कोडी का जन्म दिन

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कोडी का जन्म दिन आ रहा है

जानी और सैरा स्कूल के कैफ़ीटेरिया में बैठे हुए थे, जब दोनो का मित्र टामी भी उनके साथ बातें करने लगा । टामी अत्यंत प्रसन्न और उत्तेजित था । सैरा ने उससे इतना प्रसन्न होने का राज़ पूछा ।

टामी: मेरे भतीजे कोडी का जन्म दिन आ रहा है । शैतान लड़का रविवार को तीन साल का हो जाएगा ।

सैरा: यह तो बड़ी अच्छी बात है । तुझे कोडी प्यारा लगता होगा ।

टामी: हां, मुझे वह छोटा बदमाश बड़ा अच्छा लगता है । जब भी मैं उनके घर जाता है, वह भागा आता है और      मुझे ज़ोर से जफ्फी मारता है, और जब तक मैं वहां होता हूं, वह मेरे इर्द गिर्द ही रहता है । वह मुझे सराहता ही नहीं मुझे हीरो जैसे समझता है । मैं उसके जन्म दिन पर कुछ विशेष करना चाहता हूं ।

जानी: कैसा विशेष करेगा, क्या तू उसे आइस-क्रीम खाने ले जाएगा ?

fig.6.01             टामी: नहीं, इससे कुछ बड़ा और विशेष । पिछले जन्म दिन पर मैने उसे पहिएदार स्केट ले कर दिए थे और अब वह उनका प्रयोग कुशलपूर्वक करता है । पिछले महीने हम उसे स्केट पार्क में ले गए थे । उसने लड़कों और लड़कियों को लांच रैंप और क़्वारटर पाइक्स पर खेलते देखा । उसे बड़ा पसंद आया और वह भी जाना चाहता था पर हमने छोटा होने के कारण मना कर दिया ।

जानी: तो अब तेरी क्या योजना है ?

दो छोटी छोटी स्केट रैंप

टामी: पता है, कोडी का परिवार शहर से दूर रहता है, जहां उनके घर में ही एक लंबी सड़क है । मैं सोच रहा हूं कि उसके लिए दो छोटी छोटी स्केट रैंप ले लूं । पक्का है कि, उसे मज़ा आ जाएगा, पर रैंप छोटी होनी चाहिएं नहीं तो उसे गिर कर चोट लग सकती है । उसे हैल्मेट भी पहननी होगी जो उसके पास है ।

जानी: तो समस्या क्या है ?

टामी: यदि रैंप बहुत नीची हुई, तो कोडी को मज़ा नहीं आएगा, और ज्यादा ऊंची रैंप से वह गिर कर घायल हो सकता है । मैने एक दुकान पर एक रैंप देखी जिसका स्लोप 10° था और उसका ऊपर का भाग  60 से.मी. लंबा था । उसकी ऊंचाई  10.44 से.मी.  थी ।  मैं एक और रैंप खरीदना चाहता हूं जिसकी ऊंचाई 15 से.मी. होगी । पहले तो इन दोनो को अलग अलग इस्तेमाल कर लेगा । जब इसमें कुशल हो जाएगा तो मैं, एक के ऊपर एक, इन दोनो से एक ऊंची वाली बना दूंगा । उन्हें फ़ेविकाल से चिपका दूंगा ।  पता नहीं इस स्टैक रैंप की ऊंचाई क्या होगी । सैरा, क्या तू इसमें मेरी सहायता कर सकती है ?

fig.6.1              सैरा: क्यों नहीं, मैं सहायता कर सकती हूं । पहले मैं इन दोनो को अलग अलग से जांचूंगी ।

रैंप A का स्लोप 10° है और ऊपर वाली फट्टी  60 से.मी. लंबी है ।

अब, sin A = sin 10° = 0.174 है । इसका मतलब ऊंचाई और कर्ण (ऊपर वाली फट्टी) का अनुपात 0.174 है । जिसका मतलब की इसकी ऊंचाई   0.174  x 60 = 10.44   से.मी. होगी ।  क्योंकि  sin2 A + cos2 A= 1,  cos A = √(1 – 0.1742) =  0.985  है ।

टामी: यह नाप तो मैने तुझे दिए हैं, दोबारा क्यों कर रही है ?

सैरा: तुझे दिखाने के लिए कि यह विधि ठीक से काम करती है । अब रैंप B की ऊंचाई  15 से.मी. है  ।

sin B = 15 /60 = 0.25 यानी ∠B = 14.48° है  ।

टामी: मैं 15° स्लोप वाली रैंप (B) खरीद सकता हूं । अच्छा, अब sin B = 0.2588  और cos B  = 0.966 है  ।  इसकी ऊंचाई 0.2588 x 60  = 15.53   से.मी. होनी चाहिए ।

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

सैरा: यदि रैंप B  को  A के ऊपर रख दो, तो कुल कोण 25° बन जाएगा । सीधा साधा तरीका होगा कि इन दोनो कोणो के योगफल का  sin अपने कैल्कुलेटर से देख लो । पर मेरा मित्र जानी एक नई त्रिकोण्मितीय सर्वसमिका सीखना चाहता है, वह है

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

यहां कोण  A = 10°, B = 15°,

sin A=0.174,                    cos A= 0.985,                  sin B=0.2588,                cos B = 0.966

sin (A + B) = sin (25°) = 0.174 x 0.966 + 0.985 x 0.2588  = 0.4226

टामी: समझ गया, तो रैंप  को  के ऊपर स्टैक करने पर ऊंचाई   60 x 0.4226 = 25.36 से.मी.

हो जाएगी ।

सैरा: बस यही बात थी या कुछ और ?

टामी: मुझे चिंता है कि यह 25.36  से.मी. की ऊंचाई, जो लगभग 10 इंच है, कोडी के लिए ज्यादा होगी । बेचारा अभी खुद ही तीन फ़ुट लंबा है ।   कुल ऊंचाई कितनी होगी यदि मैं दो एक जैसी  10° वाली रैंप को स्टैक कर दूं ?

sin (2A) = 2 sin A cos A

सैरा: तू जानता  है कि sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B ।  यदि कोण   और  दोनो बराबर हों, तो एक नई सर्वसमिका  बन जाती है sin (2A) = 2 sin A cos A ।

क्योंकि ∠A = 10°, sin A = 0.174 और cos A = 0.985, sin (2A) = 0.342  है ।  तो नई रैंप जिसका स्लोप 20° होगा, उसकी ऊंचाई 0.3428 x 60 = 20.6   से.मी. यानी लगभग  8 इंच हो जाएगी ।

टामी: सैरा धन्यवाद । मुझे तो यह उत्तम लग रहा है पर मैं कोडी के डैड को अंतिम फ़ैसला करने दूंगा । यदि वह कहे कि यह बहुत ऊंची है और दो रैंप ऐसे बनाओ कि हर एक का स्लोप  15° से आधा हो, तो अलग अलग रैंप की ऊंचाई क्या होगी ?

sin (A/2) =  ±  √((1- cos A))/2

सैरा: उसके लिए भी सर्वसमिका  sin (A/2) =  ±  √((1- cos A))/2  है ।  क्योंकि cos 15° = 0.966,  sin A/2 = ±0.13  ।  नैगेटिव ऊंचाई का मतलब है कि ज़मीन में खोद कर रैंप को गाड़ना, इस लिए पोज़िटिव ऊंचाई ही उचित उत्तर होगी ।  तो 15° से आधे स्लोप वाली रैंप की ऊंचाई 60 x 0.13 = 7.8 से.मी. यानी लगभग  3 इंच  हो जाएगी ।

टामी: धन्यवाद सैरा ।

जानी: टामी, अभी तो हमारी क्लास का समय हो गया है । हमें बताना कि कोडी को तेरी भेंट कैसी लगी ।

जानी और सैरा अपनी क्लास के लिए टामी को छोड़ कर चले गए ।

जानी ने घर जा कर इन तीन और कई और सर्वसमिकाओं  के बारे में पढ़ा ।

 

चुनौती

सैरा अपने बायफ़्रैंड जानी के साथ अक्सर उल्टी सीधी बातें करती है । आज उसने कहा: जानी तुझे साइकिल की सवारी का शौक है । मान ले तू साइकिल पर एक सड़क पर 2 कि.मी. जाता है जिसकी ढलान  15°  नीचे की ओर  हो, और फिर  2 कि.मी. बिना किसी स्लोप के । उसके बाद 2 कि.मी. के लिए उसका स्लोप 15° ऊपर की ओर है और फिर 2 कि.मी. के लिए स्लोप और 7.5° ऊपर की ओर बढ़ जाता है । कुल तेरी साइकिल की ऊंचाई कितनी बढ़ गई । और हां, sin 30° = 0.5 से गणना शुरूकर बिना कहीं से किसी और कोण का त्रिकोणमितीय फलन देखे ।

              उत्तर: सड़क के चारों भाग की दूरी समान है यानी 2 कि.मी. । पहले भाग से नीचे जाने की और तीसरे भाग से ऊपर जाने की ऊंचाईयां एक दूसरे को काट देंगी । भाग दो की तो कोई ढलान थी ही नहीं । तो असली ऊंचाई आखिरी 2 कि.मी. के भाग से आएगी और यह ऊपर जा रही है   15° + 7.5° = 22.5°   के स्लोप से ।

sin 30°  = 0.5, sin2 x + cos2x = 1, इसलिए  cos 30° = (√(1 – 0.52))/2 = 0.866 है  ।

sin (A/2) =  ±  √((1- cos A))/2  यानी sin 15° = 0.2588 और cos 15° = (√(1 – 0.25882))/2 = 0.7251 है।

फिर से sin (A/2) =  ±  √((1- cos A))/2 , sin 7.5 = 0.1305 और cos 7.5° = 0.9659

अब sin 22.5° = sin (30° – 7.5°) = sin 30° cos 7.5° – cos 30° sin 7.5° = 0.3827

इस लिए कुल ऊंचाई या चौथे भाग की ऊंचाई 2 कि.मी.  x 0.0.3827 = 2000 x 0.3827 मीटर = 765.4 मीटर है ।

अरे सैरा, तंग कर मारा । कैल्कुलेटर से सीधे sin 22.5°   देखकर भी यही उत्तर आता है ।