पुरानी सहेलियां मिली

सैरा कि सहेली ओलिविया सांचेज़

नैना ने सैरा को बताया कि उसकी सहेली ओलिविया ने फ़ोन किया था और वह शनिवार को आएगी ।  ओलिविया और सैरा छटी से आठवीं श्रेणी तक एक ही स्कूल में इकट्ठे पढ़ती थी और बड़ी अच्छी सहेलियां बन गई थी । ओलिविया अक्सर सैरा के घर आती थी और नैना का भी उससे मोह हो गया था । ओलिविया के मां बाप ने मकान बदल लिया, और उसे एक दूसरे स्कूल में भेज दिया जो नए घर के समीप था । हालांकि दोनो में अच्छी दोस्ती थी, मिलना जुलना नहीं हुआ । दो साल हो ग​ए थे और ओलिविया ने सोचा कि जा कर पुरानी सहेली सैरा को मिला जाए  ।

सैरा: नैना, क्या यह मेरी  ग्रेड 8 वाली सहेली ओलिविया सांचेज़ थी ?

नैना: हां वही, शनिवार की सुबह को आने का पूछ रही थी और मैने हां कर दी । मुझे याद है उसे समोसे बड़े अच्छे लगते थे । मैं बना रखूंगी ।

सैरा: हां उसे समोसे पसंद थे । वह उन्हें इंडियन एंपेनादा (empanadas, mexican) कहती थी । मैं घर रहूंगी चाहे तो वह सारा शनिवार मेरे साथ बिताना चाहे ।

ओलिविया शनिवार को सैरा के घर आई जैसे उसने कहा था ।  अपेक्षा के अनुसार वह दो साल में थोड़ी बड़ी हो चुकी थी – अधिक नहीं । वह लड़की कद की छोटी थी, कूदती रहती थी और प्रसन्न स्वभाव की थी । दोनो सहेलियां एक दूसरे से मिलकर बड़ी खुश थी । उन्होंने पुराने दिन की सारी यादें ऐसे दोहराई जैसे वह सब कल की ही बातें थी । उन्होंने माध्यम स्कूल के हर लड़के और लड़की के बारे में बात की, कैसे हुआ करते थे, अब कैसे हैं, क्या क्या करते हैं, कौन किस को डेट कर रहा है, इत्यादी । बेशक, दोनो किशोरियां को लड़कों में भी दिलचस्पी थी । ओलिविया कई लड़कों के साथ घूम चुकी थी पर उसने किसी को भी अपना बायफ़्रैंड नहीं बनाया था ।  वह बड़ी खुश हुई सुनकर कि अब सैरा को जानी मिल गया था ।

ओलिविया: तू और जानी कैसे मिले थे ?

सैरा: वह यहां समीप ही मेरे स्कूल के रास्ते में रहता है, और साइकिल पर स्कूल जाता है । कई बार उसने मुझे स्कूल जाते देखा, साइकिल से उतर कर साथ साथ चलने लगा ।  फिर एक दिन स्कूल के कैफ़ीटेरिया में हमारी पहली मुलाकात हुई । एक के बाद दूसरी बात हुई, और हम अब स्कूल रोज़ एक साथ आते जाते हैं । शायद,  उसने जो देखा उसे अच्छा लगा, बस ।

ओलिविया: क्या वह क्यूट है ?

ओलिविया  का स्कूल

सैरा: ओलिविया, मैने तेरा स्कूल नहीं देखा । यहां से कितनी दूर है ?

ओलिविया:  लगभग 3 किलोमीटर, पर तूने मुझे जानी वाले सवाल का जवाब नहीं दिया ।

सैरा: क्यों कि वह एक बेकार का सवाल था । सुन, मैं तेरा नया स्कूल देखना चाहती हूं । दोनो वहां टहलते हुए चलेंगे और वापिस आ जाएंगे । मैं जानी को पूछती हूं यदि वह भी हमारे साथ आना चाहता है ।  इस तरह तूं उससे मिल लेना और फिर अपने इस सवाल का जवाब मुझे बता देना ।

सैरा ने जानी को फ़ोन करके बुलाया और वह आ गया, बिल्कुल, वह अपनी यंत्रों से लदी नई साइकिल भी लाया ।  सैरा ने दोनो को मिलाया और फिर तीनो ओलिविया के स्कूल की ओर रवाना हो ग​ए ।   रास्ते में दोनो लड़कियों को गपशप का और मौका मिल गया ।  जानी तो अपनी साइकिल पर इधर उधर भ्रमण कर रहा था  ।

ओलिविया के स्कूल को देख कर सैरा और जानी को बड़ा आश्चर्य हुआ । ऐसी स्कूल की इमारत उन्होंने पहले कभी नहीं देखी थी । इसका आधार उनके स्कूल की तरह गोल नहीं था बल्कि एक त्रिकोण था । स्कूल की सामने वाली दीवार पूर्व-पश्चिम दिशा में थी, बाईं दीवार एक कोण बना रही थी, और स्कूल के दाईं ओर का भाग पतला  होता जाता था जिससे पश्चिम की ओर स्कूल के अंदर की चौड़ाई ना के बराबर थी ।

सैरा: ओलिविया, तेरा स्कूल कितना बड़ा है ।  इस इमारत का क्षेत्रफल क्या है ?

ओलिविया: पता नहीं, कभी इसके बारे में सोचा ही नहीं ।

जानी तो उत्साह से भर गया । उसे एक नई परियोजना मिली थी – स्कूल का क्षेत्रफल पता करना । उसने यह सैरा और ओलिविया को बताया ।

ओलिविया: हम पिछली दीवार की लंबाई को नहीं नाप सकते । पीछे आड़ लगी हुई है जिसके पीछे किसी की कंपनी है जहां अंदर जाना मना है और कढ़ा पहरा लगा रहता है ।

सैरा मुस्कराई (जैसे कोई रहस्य जानती थी) और बोली: चिंता मत कर ।

जानी की साइकिल

जानी ने अपनी साइकिल पर लगे यंत्रों का प्रयोग करके कहा: सामने वाली दिवार 100 मीटर लंबी है, बांई ओर वाली दीवार 70 मीटर और । त्रिकोण की सामने वाली और  बांईं ओर की दीवारों के बीच का कोण 105°  है ।  जानी ने कहा कि सारी रुकावटों के कारण यही नाप पाया है । शनिवार होने के कारण स्कूल बंद था और इसलिए अंदर नहीं जा सकते थे ।  सैरा ने जानी को साहस दिलाया कि उसने ज़रूरत के सब नाप ले लिए थे ।  तीनो ने वापिस सैरा के घर जाना शुरू किया । सैरा और ओलिविया तो गपशप में मस्त रही और जानी अपनी साइकिल को इधर उधर ले जाने में ।

जब तीनो वापिस सैरा के घर आए तो नैना ने गरमा गरम समोसे उन्हें दिए । समोसों का मज़ा लेते हुए ओलिविया ने पूछा कि उसके स्कूल का क्षेत्रफल कैसे निकलेगा ।

जानी ने यह चित्र बनाया और कहा: स्कूल के फ़र्श एक त्रिकोण है । सामने वाली दीवार 100 मीटर है, बाईं ओर की दीवार 70 मीटर है और दोनो दीवारों के बीच का कोण 105° है । सैरा तूने कहा था कि यह जानकारी पर्याप्त है ।

सैरा की दो जादुई रेखाएं

              सैरा: चलो तेरे चित्र को चुटकी सा बदलती हूं । पहले इसे लेबल कर दूं ।  सामने वाली दीवार AB  है और बाईं दीवार BC है । मैं सामने वाली दीवार BC को बाईं ओर बढ़ा देती हूं और C से एक लंब रेखा CD खींचती हूं जो क्षैतिज रेखा को D पर काटे ।  अब ∠ADC   90° का होगा ।

जैसे ही सैरा ने यह दो रेखाएं खीचीं, जानी ने टोक दिया और कहा: अब तो यह बहुत सरल है । इस चित्र से मैं पीछे की  दीवार की लंबाई और स्कूल का क्षेत्रफल निकाल सकता हूं ।

ओलिविया:   हां मैं भी । ∠DAC = 75° क्योंकि यह  BAC का आसन्न कोण है  जो 105° है ।  त्रिकोण की भुजाओं की लंबाई से:

CD/CA = sin 75° और DA/CA = cos 75°  ।  sin 75°और cos 75° क्या होते हैं ?

जानी: sin 75°  = 0.9659 और cos 75° = 0.2588  ।  इसका मतलब है कि CD = 0.9534 x CA = 0.9659 x 70 = 67.61 मीटर  और  DA = 0.2588 x CA = 0.2588 x 70 = 18.12 मीटर   ।

ओलिविया:  बढ़िया, दो समकोण त्रिकोण हैं, एक है DAC जो स्कूल के बाईं ओर है ।  इसकी ऊंचाई है   67.61 और आधार 18.12 मीटर । दूसरी DBC है  जिसकी ऊंचाई तो उतनी है पर आधार    100 + 18.12 =118.12  मीटर है ।

सैरा: क्या तुम्हें याद है कि एक त्रिकोण का क्षेत्रफल आधार x ऊंचाई/2 होता है ?

जानी:  हां, मुझे रेखागणित की क्लास से याद है । तो स्कूल का क्षेत्रफल   67.61 x 100/2 = 3380.7 मीटर² है । ओलिविया, मैने कहा था कि सैरा की सहायता से हम यह कर पाएंगे ।  अब पिछली वाली दीवार की लंबाई निकालें ।

ओलिविया: यह तो सरल है, पाइथागोरस प्रमेय से हो जाएगा ।

जानी: हां मुझे याद है:  कर्ण² = आधार² + ऊंचाई² ।  इस त्रिकोण के  लिए यह बन जाएगा

BC² = DB² + DC² = 118.12² + 66.74 ² या BC =136.1 मीटर  ।

तो पिछली दीवार की लंबाई 135.67 मीटर है  ।

ओलिविया: मेरा दिल तो खुशी से कूदने को कर रहा है । कल मैं स्कूल में प्रिंसिपल के पास जाकर स्वीक्रिती मांगूंगी कि मुझे स्कूल के सूचना बोर्ड पर दीवारों की लंबाई और स्कूल का क्षेत्रफल  लिखने दें ।  मेरा ऐसा करना तुम्हें बुरा तो नहीं लगेगा ?  चिंता मत करो मैं तुम दोनो को पूरा श्रेय दूंगी ।

जानी: प्लीज़, हमारे बारे में नहीं बताना । लोग कहेंगे की स्कूल के बाहर के लोग यहां आकर नपाई क्यों कर रहे थे । और सच पूछ मैं तो केवल अपनी साइकिल के प्रयोग का आनंद ले रहा था । अच्छा, अब मैं अपने घर जा रहा हूं क्योंकि मेरी मां मेरी प्रतीक्षा कर रही है ।

Sines का नियम (law of sines)

सैरा: सारी गणना तो तुम दोनो ने ही की थी और यदि मैं ना होती तो तुम स्वयं ही कर लेते । हां, मैने दो रेखाएं अवश्य खींची थी । जानी ठीक कह रहा है, हमारा नाम बीच में लाना अनावश्यक और शायद अनुचित भी है । पर स्कूल वालों से बात करने से पहले एक काम और कर ले ।

ओलिविया: वह क्या काम है ?

सैरा: यदि तेरे गणित के अध्यापक ने पूछा कि सारे तीनो कोणो का नाप क्यों नहीं दिया तो क्या कहेगी ?

ओलिविया: क्योंकि हम ने एक ही कोण नापा था ।

             सैरा ने ट्रिग की पुस्तक खोल कर ओलिविया को दिखाया कि वह सारे तीनो कोणो का नाप निकाल सकती है । सैरा ने ध्यान से पुस्तक को पढ़ा । उसमें  sines का नियम दिया हुआ था:  sin A/a = sin B/b = sin C/c । उसने एक चित्र बनाया जिसमें कोण  A 105°  था और तीनो त्रिकोण की तीनो भुजाओं का नाप तो उसने अभी निकाला  ही था । भुजा (BC) यानी 136.1    मीटर थी ।

क्योंकि sin A = sin 105° = 0.9659, sin A/a = .007097 है ।   तो   sin B/b और Sin C/c  भी   .007097 होगा ।

क्योंकि b =70 मीटर, sin B = 0.007097 x 70 = 0.4968 यानी ∠B = 29.8°  ।

अब Sin C/c = 0.007097,  Sin C = 0.7097 क्योंकि c = 100 मीटर यानी; ∠C = 45.2°  ।  105° + 29.8°+ 45.2° =180°, त्रिकोण के सारे कोणो का योगफल भी ठीक है, 180° होना चाहिए ।

ओलिविया: सैरा धन्यवाद । अब मैं स्कूल के सूचना बोर्ड पर स्कूल का क्षेत्रफल, तीनो दीवारों की लंबाई और तीनो कोणो का नाप, सब कुछ लिखूंगी ।

सैरा: यह सब तो हो गया पर तूने मुझे जानी के बारे अपनी राय नहीं दी ।

ओलिविया: अब तू मुझे जला रही है । जानी सुंदर और चतुर है, तुझे बहुत चाहता है । मेरी भी इच्छा है कि मुझे ऐसा बॉयफ़्रैंड मिल जाए ।

ओलिविया स्कूल के प्रिंसिपल को मिली, उसे बताया कि क्या जानकारी उसके पास है और उसे सूचना बोर्ड पर लगाने के स्वीक्रिति मांगी । प्रिंसिपल मान गए, पर कहा कि वह बोर्ड पर लगाने से पहले गणित के अध्यापक को दिखाए कि सब कुछ ठीक है । उसने सूचना बोर्ड पर लिखा कि स्कूल एक अधिककोण वाला त्रिकोण है, जिसकी दीवारों के बीच  105°, 29.8°, 45.2°    कोण हैं, और जिसकी भुजाएं  100, 136.1 और 70  मीटर हैं । स्कूल का क्षेत्रफल 3380.7 मीटर² है । ओलिविया को स्कूल के साथियों से सराहना मिली । कुछ साथियों ने उसे पूछा कि उसने यह जानकारी कहां से और कैसे ली । ओलिविया ने उन्हें सारी कहानी बता दी जिसमें सैरा के बायफ़्रैंड जानी का पूरा विवर्ण भी शामिल था ।

चुनौती

जानी के पिछली छमाही में अच्छे नंबर आए थे । उसके डैड ने उसे पुरस्कार में एक रिमोट कंट्रोल ड्रोन दिया । जानी उसे उड़ाने के लिए पार्क में गया । स्वभाविक था, सैरा भी साथ गई, पर वह अपने पिता जी का सैक्स्टैंट साथ ले गई ।  जानी एक बैंच पर बैठा हुआ था और उसने ड्रोन को आकाश में एक स्थिर स्थान पर रोका हुआ था ।  जानी ने सैरा से कहा कि वह जानना चाहता था कि ड्रोन उससे कितना दूर था ।   सैरा भी साथ ही वहीं थी । उसने नापा की वहां से धरती और आकाश में ड्रोन का कोण 45°  था । फिर वह ड्रोन की ओर 20 मीटर चल कर  गई, धरती और आकाश में ड्रोन का कोण  60° था । उसके बाद सैरा ने कुछ त्रिकोणमितीय गणना से जानी और ड्रोन के बीच की दूरी निकाली । आप इस दूरी की गणना कैसे करते ?

उत्तर:  एक त्रिकोण बनाओ जिसमें जानी का स्थान A  है, सैरा का ड्रोन की ओर चल कर जाने का स्थान B है, और ड्रोन C पर है । रेखा AB का विस्तार D तक करो ।

अब त्रिकोण  ABC में ∠ B के सामने की भुजा = b (AC), और ∠C के सामने की भुजा= c (AB = 20 मीटर )  ।

∠A = 45°, ∠B = 180° – 60° = 120° (आसन्न कोण), और ∠ C = 180°- 45°-120° = 15° (त्रिकोण के तीनो कोणो का 180°योग  होता है)  ।

sines के नियम के अनुसार sin A/a = sin B/b = sin C/c  यानी

sin 120°/b = sin 15°/20 or 0.866/b = 0.259/20 यानी

b/0.866 = 20/0.259 या b = 0.866 x20/.259 = 66.9 मीटर ।

तो जानी का ड्रोन उससे लगभग   66.9 मीटर दूर है   ।

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