रेखाचित्र और समीकरण

रानिया अली विशाल ग्राफ ग्रैफिटी परियोजना की सफलता से प्रसन्न थीं, विशेष रूप से इसलिए कि कक्षा 10 के विद्यार्थियों ने इसमें बहुत सक्रिय भाग लिया था। उन्हें लगा कि इससे विद्यार्थियों के सोचने के तरीके में निर्देशांकों (co-ordinates) की अवधारणा आ गई होगी। अब वह निर्देशांक ज्यामिति का अगला पाठ पढ़ा सकती थीं। इसकी अपेक्षा, उन्होंने बोर्ड पर केवल दो समीकरण लिख दिए।

समीकरण 1. 2x + y = 8

समीकरण 2. x − y = 1

विद्यार्थी भ्रमित हो गए। रानिया अली यहाँ तक सुना कि महक और अरीशा आपस में फुसफुसा रही थीं कि यह ज्यामिति की कक्षा है, बीजगणितीय समीकरणों की नहीं। फिर भी, एक विद्यार्थी ने प्रतिस्थापन (substitution) विधि का उपयोग किया, समीकरणों को बीजगणितीय रूप से हल किया और अपना कार्य रानिया अली को दिखाया।

रानिया अली ने उस विद्यार्थी को वापस भेज दिया और घोषणा की कि महक ने सही सोचा था कि यह ज्यामिति की कक्षा है। इसलिए, उन्हें इन समीकरणों को ज्यामिति का उपयोग करके हल करना होगा। फिर उन्होंने रजब को बुलाया कि वह इन समीकरणो के अनुसार बोर्ड पर x के विभिन्न मानों के लिए y के मान लिखे।

ताहीन: क्या मैं बोर्ड पर XY निर्देशांक बना सकता हूँ?

रानिया अली: हाँ, कृपया XY निर्देशांक बनाओ और साथ ही उन निर्देशांकों को जोड़ने वाली रेखा भी खींचो जिन्हें रजब ने समीकरण 1 के लिए लिखा है।

रानिया अली: जैसा कि आप देख सकते हैं, यह नीली रेखा समीकरण 1 का ज्यामितीय रूप दर्शाती है। ताहीन, अब समीकरण 2 की रेखा बनाओ।

रजब: हमें ऐसा बिंदु ढूँढ़ना है जो समीकरण 1 और 2 दोनों को संतुष्ट करता हो। ताहीन, क्या तुम दोनों रेखाओं को एक ही ग्राफ पर बना सकते हो?

ताहीन: ठीक है, मैं ऐसा ही करूँगा।

रजब: दोनों रेखाएँ x = 3 और y = 2 पर एक-दूसरे को काटती हैं। इसलिए यही उत्तर है।

जिस विद्यार्थी ने प्रतिस्थापन विधि से समीकरण हल किए थे, उसने घोषणा की कि उसे भी यही उत्तर मिला था।

रानिया अली: आप उत्तरों की जाँच x और y के मानों को दोनों समीकरणों में रखकर भी कर सकते हैं।

समीकरण 1. 2x + y = 8, 2×3+2=8

और समीकरण 2. x − y = 1,  3-2 =1

रानिया अली ने आगे कहा: आज हमने दो रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए निर्देशांक ज्यामिति का उपयोग किया। जैसे-जैसे आप गणित का अध्ययन आगे बढ़ाएँगे, आप पाएँगे कि निर्देशांक ज्यामिति का उपयोग अनेक प्रकार के समीकरणों के साथ भी किया जा सकता है।

चुनौती

x = 3, y = 2 केंद्र तथा 4 त्रिज्या वाले एक वृत्त का चित्र बनाइए।

समाधान

एक वृत्त का एक केंद्र और एक त्रिज्या होती है। इस वृत्त का समीकरण है

(x – 3)² + (y – 2)² = 4²

नीचे इस समीकरण के वृत्त का ग्राफ दिया गया है।