Rêver
Johnny était vraiment enthousiasmé par son voyage au réservoir d’eau. Il était impressionné par la façon dont Sara lui avait montré comment déterminer la hauteur d’une tour en mesurant l’angle et la distance. Il est resté dans sa tête que Sara lui a dit qu’il pouvait mesurer la hauteur de n’importe quelle tour de cette façon – Statue de la Liberté à New York, C.N. Tower à Toronto, Tour Eiffel à Paris ou encore Qutab Minar à Delhi. Aussi qu’il pouvait rechercher les hauteurs de ces lieux et estimer les angles à partir de différents endroits dans les villes en utilisant les distances de la carte. Il n’arrêtait pas de rêver de ça toute la nuit.
Le matin, Sara et Johnny se rendaient à l’école à pied – bien sûr, Johnny était sur son vélo comme d’habitude. Il a raconté son rêve à Sara qui a dit qu’ils devraient en parler après l’école. Après l’école, Sara est rentrée chez elle et a ensuite téléphoné à Johnny pour lui demander si elle pouvait venir. Johnny ne savait pas ce qu’elle avait fait. Elle est venue avec un grand sourire sur son visage.
Sara : Johnny, j’ai parlé à mon ami Internet Jaque DeGras à Paris et je lui ai parlé de ton rêve.
Johnny : Qu’est-ce qu’il a dit ?
Le projet de Sophie
Sara : Sa copine Sophie a fait ce qu’il a appelé « un projet scolaire en géographie » l’année dernière à ce sujet. Il m’a présenté Sophie. Elle était ravie que quelqu’un d’outre-Atlantique s’intéresse à son projet. Elle a mesuré les angles à l’aide d’un sextant et les distances à partir de Google Maps. Elle m’a tout expliqué et m’a envoyé les données que j’ai sur mon portable.
Johnny : Tu as fait tout ça aujourd’hui après l’école ?
Sara : Oui, ça aide d’avoir des amis à certains endroits.
Johnny : Alors qu’est-ce qu’elle a fait exactement dans son projet de géographie ?
Sara : Voici le premier plan du quartier de la Tour Eiffel qu’elle m’a envoyé, Un itinéraire de promenade pour les touristes y est marqué. Elle est partie de l’hôtel Duquesne Eiffel et l’a appelé le point X. Puis elle est allée au point Y qui était sur la rue Desaex, et enfin à un endroit beaucoup plus proche de la tour qu’elle a appelé Z. Voici sa deuxième photo de la même carte.
Johnny est impressionné par la carte de Sophie
Johnny : Je vois, la carte a une échelle indiquant 200 mètres. Fille intelligente, elle a juste tracé les lignes sur la carte du milieu de la tour aux points X, Y et Z. À partir de la longueur de ces lignes et de l’échelle, elle a calculé à quelle distance elle se trouvait.
Sara : Oui, X était à 1156 mètres, Y à 356 mètres et Z à 177 mètres. Voici un croquis de ce qu’elle a fait ensuite.
Johnny : Je vois qu’elle a mesuré deux angles à partir du point X – un du sol au sommet de la tour (angle XAB) et l’autre du sol au premier étage (XAC). Ensuite, elle a fait la même chose pour les points Y et Z. Son tableau contient ces données.
| Spot | Distance de la tour – d | Angle pour la tour | Angle pour la base |
| X | 1156 meters | 15.7⁰ | 2.9⁰ |
| Y | 356 meters | 42.3⁰ | 9.3⁰ |
| Z | 177 meters | 67.7⁰ | 23.6⁰ |
Sara and Johnny calculate height of the tower
Sara: Since the tower is vertical to the ground, we can say triangle XAB, a right angle triangle with the base XA = d and the height of the tower AB = h.
Johnny: Yes, and the same will hold for all of these right angle triangles. Then height/base = tan (XAB) and h = d tan (XAB). This will give us all the heights. Let us put them in a Table.
| Spot | d en meters | Tour Eiffel | Premier étage | ||
| Angle | Hauteur | Angle | Hauteur | ||
| X | 1156 meters | 15.7⁰ | 325 meters | 2.9⁰ | 59 meters |
| Y | 356 meters | 42.3⁰ | 324 meters | 9.3⁰ | 58 meters |
| Z | 177 meters | 67.7⁰ | 324 meters | 23.6⁰ | 58 meters |
Sara : Johnny tu l’as fait. Voici votre rêve devenu réalité. Aussi, la hauteur donnée pour la tour Eiffel est de 324 mètres. Vous avez donc la bonne réponse.
Johnny : Merci Sara. Nous devrions également remercier Sophie.
Sara : Je l’ai déjà fait. Elle était également très heureuse de concrétiser votre rêve. Je pense qu’un week-end on devrait aller voir la Statue de la Liberté.
Johnny : J’adorerais ça.
Défi
Billu aime faire voler son cerf-volant depuis une aire de jeux près de chez lui. Aujourd’hui, le vent souffle et son cerf-volant vole bien tel que l’angle entre le sol et la ficelle est de 30⁰. Le vent est en direction de son école qui est à 1 kilomètre. Il n’a qu’une ficelle de 1,5 kilomètre de long et se demande si elle serait assez longue pour que le cerf-volant passe au-dessus de l’école.
Solution: Voici la photo. Son point de départ est A et l’école est au point B. Une ligne verticale peut être tracée à partir de B pour rejoindre la ficelle en C. Dans ce triangle à angle droit, l’angle BAC = 30⁰ (donné).
AB/CA = cos 30⁰ = 0,866.
Puisque AB = 1 kilomètre, 1/AC = 0,866 ou AC = 1/0,866 = 1,1547 kilomètres.
Par conséquent, il a plus qu’assez de ficelle (1,5 kilomètre) pour ce qu’il veut faire.
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