Pourquoi Sara enseignait-elle le calcul à Johnny ?
Johnny et Sara ont continué à traîner ensemble car ils étaient amoureux. Bien sûr, ils travaillaient aussi occasionnellement avec le livre Calculus. Johnny a demandé pourquoi Sara avait commencé à lui apprendre le calcul.
Sara : Il y a trois raisons. La première raison est que j’allais revoir le livre de calcul de toute façon, et j’ai pensé que ce serait bien de le faire ensemble. La deuxième raison est que je savais que tu allais me demander de t’enseigner le calcul de toute façon.
Johnny : Je ne t’ai pas demandé. Qu’est-ce qui te fait dire que j’allais ?
Sara : Tiens, mon petit ami, fais-moi un bisou. Je peux lire dans tes pensées.
Johnny l’embrassa et dit : D’accord, alors dis-moi ce que je pense en ce moment.
Sara : Vous pensez à deux choses différentes. Une chose à laquelle vous pensez est la troisième raison.
Johnny : Oui. Vous avez dit qu’il y avait trois raisons. Vous n’en avez donné que deux. Quelle est la troisième raison ?
Sara : C’est amusant de travailler avec vous et j’apprends mieux quand nous travaillons ensemble.
Johnny : Vous êtes un lecteur d’esprit. Je pensais à la troisième raison. Maintenant, dis-moi l’autre chose qui me préoccupe.
Sara : Tu allais me demander un autre rendez-vous.
Johnny : Je t’aime Sara. Laisse-moi demander à maman si je peux réemprunter sa voiture pour refaire un tour.
Johnny est allé parler à sa mère.
Johnny : Maman, puis-je encore emprunter ta voiture ? Je veux emmener Sara à un rendez-vous. Rappelez-vous, vous avez dit avant que je devrais le faire.
Maman : Pas aujourd’hui. Qu’en est-il de demain?
Johnny a demandé à Sara si elle pouvait aller à un rendez-vous le lendemain. Sara accepta volontiers.
Voyage à Mountwin
Ils ont regardé les endroits à proximité et ont décidé d’aller dans la ville de Mountwin parce qu’ils pensaient que ce serait une route panoramique. À l’ouest de leur ville se trouvaient deux montagnes très similaires que les gens appelaient souvent les montagnes jumelles. À l’ouest de ces montagnes se trouvait le canton de Mountwin.
Le lendemain, Johnny a emprunté la voiture de sa mère, est venu chercher Sara dans l’après-midi et ils sont partis. La route passait entre les deux montagnes. Chaque montagne avait une grande base incurvée lisse. Le paysage était magnifique avec des verts luxuriants, de grands arbres et de petits lacs. En chemin, ils ont vu un parc qui était à côté d’un lac. Ils décidèrent de sortir et de profiter un moment. Ils ont également joué au frisbee au parc. Puis ils sont partis vers Mountwin.
Johnny : Sara, qu’est-ce que tu fais ?
Sara : Pas grand-chose, juste un clic sur mon téléphone pour enregistrer nos coordonnées GPS. Je ne vous dérangerai pas. Je vais juste cliquer une fois tous les quelques instants. Continuons à profiter des belles montagnes qui nous entourent.
Ils ont continué à conduire jusqu’à ce qu’ils aient atteint Mountwin. C’était une très petite ville. Le marché principal n’était qu’une grande place. La ville avait de nombreuses maisons et une petite école avec une aire de jeux et un centre de loisirs.
La place principale de Mountwin avait un restaurant. Johnny et Sara ont décidé de vérifier. L’endroit était petit mais il y avait aussi une piste de danse. Ils ont commandé la nourriture. En mangeant, ils ont découvert qu’il y avait un petit ordinateur sur lequel les clients sélectionnaient des chansons à jouer. Il n’y avait pas de DJ mais les gens pouvaient danser quand leur chanson jouait.
Johnny : Sara, tu veux danser ?
Sara : Pas vraiment. Au lieu de cela, pouvons-nous retourner au parc que nous avons visité plus tôt ? J’ai aimé cet endroit. On pourrait y rester un moment.
Johnny a demandé l’addition à la serveuse. Soudain Sara l’interrompit.
Sara : Partageons la facture.
Johnny : Non, laisse-moi payer.
Sara : Vous avez aussi payé la dernière fois.
Johnny : Je ne l’ai pas payé la dernière fois. Ma mère voulait que je t’emmène et elle m’a donné sa carte de crédit. J’ai utilisé sa carte. Franchement, elle n’était pas contente que nous ayons fini par aller dans un restaurant très bon marché. Elle m’a donc redonné sa carte aujourd’hui.
Sara : Pourquoi devrait-elle payer ?
Johnny : Elle m’aime et peut-être qu’elle t’aime aussi.
Johnny a payé la facture et les tourtereaux sont retournés au parc à côté du lac. Ils y sont restés un moment puis sont repartis. Johnny a ramené Sara à la maison et ils se sont embrassés bonne nuit.
Sara s’est réveillée et a pris le petit déjeuner avec Nana. Nana lui a demandé comment s’était passé le rendez-vous. Ils ont continué à discuter pendant que Sara faisait des choses en utilisant son ordinateur portable. Le téléphone de Sara sonna. C’était Johnny qui lui demandait si elle pouvait venir un moment. Sara est allée chez Johnny. Elle a porté son ordinateur portable pour lui montrer quelque chose.
Analyse des coordonnées GPS enregistrées
Sara : Quand nous avons quitté le parc pour nous diriger vers Mountwin, la route allait d’Est en Ouest. J’ai donc commencé à enregistrer nos coordonnées GPS.
Johnny : La route n’était pas seulement d’est en ouest. C’était ondulé.
Sara : Voici une partie de cette vague que j’ai enregistrée. Ceci est juste un graphique montrant notre entraînement vers l’ouest sur l’axe horizontal et le mouvement vers le nord ou le sud sur l’axe vertical. Oh, j’ai un peu modifié l’échelle pour que le nombre total de kilomètres vers l’ouest soit de 2π (soit 6,28).
Figure…..
Johnny : Trickster, donc tu as fait les angles en radians parce que 2π radians égalent 360°.
Johnny : Cela ressemble au graphique y = sin x que nous avons fait dans Trig.
Sara : Ça pourrait être s’il y avait une continuité dans la route.
Johnny : McLinton Road n’avait pas de pauses ou de nœuds majeurs et nous avions donc supposé qu’il était continu. Pourquoi ne pouvons-nous pas faire la même chose pour cette route ?
Sara : Je suppose que nous pourrions. Voici le graphique pour y = sin x.
Johnny : Avez-vous enregistré plus de coordonnées ?
Sara : Oui, mais après cela, la route est devenue sinueuse de toutes sortes de manières étranges. C’est pourquoi je ne vous ai montré que cette partie. Autre chose, j’ai également mesuré le rapport de notre mouvement vers le nord au mouvement vers l’ouest pour le premier quart de la vague. J’ai noté la pente à chaque point du graphique.
Analyse de la pente de sin x
Fig……
Johnny : Vous avez dit que le côté gauche ne concerne que le premier quart de la vague et que ce serait de x = 0 à π/2. On dirait que la pente était très importante au début, puis elle a diminué lorsque nous avons atteint la fin de ce graphique. Pourquoi vous êtes-vous arrêté ici ? Pourquoi ne pas mesurer pour toute la vague ?
Sara : Je l’ai fait, puis j’ai dessiné ces pentes à n’importe quel point donné sous forme de graphique linéaire. C’est sur le côté droit.
Johnny : La pente fait aussi une vague. J’ai vu cette vague quelque part dans Trig.
Figure…….
Sara : Oui, le graphique des pentes ressemble à y = cos x.
Johnny : Les pentes du graphique y = sin x vous ont donné une courbe pour y = cos x. Par définition des pentes, et en supposant que notre hypothèse de continuité était vraie, cela signifie :
d sin x/dx = cos x.
Johnny a vérifié dans le livre Calculus et a dit: Hé, c’est exact. Je n’aurais jamais pensé de cette façon. Le calcul de la pente fonctionne.
Johnny a continué à fixer le graphique pendant un moment, puis a commencé à parler : Je vois que vous avez tracé des lignes verticales pointillées où le graphique pour d sin x/dx est devenu zéro aux deux points. Une fois, c’était zéro lorsque sin x était maximum, c’est-à-dire à la fin du premier trimestre. La deuxième fois, il est devenu zéro lorsque le graphique sin x est devenu plat en bas et était à sa valeur minimale.
Sara : C’est intéressant et logique. Lorsque la valeur d’une fonction atteint un plateau, sa pente sera nulle. Écoutez, nous avons un chapitre sur les Maxima et Minima. Il dit que la première dérivée est nulle aux points de maxima ou de minima.
Pente de y = cos x
Fig……
Johnny : Je me demande si la même chose se produirait si nous examinions les pentes de y = cos x.
Sara : J’ai calculé les pentes à partir du graphique pour y = cos x de la même manière. A gauche, le premier quart. Les pentes à chaque point sont écrites dans le graphique.
Johnny : Ils sont tous négatifs.
Sara : Pas si vous continuez après le deuxième trimestre. Sur la droite se trouve un graphique des pentes instantanées de toute la courbe de y = cos x.
Johnny : Ce graphique est déroutant. Cela ressemble au graphique pour y = sin x mais à l’envers.
Sara : Vérifiez dans le livre. Cela dit-il que d cos x/dx = – sin x ? C’est ce que dit le graphique.
Johnny : Oui. Encore une chose que nous n’avons pas faite pour la dérivée première de tan x.
Sara : Rappelez-vous comment tan x peut s’approcher de l’infini sous certains angles. Par conséquent, il est plus difficile de le montrer sur le graphique mais le livre dit que d (tan x)/dx est sec2x.
Quelques jours plus tard, Johnny a rendu visite à Sara et ils ont dit à sa mère et à son père qu’ils avaient passé en revue Calculus ces derniers jours. Les deux parents étaient heureux. La mère et le père de Sara leur ont ensuite expliqué plusieurs applications du calcul différentiel en physique et en ingénierie. Son père a ensuite parlé de ses applications en économie et en stratégies d’investissement, en particulier celles impliquant le trading d’options. Sa mère a également expliqué comment Calculus avait aidé à comprendre les stratégies de quantité de médicament à utiliser et à quelle fréquence. Fondamentalement, partout où vous deviez envisager un changement, Calculus était utile pour mesurer le taux de changement et son interprétation.
Défi Trig Dérivés
Déterminer d2(sin x + cos x)/dx2.
Solution : d(sin x +cos x)/dx = cox x – sin x
Par conséquent, d2(sin x+cos x)/dx2 = d(cos x)/dx -d(sin x)/dx = -sin x – cos x.
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