Sara était intelligente et populaire
Sara était très populaire dans son lycée. Elle n’était pas une pom-pom girl, pourtant tout le monde à l’école la connaissait et l’adorait – en partie parce qu’elle était intelligente et aussi parce qu’elle était gentille. Elle avait aidé tant de ses camarades de classe et étudiants juniors sans les rabaisser. Au cours de la dernière année scolaire, Sara a obtenu la meilleure note dans toutes les matières. Bien sûr, il y avait des étudiants qui étaient jaloux d’elle, mais même ils parlaient d’elle en bien parce qu’elle les avait aidés à un moment donné. C’est pour ces raisons qu’elle a été le major de promotion de la classe. Après le discours de remise des diplômes qu’elle a prononcé, sa célébrité à l’école a atteint des sommets encore plus grands.
Sara était amoureuse de Johnny. Ils sortaient ensemble depuis près de quatre ans. Johnny était également très populaire en raison de sa participation aux sports et de sa nature sociale mais aussi parce que ses camarades de classe savaient comment, au cours des deux dernières années, il s’était transformé d’étudiant C en étudiant avec une moyenne de plus de 85 %. Il a également obtenu son diplôme avec Sara.
Soirée de remise des diplômes conjointe pour Sara et Johnny
Les parents de Sara étaient très fiers des réalisations de leur fille. Encore plus fière était sa Nana qui avait pratiquement élevé Sara. Nana a proposé une fête de remise des diplômes mémorable pour Sara et elle voulait payer pour cela. La mère de Johnny voulait aussi organiser une fête super duper pour sa remise des diplômes. Sara et Johnny ont proposé que les deux fêtes soient combinées car elles finiraient par inviter presque les mêmes personnes dans les deux fêtes de toute façon. Nana de Sara et la mère de Johnny ont accepté cette idée avec joie. Nana a également suggéré que seuls les amis de Sara et Johnny soient invités. Il n’était pas nécessaire que les parents et leurs amis soient présents. Ce serait bien que les jeunes s’amusent. Cependant, elle ne voulait pas que Sara passe la nuit à cause de la fête. Ils ont décidé d’une date et d’une heure, puis ont réservé une place pour la fête. En fait, le lieu de la fête était une salle de réunion dans un hôtel. La salle avait également un grand écran sur l’un des murs, et tout l’équipement pour montrer des photos ou des films. Ils auraient cette chambre pour eux seuls.
Comment affiner la liste des invités ?
Sara et Johnny ne voulaient pas inviter le monde entier à la fête, juste quelques amis très proches. Ils ont convenu que le nombre de personnes à la fête serait de 12, y compris eux-mêmes. Il y avait un problème – comment réduire la liste des invités car les deux étaient très populaires mais ensemble, ils ne pouvaient inviter que 10 personnes.
Sara : J’ai 50 amis à l’école qui voudraient être invités.
Johnny : Pareil pour moi. Donc, ensemble, nous avons 100 personnes dont nous voulons inviter 10. Savez-vous combien de combinaisons différentes existe-t-il pour que 10 amis soient invités sur 100 ?
Sara : Tu plaisantes ou tu veux vraiment comprendre ça ?
Johnny : Juste curieux. Oui, je veux savoir.
Sara : Avez-vous déjà étudié ce type de mathématiques ?
Johnny : Je ne crois pas. Vous savez tous les cours que j’ai suivis.
Sara : Si vous êtes sérieux au sujet de cette curiosité, je vais résoudre ce problème avec vous. Mais pour donner un sens aux choses, permettez-moi de commencer très petit. Supposons qu’il y ait 7 personnes, dont 5 doivent être invitées. Commençons à comprendre en disant qui est assis au siège numéro 1.
Johnny : N’importe lequel des 7 pourrait s’asseoir au siège 1. Je n’y vois pas de problème.
Sara : Il y a donc 7 possibilités. Pour chacune de ces situations, combien de possibilités existent pour le siège 2.
Johnny : Pour le siège numéro 2 il y a 6 possibilités car une personne est déjà engagée sur le siège numéro 1. Je comprends alors pour chacune de ces possibilités, il y en aurait 5 pour le troisième siège, et ainsi de suite jusqu’à ce que pour le dernier siège il y ait être seulement 3 possibilités.
Sara : Ainsi, le nombre total de possibilités serait de 7 x 6 x 5 x 4 x 3. En mathématiques, nous utilisons le terme factoriel. La factorielle pour un entier n est n x (n-1) x (n-2)…….1, et elle s’écrit n ! Ainsi, la disposition des sièges que nous avons choisie s’appellera la permutation 7P5.
7P5 = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1/(2 x 1) = 7!/2! = 2520
Johnny : Mais peu importe qui s’assoit sur quelle chaise, juste qui est invité.
Sara : Je sais, j’y arrive – j’y vais par étapes. Maintenant, disons s’il y a 5 personnes et 5 sièges.
Johnny : Comme avant, il y a 5 possibilités pour le siège 1, 4 pour le siège 2, 3 pour le siège 3 et 2 pour le siège 4 et seulement 1 pour le siège 5. Le total des possibilités pour cet arrangement sera de 5 !.
Sara : Revenons maintenant à 5 personnes invitées sur 7. Nous avons déjà dit qu’il y en a 5 ! possibilités de disposition des sièges pour 5 amis. Nous savons également que le nombre total de possibilités de choix et de disposition des sièges pour 5 amis sur 7 est de 7P5. Quand on se fiche de savoir où s’assoit quelqu’un mais seulement de savoir qui sera invité, je peux diviser la permutation 7P5 par 5 !. Par conséquent, je dirais que pour l’invitation, seul le nombre de combinaisons possibles est :
7C5 = 7P5/5 ! = 2520/5 ! = 21
Johnny : Il y a beaucoup de combinaisons différentes pour les invitations, même pour 5 sur 7. Laissez-moi voir si je peux écrire en général ce que vous avez fait pour n amis parmi lesquels r doivent être invités.
Si on tient compte de la disposition des sièges, on écrit : nPr = n!/(n-r) !
Si on veut les combinaisons sans la disposition des sièges, on écrit : 7C5 = n!/((n-r)! x r!)
Sara : Johnny mon amour, tu comprends vite.
Johnny : Parce que nous avons 100 amis et que nous ne voulons en inviter que 10, juste par curiosité, comment cela se passerait-il ? Cela signifierait n = 100 et r = 10.
Sara : 100C10 = 100!/(10! x 90!) est un grand nombre. 100 ! est si grand que de nombreuses calculatrices vous donneront un message d’erreur. J’utilise un programme sur mon ordinateur portable pour 100C10. La réponse est 1,73 x 1013, soit plus de 17 000 milliards de combinaisons. N’oubliez pas qu’il s’agit du nombre de combinaisons pour les invitations uniquement sans tenir compte des préférences de sièges. Si nous incluons également la disposition des sièges, ce nombre sera encore plus grand. 100P10 = 100!/ 90! ou 6,28 x 1019.
Johnny : Tant pis pour cette curiosité. Faisons plus simple. Supposons que vous choisissiez 5 de vos 50 amis et que je choisisse 5 de mes 50 amis. Le nombre de toutes les combinaisons possibles pour les invitations sera-t-il plus petit ?
Sara : Uniquement pour mes invitations il y aura 50C5 = 50 !/(5 ! x 45 !) soit 2 118 760 combinaisons possibles. Idem pour le vôtre. En supposant que nous n’ayons pas d’amis communs dans notre liste, pour l’un d’entre nous seulement, il y aura 2 118 760 combinaisons possibles. Ainsi, les combinaisons combinées seront 2118760 x 2118760 ou 4,49 x 1012. Le nombre est légèrement inférieur à 1,73 x 1013, mais nous ne voulons toujours rien gérer.
Johnny : Écoutez, il est clair que cette méthode ne fonctionnera pas. Aussi, nous ne devrions inviter que les amis que nous aimons le plus. Pourquoi ne choisissons-nous pas chacun 5 personnes qui nous plaisent le plus ?
Sara : Pas si simple. Si nous invitons un ami, est-ce que nous invitons également sa petite amie ou son petit ami ?
Johnny : Bien sûr mais après ça se limite pour chacun de nous à n’inviter que deux amis et leurs rendez-vous. Chacun de nous aura encore une personne de plus à inviter. Pourrions-nous inviter quelqu’un qui ne sort avec personne ?
Sara : Comment se sentiraient-ils si tout le monde était là avec un rendez-vous, sauf eux ?
Johnny : Cela laisse deux options. La première est que nous invitons un couple de plus ensemble.
Sara : C’est quoi l’autre ?
Johnny : Invitez les nerds Joe et Pete. Ils sont de bons amis les uns avec les autres. Ils ne se soucieraient pas si d’autres venaient avec une date. D’une certaine manière, ils sont divertissants.
Sara : D’accord. Tu me dis tes deux amis que tu veux inviter.
Johnny a nommé deux amis, puis Sara a fait de même. De cette façon, il n’y avait pas de duplication dans la liste des amis invités.
Invités finaux et disposition des sièges
Sara : Voulons-nous décider de la disposition des sièges ? Nous laissons un espace ouvert d’un côté pour que nous puissions tous voir l’écran. De cette façon, nous n’avons pas à le considérer comme un cercle. Pour les sièges aléatoires, il existe des possibilités 12P12. Vous savez, cela revient à près de 500 millions. De plus, les sièges aléatoires ne se produiront pas même si nous demandons à chacun de s’asseoir où bon lui semble. Les couples qui se réunissent seront probablement assis ensemble de toute façon. Il en sera de même pour Joe et Pete.
Johnny : Pourquoi ne disons-nous pas de s’asseoir n’importe où sauf ensemble à chaque personne et à son rendez-vous ? Il en va de même pour Joe et Pete. Cela rendra possible la disposition des sièges 6P6.
Sara : Ce nombre est 720 mais il y a une erreur dans vos calculs. Nous n’avons pas décidé si le garçon s’assiéra à droite et la fille à gauche ou l’inverse. Si nous tenons compte de ce détail, le nombre de possibilités sera de 720 x 720 car n’importe quel garçon peut s’asseoir ou non à la droite de sa petite amie. Chaque paire peut avoir un choix différent à cet égard. Cela représente donc plus d’un demi-million de permutations différentes.
Johnny : Et si on ne laissait pas une zone libre et qu’on formait un cercle ? Cela ferait-il plus de combinaisons ou moins?
Sara : S’il y en a n ! permutations linéaires, il y aura (n-1) correspondant ! les circulaires. Cela changera le nombre de permutations de 6 ! à 5 ! ou 120. Mais si vous voulez distinguer qui est assis à gauche de qui est assis à droite dans chaque paire, il y aura 120 x120 ou 14400 possibilités.
Johnny : C’est déroutant. Voulez-vous qu’il en soit ainsi ou imposer des conditions supplémentaires dans la disposition des sièges ?
Sara : Et si je m’asseyais à votre gauche et que juste en face de moi se trouve Joe et en face de vous se trouve Pete. Les amis que j’invite s’assoient à ma gauche et ceux que vous invitez s’assoient à votre droite. Ils seront peut-être plus à l’aise ainsi.
Johnny : En supposant que les couples soient assis l’un à côté de l’autre, cela fait 4 possibilités de votre côté et 4 du mien. C’est un total de 16 possibilités.
Sara : Êtes-vous à l’aise avec ça ?
Johnny : Je pourrais vivre avec ça.
Tous les invités étaient conviés. Tout le monde est venu et a bien dîné. Ils se souvenaient pendant des heures de chaque souvenir de leurs années de lycée. Certains d’entre eux avaient des enregistrements d’événements stockés dans différents médias et ils les montraient à tout le monde. Ils ont tous apprécié et plaisanté.
Joe a raconté une blague.
Joe a également raconté une blague. Un professeur de mathématiques a demandé à sa femme la combinaison d’une serrure. Elle a dit “35-25-15”. Le Prof a dit à sa femme que la combinaison ne fonctionnait pas. La femme lui a demandé: “Quels numéros avez-vous essayé?” Il a dit “15-25-35”. Elle a dit au professeur : “Chérie, je ne sais pas ce que je vais faire de toi.” Pete a commencé à rire de façon hilarante en disant. “Ha, ha, combinaison!”
Défi1. Déterminez la valeur de 50001!/49999!.
Solutions 1. Vous ne pouvez pas le faire simplement en déterminant les valeurs des deux factorielles à l’aide d’une calculatrice, puis en plongeant le numérateur par le dénominateur. Essayez-le, vous obtiendrez un message d’erreur car les valeurs sont très grandes. Faisons-le de cette façon
50001!/49999!. = (50001 x 50000 x 49999 !)/(49999 !) = 50001 x 50000 = 2500050000.
Défi 2. Vous devez suivre 5 matières ce semestre. Vous avez le choix entre 8 matières au total, sauf que vous devez prendre l’anglais comme matière obligatoire. Quelles sont les combinaisons totales possibles parmi lesquelles choisir ?
Solutions 2. L’anglais étant obligatoire n’est à considérer ni dans le nombre de matières ni dans le nombre de choix. Il faut donc choisir 4 matières sur 7. Le nombre de choix est de :
7C4 = 7!/(4! x (7-4)!) = 7 x 6 x 5 x 4……1/((4 x 3…1) (3 x 2 x 1) = 7 x 6 x 5/ (3 x 2 x 1) = 35.
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