Heureux M. Power signifiait une leçon exigeante
M. John Power avait de nouveau l’air très heureux. Beaucoup d’étudiants ont commencé à penser qu’il devait avoir quelque chose dans sa manche. Le dernier cours, venu avec le même visage heureux, il avait demandé à la classe de déterminer la valeur de pi en utilisant la trigonométrie. Ils se demandaient tous ce qu’il avait inventé cette fois.
M. Power : Aujourd’hui, nous allons étudier les triangles à angle droit, obtus et aigus. Tinku, qu’est-ce qu’un triangle rectangle ?
Tinku s’amusait de la facilité avec laquelle cette question était posée et laissa échapper : Un angle droit est un triangle dont l’un des angles est un angle droit de 90°.
M. Power : Qui peut me dire ce que sont les triangles obtus et aigus ?
Plusieurs élèves ont levé la main mais M. Power a demandé à Tracy.
Tracy : Dans un triangle obtus – l’un des angles est supérieur à 90 °, mais dans un triangle aigu, les trois angles sont inférieurs à 90 °.
M. Power : Sara, veuillez écrire les fonctions trigonométriques des trois types de triangle.
Sara est allée au tableau et a fait ce tableau pour le plus grand angle (BAC) dans chaque type de triangle.
Classer les triangles en fonction des cosinus
| Obtus | Angle droit | Aigu | |
| Sin BAC | >0 mais < 1 | 1 | >0 mais < 1 |
| Cos BAC | <0 (négatif) | 0 | >0 mais < 1 |
| Tan BAC | <0 (négatif) | ∞ | >0 mais < ∞ |
M. Power : Bon travail Sara. Maintenant, si vous deviez définir les trois types de triangles en vous basant sur des relations trigonométriques, quelle fonction choisiriez-vous ?
Sara : Parce que c’est simple : négatif pour obtus, 0 pour angle droit et positif pour triangle à angle aigu.
De nombreux élèves ont été impressionnés de voir comment on pouvait utiliser la trigonométrie pour définir les trois types de triangles.
Classification algébrique
M. Power n’avait pas encore fini. Il a demandé si quelqu’un se souvenait du théorème de Pythagore qu’il avait appris en géométrie. De nombreux étudiants ont levé la main et il a demandé à une étudiante nommée Tracy de décrire le théorème.
Tracy : Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
M. Power : Si la longueur de l’hypoténuse est c et que les autres côtés sont de longueurs a et b, diriez-vous alors c2 = a2 + b2 ?
Tracy : Oui, M. Power.
Est-ce que c2 = a2 + b2 fonctionne pour les triangles obtus
M. Power : Très bien. Je veux que vous vous asseyiez en groupes de trois et que vous découvriez si cette relation s’appliquera également aux triangles à angle obtus, la longueur du côté le plus long étant c et les deux autres côtés étant a et b. Je vais vous donner un indice. Dans les triangles ABC du tableau, tracez une ligne verticale du coin C à la base AB.
Après environ 10 minutes, le groupe de Tommy a dit qu’ils avaient compris que pour un triangle obtus c2 > a2 + b2. Il est venu au tableau et a écrit ceci.
Pour un triangle obtus ABC, la longueur du côté BC opposé à l’angle obtus est c, la base AB étant a et le côté AC est b. Nous avons tracé une ligne verticale CD qui rencontre la base étendue AB en D. Soit la longueur de BD égale à h et AD égale à x.
Alors à partir du grand triangle rectangle DCB, h2 = c2 – (a+x)2.
Du triangle DAC, h2 = b2 – x2.
Donc c2 – (a+x)2 = b2 -x2.
En ajoutant (a+x)2 aux deux membres de l’équation, on obtient c2 = (a+x)2+ b2 -x2 qui est
c2 = a2+2ax +x2 + b2 -x2 ou c2 = a2 + b2 +2ax.
Parce que a, b, c et x sont tous positifs c2 > a2 + b2.
M. Power ainsi que la plupart des étudiants ont accepté la preuve et ont été impressionnés.
Décrire les types de triangle avec des équations algébriques
M. Power : Bravo Tommy et vos partenaires Sara et Johnny pour avoir montré cela dans un triangle obtus c2 > a2 + b2.
Rappelez-vous que Tracy a dit que pour un triangle rectangle c2 = a2 + b2. Je vais ajouter que pour un triangle à angle aigu dont le côté le plus long est de longueur c, c2 < a2 + b2 et votre devoir est de le prouver.
Pour les triangles obtus, à angle droit et aigus, le cosinus de l’angle opposé aux côtés les plus longs sera respectivement négatif, 0 et positif. Je vais ajouter que nous pourrions écrire que c2 > a2 + b2, c2 = a2 + b2 et c2 < a2 + b2, respectivement. Voici le résumé de la leçon d’aujourd’hui.
| Obtus | Angle droit | Aigu | |
| Cos BAC | <0 (negative) | 0 | >0 but < 1 |
| Valeur du côté le plus long c | c2 > a2 + b2 | c2 = a2 + b2 | c2 < a2 + b2 |
Défi
Montrer que pour un triangle à angle aigu dont les côtés sont de longueur a, b et c et dont le côté le plus long est de longueur c, c2 < a2 + b2.
Solution:
Soit : Un triangle à angle aigu ABC, le côté BC est le côté le plus long de longueur c et la longueur du côté AB = a et AC = b.
Tracez une ligne verticale BD qui rencontre la base en D. Soit la longueur de BD soit h et BD soit x, puis AD de longueur = a-x.
Du triangle rectangle BCD, c2 = h2 + x2
A partir du triangle rectangle ACD, b2 = h2 + (a-x)2 ou h2 = b2 – (a-x)2
Donc c2 = b2 – (a-x)2 + x2 ou c2 = b2 + x2 – a2 – x2 +2ax
x2 ou c2 = b2 – a2 +2ax ou c2 = b2 + a2 – 2a2 +2ax ou
c2 = b2 + a2 – 2a (a – x)
Comme a est plus grand que x, a-x sont positifs, et donc
c2 < (a2 + b2).
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