = a2b + 2ab2 +b3
En additionnant les deux équations, j’obtiens
(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3 ab2 + b3.
Sara : C’est le même modèle, 3C0 choisit qui est 1 pour a3, 3C1 qui est 3 pour 3a2b, 3C2 qui est 3 pour ab2 et 3C3 qui est un pour b3.
Johnny : Je comprends, mais quel est le problème ?
Sara : Maintenant que nous connaissons le modèle, développons (a+b)6. Vous le faites à votre façon, multipliez 6 fois, je vais suivre ce schéma pour obtenir la réponse.
Très rapidement Sara a écrit :
(a+b)6 = 6C0 a6 + 6C1 a5b +6C2 a4b2 +6C3 a3b3 + 6C4 a2b4 + 6C5 ab5 +6C6b6
= a6 + 6 a5b +15 a4b2 + 20 a3b3 + 15 a2b4 + 6 ab5 + b6.
Johnny a lutté pendant un moment, puis a trouvé la même réponse, mais a ensuite dit : “Sara, je sais que tu es plus intelligente que moi, mais qu’essayes-tu de prouver ?”
Sara : Vous savez que cette tendance peut continuer, et pour que vous puissiez écrire
(a + b)n = nC0an + nC1 a(n-1) b+ nC2 a(n-2) b2 ………..+ nCn-2 a2b(n-2) +nCn-1 abn-1 + nCnbn.
Vous pouvez également le résumer comme le théorème binomial
Intérêts composés
Johnny : Je comprends, mais qu’est-ce que cela a à voir avec mon problème de composition continue ?
Sara : Si nous disons que a est le principal et b est égal au taux d’intérêt et que la capitalisation se produit n fois, nous pourrions calculer le montant final comme (a + b)n.
Johnny : Oui, c’est l’idée de base de l’intérêt composé. Je le sais.
Sara : Le taux d’intérêt qui vous est accordé est de 5 % par an. Donc, si quelqu’un devait déposer un dollar, à la fin de la première année, il aurait $(1+.05) et à la fin des deux années, ce serait $(1 + .05)2. De la même manière lorsque l’argent est dans le compte depuis 20 ans. vous obtiendriez le montant $(1 + .05)20.
Johnny : Je le sais. J’ai déjà calculé ça avec ma calculatrice 1.0520 = 2.6533. J’obtiendrais 26533 $. Je n’avais pas besoin de votre théorème binomial pour cela.
Sara : Donc, si je vous dis que vous obtiendrez plus d’argent, cela vous rendra-t-il heureux ou est-ce que j’obtiendrai cet argent supplémentaire ?
Johnny : Non, tu ne reçois pas l’argent supplémentaire parce que la banque le trouvera et me le donnera si elle pense que j’ai gagné plus d’intérêts.
Sara : Vous avez entendu dire que certaines banques annoncent qu’elles vous offrent un taux annuel de 5 %, mais qu’elles le composent mensuellement ?
Johnny : Oui, j’en ai entendu parler. Ainsi, l’intérêt mensuel serait de 0,05 divisé par 12, soit 0,004166667 et la durée est de 20 x 12, soit 240 mois. Dans ce cas, j’aurais besoin de développer (a + b)n, avec a = 1, b = 0,05/12 ou 0,004166667 et n = 240. Wow c’est beaucoup de composition. Il faudrait faire beaucoup de multiplications. Je vois où l’on pourrait utiliser le développement binomial. En le composant mensuellement, ils me donneraient 10 000 $ x (1,00416667) 240, ce qui revient à 27 126 $, soit 593 $ de plus que ce que je pensais obtenir auparavant. Sara, la capitalisation mensuelle m’a donné 593 $ de plus.
Sara : Pour la composition quotidienne, votre intérêt quotidien deviendra 0,05 divisé par 365, mais il sera composé 7300 fois. Quel est (1+.05/365)7300.
Johnny était excité et il a changé pour son ordinateur portable pour faire ces calculs. Le nombre (1 + 0,05/365) 7300 s’est avéré être 2,7181, ce qui signifiait qu’avec la composition quotidienne, il obtiendrait 27181 $, soit encore plus de 27126 $ qu’il obtiendrait de la composition mensuelle. Il se demanda s’ils accepteraient de composer toutes les heures et demanda à Sara.
Sara : Pourquoi s’arrêter à la capitalisation horaire ? Disons s’ils composaient chaque seconde. Qui se soucie s’ils ne le font pas ? C’est amusant de penser à tout ce que vous pourriez obtenir de plus.
Johnny a compris que l’augmentation par seconde serait minime (0,05/365/24/3600) mais la composition se produira 20 x 365 x 24 fois 3600, soit 567 648 000 fois. Il a donc calculé que le montant final était de 10 000 $ x 2,4596 ou 27 183 $, soit seulement deux dollars de plus que la capitalisation quotidienne.
Développement constant et binomial d’Euler
Sara : Pour la composition quotidienne, votre intérêt quotidien deviendra 0,05 divisé par 365, mais il sera composé 7300 fois. Quel est (1+.05/365)7300.
Johnny était excité et il a changé pour son ordinateur portable pour faire ces calculs. Le nombre (1 + 0,05/365) 7300 s’est avéré être 2,7181, ce qui signifiait qu’avec la composition quotidienne, il obtiendrait 27181 $, soit encore plus de 27126 $ qu’il obtiendrait de la composition mensuelle . Il se demanda s’ils acceptaient de composer toutes les heures et demandaient à Sara.
Sara : Pourquoi s’arrêter à la capitalisation horaire ? Disons s’ils composaient chaque seconde. Qui se soucie s’ils ne le font pas ? C’est amusant de penser à tout ce que vous pourriez obtenir de plus.
Johnny a compris que l’augmentation par seconde serait minime (0,05/365/24/3600) mais la composition se propose 20 x 365 x 24 fois 3600, soit 567 648 000 fois. Il a donc calculé que le montant final était de 10 000 $ x 2,4596 ou 27 183 $, soit seulement deux dollars de plus que la capitalisation quotidienne.
Développement constant et binôme d’Euler
Puisque 1n-k = 1, (1+1/n)n = somme de (nCk (1/n)k) de k =0 à n ou on peut écrire
Lorsque n →∞ (1+1/n)n= 1+ 1 + 1/2 +1/6 +1/24 +1/120………………………….
Cette somme s’appelle le nombre d’Euler ou e. Il ne peut pas être calculé exactement mais se rapproche de 2,7183. Donc, 27 183 $ est approximativement le maximum que vous pouvez gagner, peut-être quelques centimes de plus si nous calculons la série en utilisant beaucoup de termes.
Johnny : J’ai deux questions. Tout d’abord, est-ce le même nombre d’Euler dont nous avons parlé lorsque nous faisions des fonctions logarithmiques ?
Sara : Oui, les logarithmes naturels sont en base e au lieu de 10. Quelle est votre deuxième question ?
Johnny : On a calculé tout ça pendant 20 ans. Et si je veux retirer mon argent maintenant, soit 18 ans après le dépôt initial ?
Intérêt composé continu
Sara : l’intérêt composé continu est basé sur la formule :
A = P ert, où P est le principal, r est le taux disons 5% ou 0,05 par an pour vous et t est le temps – dans ce cas le nombre d’années, et est le montant final avec intérêt.
Johnny : Donc, avec r = 0,05 et t = 18 ans, je n’obtiendrais que 24 596 $, mais avec t = 20 ans, j’obtiendrais 27 183 $. Je pense aussi que si je me retirais après 50 ans, j’obtiendrais 121 825 $.
Sara : Tu pourrais mais tu as de la chance que j’aie aussi discuté de cette partie avec mon père.
Johnny : Qu’est-ce que c’est ?
Sara : Impôt sur le revenu. En ce moment, tu as 18 ans et tu vas à l’école. Vous avez très peu d’autres revenus à proprement parler. Il n’y a pas d’impôt sur le revenu pour les petits cadeaux comme celui-ci, mais les intérêts qu’ils rapportent sont considérés comme un revenu imposable.
Johnny : Donc, si je tire maintenant, mon revenu sera de 24 596 $ moins 10 000 $, soit 14 596 $. Je me demande combien d’impôt sur le revenu je devrai payer.
Sara : Très peu car tu n’as pas beaucoup d’autres revenus mais si tu retires plus tard, tu auras des revenus du fonds de bourses puis de tes jobs. Le montant de l’impôt sur le revenu ne cessera d’augmenter.
Johnny : Alors, tu es en train de dire que je devrais retirer cet argent maintenant ?
Sara ; Je n’ai pas dit ça. L’une des possibilités est de placer cet argent dans un compte d’épargne libre d’impôt. Si vous faites cela, vous devrez payer de l’impôt sur le revenu sur le montant gagné jusqu’à présent, mais vous pourriez continuer à gagner plus d’intérêts en franchise d’impôt.
Johnny : Mais si je le fais maintenant, je dois maintenant payer l’impôt sur le revenu avec un autre argent.
Sara : Parle à ton père. Je suis surpris que vous n’ayez pas encore eu cette conversation avec lui. Je suis sûr qu’il se fera un plaisir de vous aider. De cette façon, vous pouvez avoir votre gâteau et le manger aussi.
Johnny : Merci Sara. Je suis vraiment désolé d’avoir gardé cela secret pour vous jusqu’à maintenant. Je vais parler à mon père.
Sara : Je pense que vous pouvez conserver l’argent dans le compte d’épargne libre d’impôt afin de le retirer à l’avenir lorsque nous achèterons une maison ensemble. Je rigole!
Johnny lui a dit qu’elle était un renard et lui a fait un gros câlin et un long baiser.
Défi de l’héritage de Farah
Farah, une élève de 11e année, était assise à la cafétéria et discutait avec ses amis. Elle se vantait de son héritage. Son grand-père lui avait laissé un héritage de 120 000 $ qui a été déposé à son 10e anniversaire, mais elle y aurait pleinement accès à son 18e anniversaire. Le montant déposé rapporte un taux d’intérêt annuel composé de 5 %. Déterminez le montant à son 18e anniversaire en utilisant le développement binomial.
Solution : Le montant à la fin de la nième année est donné par 120 000 x (1+0,05)n car l’intérêt est de 5 % par an composé annuellement.
L’expansion binomiale peut être écrite comme la formule
(a + b)n = nC0 an + nC1 a(n-1) b + nC2 a(n-2) b2 ………..+ nCn-2 a2b(n-2) +nCn-1 abn-1 + nCn bn
En utilisant a =1 et n = 8 qui est la différence entre les années 18 et 10, cette expansion devient
8C0 + 8C1 b + 8C2 b2 + 8C3 b3+ 8C4 b4+ 8C5b5+ 8C6 b6 + 8C7 b7+ 8C8 b8
= 1 + 8b + 28b2 +56b3+ 70b4+ 56b5+ 28b6 + 8b7+ b8
Avec b = 0,05, il devient 1. 1,477455. Le montant sera donc de 120 000 x 1. 1,477455 ≈ 177295 $.
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