अधिक समकोण न्यून त्रिभुज

अध्यापक शक्ती कक्कड़

         अध्यापक शक्ती कक्कड़ जी ने अपनी ट्रिग की कक्षा में प्रवेश किया । लगता था कि आज वह वहुत खुश थे । तभी विद्यार्थिओं को आभास होने लगा कि शक्ती सर कुछ अलग ही करने वाले हैं ।   वह जानते थे कि सर को चुनौती देने में आनंद मिलता है और सर की मुस्कान का एक ही अर्थ था कि चुनौती बड़ी जटिल होगी । पिछली बारी जब वह इतना खुश हो कर क्लास में आए थे उन्होंने त्रिकोणमिती से   π का मूल्यांक निकालने के लिए कहा था । जाने आज क्या होने वाला है ?

अध्यापक: आज हम अधिक, समकोण और न्यून त्रिभुजों के बारे में सीखेंगे । टिंकू, बताओ कि एक समकोण त्रिभुज क्या होती है ।

 इस प्रश्न की सरलता के कारण टिंकू ने अपनी हंसी रोकते हुए कहा: सर जी, जब त्रिभुज का एक कोण समकोण यानी 90°  हो तो उसे समकोण त्रिभुज कहते हैं ।

अब कौन बताएगा कि अधिक और न्यून त्रिभुज क्या होती है । कई विद्यार्थिओं ने हाथ उठाया पर अध्यापक ने दीपिका को चुना ।

दीपिका: सर जी, अधिक त्रिभुज का एक कोण 90° से बड़ा होता है पर न्यून त्रिभोज का हर कोण 90°  से छोटा होता है ।

त्रिकोणमिति  से त्रिभुज वर्गीकरण

अध्यापक: सैरा, बोर्ड पर तीनों प्रकार की त्रिभुजों के कोणो के त्रिकोणमिती के फलन लिखो ।

सैरा बोर्ड पर गई और तीन प्रकार के त्रिभुज के सबसे बड़े कोण (चित्र देखें) के त्रिकोणमिती फलन लिखे  ।

	अधिक	समकोण	न्यून
Sin BAC	<1	1	>0, < 1
Cos BAC	<0 (नकारात्मक मूल्य)	0	>0, < 1
Tan BAC	<0 (नकारात्मक मूल्य)	∞	सकरात्मक-मूल्य 0 से ∞

अध्यापक: शाबाश सैरा । अब बताओ की अधिक, समकोण और न्यून त्रिभुज के सरल वर्गीकरण के लिए कौन सा एक फलन चुनोंगी ।

सैरा: सर जी cos क्योकि इसका मूल्य  अधिक त्रिभुज के लिए नकारात्मक है, समकोण के लिए शून्य और न्यून  के लिए सकरात्मक । यह वर्गीकरण के लिए सरल रहेगा ।

कई विद्यार्थी तो जैसे विस्मित से हो गए सोचकर कि इन त्रिभुजों का वर्गीकरण त्रिकोणमिती से भी किया जा सकता और वह भी इतनी सरलता से ।

 पर अध्यापक शक्ती कक्कड़ जी कुछ और सोच रहे थे ।

पाइथागोरस प्रमेय से त्रिभुज वर्गीकरण

. उन्होंने क्लास से पूछा यदि किसी को रेखागणित में सीखा हुआ पाइथागोरस का प्रमेय याद है । कई विद्यार्थिओं ने हाथ खड़ा किया पर अध्यापन अर्जुन को चुना ।

अर्जुन: एक समकोण त्रिकोण के कर्ण की लंबाई का वर्ग बाकी भुजाओं की लंबाई के वर्ग के योग के समान होता है ।

अध्यापक: इसका मतलब है कि यदि कर्ण की लंबाई  हो  c और बाकी भुजाओं कि लंबाई हों a और  b, तो    c² = a² + b²  । अर्जुन क्या यह ठीक है ?

अर्जुन: सर जी, बिल्कुल ठीक ।

अध्यापक: क्लास अब तीन तीन के घुट में बैठ कर काम करके बताओ कि क्या  समीकरण c² = a² + b² अधिक त्रिकोण के लिए भी उचित होगा । इस त्रिकोण की सबसे लंबी रेखा का लंबाई c  है और दूसरी रेखाएं  a  और  b लंबी हैं ।  मैं एक सुझाव देता हूं । बोर्ड पर बनी हुई त्रिकोण ABC   में  C से एक लंब रेखा खींचो जो  आधार रेखा AB को मिलती हो ।

लगभग 10 मिनट बाद टामी ने हाथ उठाया और कहा कि उनके घुट ने इस प्रश्न का हल निकाल लिया है और उत्तर है कि अधिक कोण त्रिकोण में c² > a² + b²    । अध्यापक ने उसे कहा कि बोर्ड पर लिख कर सारी क्लास को समझाए कि यह उत्तर कैसे निकाला गया ।  टामी ने निम्नलिखित उत्तर लिखा ।

एक त्रिकोण ABC में भुजा BC अधिक कोण A के सामने है और उसकी लंबाई c है । भुजा AB की लंबाई a है और AC की लंबाई b  है । हमने एक लंब रेखा CD  खीची जो D पर विस्त्रित रेखा AB  को मिलती है ।  मान लिया की BD की लंबाई h है औए AD कि लंबाई x ।

तब बड़ी समकोण BCD  से, h² = c² – (a+x)².

समकोण DAC से, h² = b² -x².

इसलिए c² – (a+x)² = b² -x².

इस समीकर्ण के दोनो पक्षों में  (a+x)²  का योग करने पर, c² = (a+x)² + b² -x² अथवा

c² = a² +2ax +x² + b² -x² or c² = a² + b² +2ax.

क्योंकि a, b, c, x  सब सकरात्मक हैं c² > a2 + b².

सभी विद्यार्थी ही नहीं, अध्यापक शक्ती कक्कड़ भी इस अप्रवेश्यता से बहुत प्रभवित हुए । अध्यापक: शाबाश टामी, सैरा और जानी । तुम तीने ने साबित कर दिया कि एक अधिक त्रिकोण में c² > a2 + b².  याद रहे कि अर्जुन ने कहा था कि एक समकोण त्रिकोण में c² = a2 + b². अब मैं तुम्हें बताता हूं कि एक न्यून कोण त्रिकोण  में, यदि सबसे लंबी भुजा का नाप c हो और बाकी भुजाएं  a और b हों तो   c² < a2 + b²। इसको साबित करना तुम्हारा होमवर्क है ।

अब इन तीन प्रकार की त्रिकोणो का वर्गीकरण चाहो तो त्रिकोणमिति से कर लो, अधिक  का cos नकारात्मक, समकोण का cos 0 और न्यून का cos सकरात्मक । चाहो तो बीजगणित से, अधिक  c² > a² + b², समकोण c² = a² + b², और न्यून c² < a2 + b²।

	Obtuse	Right angle	Acute
Cos BAC	<0 (negative)	0	>0 but < 1
Value of the longest side c	c2 > a2 + b2	c2 = a2 + b2	c2 < a2 + b2

 

चुनौती

प्रश्न: साबित करो कि एक न्यून कोण त्रिकोण  में, यदि सबसे लंबी भुजा का नाप c हो और बाकी भुजाएं  a और b हों तो   c² < a2 + b²

उत्तर: प्ताप्त सूचना । एक न्यून कोण त्रिकोण  ABC है जिसकी सबसे लंबी भुजा BC  का नाप  c है, आधार AB  का नाप a और  भुजा  AC का नाप  b है ।

एक लंब रेखा C  से खींचो जो D पर रेखा AB  को मिलती है ।  मान लिया की CD की लंबाई h है औए BD कि लंबाई ‍x ।  तो AD की लंबाई a-x होगी ।

तब बड़ी समकोण BCD  से, h² = c² – x².

समकोण DAC से, h² = b² -(a-x)².

इसलिए c² – x² = b² -(a-x)² अथवा c²  = b² -(a-x)² + x² अथवा c²  = b² – a²-x² +2ax + x²

अथवा c²  = b² – a² +2ax

अथवा c²  = a²  + b² – 2a² +2ax अथवा c²  = a²  + b² – 2a (a + x)

क्योंकि a और  x दोनो सकरात्मक हैं  c² < a2 + b² 

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