कोडी का जन्म दिन आ रहा है
जानी और सैरा स्कूल के कैफ़ीटेरिया में बैठे हुए थे, जब दोनो का मित्र टामी भी उनके साथ बातें करने लगा । टामी अत्यंत प्रसन्न और उत्तेजित था । सैरा ने उससे इतना प्रसन्न होने का राज़ पूछा ।
टामी: मेरे भतीजे कोडी का जन्म दिन आ रहा है । शैतान लड़का रविवार को तीन साल का हो जाएगा ।
सैरा: यह तो बड़ी अच्छी बात है । तुझे कोडी प्यारा लगता होगा ।
टामी: हां, मुझे वह छोटा बदमाश बड़ा अच्छा लगता है । जब भी मैं उनके घर जाता है, वह भागा आता है और मुझे ज़ोर से जफ्फी मारता है, और जब तक मैं वहां होता हूं, वह मेरे इर्द गिर्द ही रहता है । वह मुझे सराहता ही नहीं मुझे हीरो जैसे समझता है । मैं उसके जन्म दिन पर कुछ विशेष करना चाहता हूं ।
जानी: कैसा विशेष करेगा, क्या तू उसे आइस-क्रीम खाने ले जाएगा ?
टामी: नहीं, इससे कुछ बड़ा और विशेष । पिछले जन्म दिन पर मैने उसे पहिएदार स्केट ले कर दिए थे और अब वह उनका प्रयोग कुशलपूर्वक करता है । पिछले महीने हम उसे स्केट पार्क में ले गए थे । उसने लड़कों और लड़कियों को लांच रैंप और क़्वारटर पाइक्स पर खेलते देखा । उसे बड़ा पसंद आया और वह भी जाना चाहता था पर हमने छोटा होने के कारण मना कर दिया ।
जानी: तो अब तेरी क्या योजना है ?
दो छोटी छोटी स्केट रैंप
टामी: पता है, कोडी का परिवार शहर से दूर रहता है, जहां उनके घर में ही एक लंबी सड़क है । मैं सोच रहा हूं कि उसके लिए दो छोटी छोटी स्केट रैंप ले लूं । पक्का है कि, उसे मज़ा आ जाएगा, पर रैंप छोटी होनी चाहिएं नहीं तो उसे गिर कर चोट लग सकती है । उसे हैल्मेट भी पहननी होगी जो उसके पास है ।
जानी: तो समस्या क्या है ?
टामी: यदि रैंप बहुत नीची हुई, तो कोडी को मज़ा नहीं आएगा, और ज्यादा ऊंची रैंप से वह गिर कर घायल हो सकता है । मैने एक दुकान पर एक रैंप देखी जिसका स्लोप 10° था और उसका ऊपर का भाग 60 से.मी. लंबा था । उसकी ऊंचाई 10.44 से.मी. थी । मैं एक और रैंप खरीदना चाहता हूं जिसकी ऊंचाई 15 से.मी. होगी । पहले तो इन दोनो को अलग अलग इस्तेमाल कर लेगा । जब इसमें कुशल हो जाएगा तो मैं, एक के ऊपर एक, इन दोनो से एक ऊंची वाली बना दूंगा । उन्हें फ़ेविकाल से चिपका दूंगा । पता नहीं इस स्टैक रैंप की ऊंचाई क्या होगी । सैरा, क्या तू इसमें मेरी सहायता कर सकती है ?
सैरा: क्यों नहीं, मैं सहायता कर सकती हूं । पहले मैं इन दोनो को अलग अलग से जांचूंगी ।
रैंप A का स्लोप 10° है और ऊपर वाली फट्टी 60 से.मी. लंबी है ।
अब, sin A = sin 10° = 0.174 है । इसका मतलब ऊंचाई और कर्ण (ऊपर वाली फट्टी) का अनुपात 0.174 है । जिसका मतलब की इसकी ऊंचाई 0.174 x 60 = 10.44 से.मी. होगी । क्योंकि sin2 A + cos2 A= 1, cos A = √(1 – 0.1742) = 0.985 है ।
टामी: यह नाप तो मैने तुझे दिए हैं, दोबारा क्यों कर रही है ?
सैरा: तुझे दिखाने के लिए कि यह विधि ठीक से काम करती है । अब रैंप B की ऊंचाई 15 से.मी. है ।
sin B = 15 /60 = 0.25 यानी ∠B = 14.48° है ।
टामी: मैं 15° स्लोप वाली रैंप (B) खरीद सकता हूं । अच्छा, अब sin B = 0.2588 और cos B = 0.966 है । इसकी ऊंचाई 0.2588 x 60 = 15.53 से.मी. होनी चाहिए ।
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
सैरा: यदि रैंप B को A के ऊपर रख दो, तो कुल कोण 25° बन जाएगा । सीधा साधा तरीका होगा कि इन दोनो कोणो के योगफल का sin अपने कैल्कुलेटर से देख लो । पर मेरा मित्र जानी एक नई त्रिकोण्मितीय सर्वसमिका सीखना चाहता है, वह है
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
यहां कोण A = 10°, B = 15°,
sin A=0.174, cos A= 0.985, sin B=0.2588, cos B = 0.966
sin (A + B) = sin (25°) = 0.174 x 0.966 + 0.985 x 0.2588 = 0.4226
टामी: समझ गया, तो रैंप को के ऊपर स्टैक करने पर ऊंचाई 60 x 0.4226 = 25.36 से.मी.
हो जाएगी ।
सैरा: बस यही बात थी या कुछ और ?
टामी: मुझे चिंता है कि यह 25.36 से.मी. की ऊंचाई, जो लगभग 10 इंच है, कोडी के लिए ज्यादा होगी । बेचारा अभी खुद ही तीन फ़ुट लंबा है । कुल ऊंचाई कितनी होगी यदि मैं दो एक जैसी 10° वाली रैंप को स्टैक कर दूं ?
sin (2A) = 2 sin A cos A
सैरा: तू जानता है कि sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B । यदि कोण और दोनो बराबर हों, तो एक नई सर्वसमिका बन जाती है sin (2A) = 2 sin A cos A ।
क्योंकि ∠A = 10°, sin A = 0.174 और cos A = 0.985, sin (2A) = 0.342 है । तो नई रैंप जिसका स्लोप 20° होगा, उसकी ऊंचाई 0.3428 x 60 = 20.6 से.मी. यानी लगभग 8 इंच हो जाएगी ।
टामी: सैरा धन्यवाद । मुझे तो यह उत्तम लग रहा है पर मैं कोडी के डैड को अंतिम फ़ैसला करने दूंगा । यदि वह कहे कि यह बहुत ऊंची है और दो रैंप ऐसे बनाओ कि हर एक का स्लोप 15° से आधा हो, तो अलग अलग रैंप की ऊंचाई क्या होगी ?
sin (A/2) = ± √((1- cos A))/2
सैरा: उसके लिए भी सर्वसमिका sin (A/2) = ± √((1- cos A))/2 है । क्योंकि cos 15° = 0.966, sin A/2 = ±0.13 । नैगेटिव ऊंचाई का मतलब है कि ज़मीन में खोद कर रैंप को गाड़ना, इस लिए पोज़िटिव ऊंचाई ही उचित उत्तर होगी । तो 15° से आधे स्लोप वाली रैंप की ऊंचाई 60 x 0.13 = 7.8 से.मी. यानी लगभग 3 इंच हो जाएगी ।
टामी: धन्यवाद सैरा ।
जानी: टामी, अभी तो हमारी क्लास का समय हो गया है । हमें बताना कि कोडी को तेरी भेंट कैसी लगी ।
जानी और सैरा अपनी क्लास के लिए टामी को छोड़ कर चले गए ।
जानी ने घर जा कर इन तीन और कई और सर्वसमिकाओं के बारे में पढ़ा ।
चुनौती
सैरा अपने बायफ़्रैंड जानी के साथ अक्सर उल्टी सीधी बातें करती है । आज उसने कहा: जानी तुझे साइकिल की सवारी का शौक है । मान ले तू साइकिल पर एक सड़क पर 2 कि.मी. जाता है जिसकी ढलान 15° नीचे की ओर हो, और फिर 2 कि.मी. बिना किसी स्लोप के । उसके बाद 2 कि.मी. के लिए उसका स्लोप 15° ऊपर की ओर है और फिर 2 कि.मी. के लिए स्लोप और 7.5° ऊपर की ओर बढ़ जाता है । कुल तेरी साइकिल की ऊंचाई कितनी बढ़ गई । और हां, sin 30° = 0.5 से गणना शुरूकर बिना कहीं से किसी और कोण का त्रिकोणमितीय फलन देखे ।
उत्तर: सड़क के चारों भाग की दूरी समान है यानी 2 कि.मी. । पहले भाग से नीचे जाने की और तीसरे भाग से ऊपर जाने की ऊंचाईयां एक दूसरे को काट देंगी । भाग दो की तो कोई ढलान थी ही नहीं । तो असली ऊंचाई आखिरी 2 कि.मी. के भाग से आएगी और यह ऊपर जा रही है 15° + 7.5° = 22.5° के स्लोप से ।
sin 30° = 0.5, sin2 x + cos2x = 1, इसलिए cos 30° = (√(1 – 0.52))/2 = 0.866 है ।
sin (A/2) = ± √((1- cos A))/2 यानी sin 15° = 0.2588 और cos 15° = (√(1 – 0.25882))/2 = 0.7251 है।
फिर से sin (A/2) = ± √((1- cos A))/2 , sin 7.5 = 0.1305 और cos 7.5° = 0.9659
अब sin 22.5° = sin (30° – 7.5°) = sin 30° cos 7.5° – cos 30° sin 7.5° = 0.3827
इस लिए कुल ऊंचाई या चौथे भाग की ऊंचाई 2 कि.मी. x 0.0.3827 = 2000 x 0.3827 मीटर = 765.4 मीटर है ।
अरे सैरा, तंग कर मारा । कैल्कुलेटर से सीधे sin 22.5° देखकर भी यही उत्तर आता है ।
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